Die Feinheiten des Wirbelstromfeldes

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Wir verfügen über eine Reihe von Konzepten, die sich bei der Betrachtung der Verteilung der Wirbelstärke im Strömungsfeld als nützlich erweisen. Zunächst werden wir uns auf die Konzepte konzentrieren, die auf das typische realistische Szenario anwendbar sind, in dem die Wirbelstärke kontinuierlich verteilt ist.
In jeder Region, in der die Wirbelstärke nicht gleich Null ist, ist es möglich, eine Wirbellinie als räumliche Kurve festzulegen, die parallel zum Wirbelstärkevektor verläuft. Dies ist vergleichbar mit der Ausrichtung einer Stromlinie auf den Geschwindigkeitsvektor. Folglich ähnelt eine Wirbellinie innerhalb des Wirbelstärkefeldes einer Stromlinie innerhalb des Geschwindigkeitsfeldes. So wie wir den Begriff der Stromlinie auf ein Strömungsrohr ausgedehnt haben, können wir auch den Begriff der Wirbellinie auf ein Wirbelrohr ausdehnen.

Der Wirbelstrom an der Grenze eines Wirbelrohrs ist gemäß seiner Definition von Natur aus gleich Null. Außerdem ist die Divergenz der Krümmung eines Vektors, insbesondere der Geschwindigkeit (deren Krümmung die Wirbelstärke darstellt), gemäß der Vektoridentität gleich Null. Folglich bleibt die Strömung über jeden Querschnitt der Röhre konstant, unabhängig von ihrer Position entlang der Länge.

Die Konstanz des Wirbelstroms innerhalb eines Wirbelrohrs bestimmt die Änderungen der Wirbelstärke, die mit der Ausdehnung des Wirbels einhergehen müssen. Wenn die Querschnittsfläche eines Wirbelrohrs abnimmt, sei es im Laufe der Zeit oder entlang seiner Länge, muss die Stärke der Wirbelstärke (die Größe des Wirbelvektors) zunehmen. Bei einem Segment des Wirbelrohrs, das eine feste Flüssigkeitsmenge enthält, erfordert eine Verringerung der Querschnittsfläche in der Regel eine Vergrößerung der Länge, also eine Streckung. Diese Streckung ist insbesondere dann notwendig, wenn die Dichte der Flüssigkeit konstant bleibt, wie wir später im Zusammenhang mit der Erhaltung der Masse noch untersuchen werden. Folglich vergrößert die Dehnung eines Wirbelrohrs im Allgemeinen die lokale Wirbelstärke.

Die Konstanz des Wirbelstroms in einem Wirbelrohr führt dazu, dass sich die Größe der Wirbelstärke bei der Dehnung des Wirbelrohrs ändern muss. Wenn sich die Querschnittsfläche eines Wirbelrohrs verkleinert, sei es im Laufe der Zeit oder entlang seiner Länge, muss die Intensität der Wirbelstärke (die Größe des Wirbelvektors) zunehmen. Um eine verringerte Querschnittsfläche in einer bestimmten Flüssigkeitsmenge unterzubringen, ist in der Regel eine Vergrößerung der Länge oder Dehnung erforderlich.

Ein Wirbelfaden ist ein schlankes Wirbelrohr mit einer extrem kleinen maximalen Abmessung im Querschnitt. Die Querschnittsfläche eines Wirbelfilaments ist ebenfalls verschwindend klein, aber es wird angenommen, dass sie entlang der Länge des Filaments variiert, so dass es die Kriterien eines Wirbelrohrs erfüllt. Im Falle eines Wirbelfilaments ist der Wirbelstrom über einen Querschnitt gleich dem Produkt aus der Wirbelstärke und der Querschnittsfläche, der sogenannten Intensität des Filaments. Es ist wichtig zu wissen, dass sich diese Definition der Intensität als Wirbelstrom durch eine infinitesimale Fläche von anderen bekannten Konzepten der Intensität unterscheidet, wie z.B. der Intensität eines Lichtstrahls, die als Energiefluss pro Flächeneinheit definiert ist. Das zweite Theorem von Helmholtz besagt, dass die Intensität eines Wirbelfadens entlang seiner Länge konstant bleibt. Diese Erhaltung der Intensität bedeutet, dass ein Wirbelfaden nicht innerhalb des Flüssigkeitsbereichs enden kann, sondern entweder eine geschlossene Schleife (Wirbelschleife) bilden oder an der Grenze des Bereichs enden muss.

Je nach den Merkmalen der Grenze werden die Möglichkeiten, wie Wirbelfäden oder Wirbellinien dort enden können, eingeschränkt. Betrachten wir zunächst das einzigartige Szenario eines einzelnen Wirbelfadens, der von einer irrotierenden Strömung eingeschlossen ist. Für den Fall, dass die Strömung konstant bleibt und die Grenze eine Schnittstelle darstellt, durch die die Flüssigkeit nicht hindurchgehen kann, kann der Wirbelfaden die Grenze nur senkrecht schneiden.
Diese Anforderung ergibt sich aus der Notwendigkeit einer überwiegend kreisförmigen Strömungskonfiguration in der Nähe des Filaments, innerhalb von Ebenen, die senkrecht zum Filament selbst stehen. Jede Abweichung von dieser normalen Ausrichtung würde der Bedingung widersprechen, dass keine Strömung durch die Begrenzung fließt.
Wenn es sich bei der Grenze um eine feste Oberfläche handelt, auf der kein Schlupf auftritt, müssen die Geschwindigkeitskomponenten in den Ebenen senkrecht zum Filament an der Oberfläche abnehmen, während die Wirbelstärke gegen Null gehen muss. Folglich ist ein isoliertes Wirbelfilament nicht in der Lage, an einer festen Oberfläche zu enden, die durch eine gleitfreie Bedingung gekennzeichnet ist.

Im Fall von verteilter Wirbelstärke können Wirbellinien eine gleitende, nicht durchströmte Oberfläche schneiden, wobei der Schnittpunkt nicht unbedingt in der normalen Richtung liegt. Auf einer stationären Oberfläche ohne Schlupf hingegen ist die Situation eingeschränkter. Da die tangentiale Geschwindigkeit auf der Oberfläche gleich Null ist, muss auch die Wirbelkomponente senkrecht zur Oberfläche durchgehend Null sein. Wenn der Betrag der Wirbelstärke ungleich Null ist, müssen die Wirbellinien also tangential zur Oberfläche verlaufen. Dieses Prinzip gilt im Allgemeinen für die viskose Strömung um ein stationäres Objekt, mit Ausnahme von isolierten, singulären Trennungs- oder Anhaftungspunkten, an denen die Wirbelstärke auf der Oberfläche Null ist. In solchen Fällen kann eine Wirbellinie die Oberfläche normal schneiden, aber die normale Wirbelkomponente muss sich am Schnittpunkt trotzdem gegen Null bewegen. Folglich können Wirbellinien eine gleitfreie Oberfläche nur an isolierten singulären Punkten schneiden. Es ist ein weit verbreiteter Irrglaube, dass Wirbellinien eine gleitfreie Oberfläche überhaupt nicht schneiden können, wenn man die oben erwähnten Ausnahmen außer Acht lässt.

Es ist offensichtlich, dass die Wirbellinien, wenn sich die Wirbel einer gleitfreien Oberfläche nähern, außer an einem einzigen isolierten Punkt, gezwungen sind, ihre Richtung zu ändern, um einen Schnitt mit der Oberfläche zu verhindern. Diese Umlenkung führt häufig dazu, dass die Wirbel zur Wirbelstärke innerhalb einer viskosen Grenzschicht beitragen, die sich auf der Oberfläche bildet.

1. Lassen Sie uns nun die theoretischen Konstrukte untersuchen, die für idealisierte Darstellungen von Strömungen entwickelt wurden, die durch hochkonzentrierte Wirbel gekennzeichnet sind. Das Vorhandensein von konzentrierter Wirbelstärke in bestimmten Regionen spielt eine entscheidende Rolle bei der Analyse bestimmter Strömungen, auf die wir später noch eingehen werden. In Kapitel 8 werden wir uns beispielsweise mit den Wirbelmustern befassen, die im Nachstrom eines Tragflügels zu beobachten sind, wo die Wirbel zunächst in einer konzentrierten Form innerhalb einer dünnen Scherschicht auftreten und schließlich in zwei unterschiedliche, mehr oder weniger achsensymmetrische Wirbel übergehen, die alle von einer nahezu irrotierenden Strömung umgeben sind.

2. In theoretischen Modellen solcher Strömungsphänomene werden diese Wirbelstrukturen oft als mathematisch dünne Konzentrationen vereinfacht, wobei die Scherschichten als Wirbelbahnen und die Wirbel als Linienwirbel konzipiert werden. Obwohl sich die Wirbel in Regionen mit einer Querschnittsfläche von Null konzentrieren, weisen diese idealisierten Gebilde endliche Wirbelströme auf. Folglich muss die Wirbelverteilung an der Stelle des Blattes oder der Linie singulär oder unendlich sein.

3. Bei einer Wirbelschicht wird typischerweise über eine endliche Breite der Schicht integriert, um einen endlichen Wirbelstrom zu bestimmen, auch wenn die integrierte Fläche aufgrund der unendlich dünnen Schicht gleich Null ist. Bei einem linienförmigen Wirbel hingegen genügt eine einzige Integration über die Linie (im Wesentlichen ein Punkt), um einen endlichen Fluss zu berechnen. Es gibt zwar einen formalen mathematischen Rahmen, der eine rigorose Behandlung dieser Konzepte ermöglicht, aber eine detaillierte Erforschung dieser Theorie ist für ein umfassendes Verständnis der zugrunde liegenden Prinzipien nicht erforderlich.

Der Linienwirbel und das Wirbelfilament sind zwar auf den ersten Blick ähnlich, unterscheiden sich aber deutlich voneinander. Erstens hat der Linienwirbel eine Querschnittsfläche von Null, während das Filament eine infinitesimal kleine Querschnittsfläche hat. Außerdem ist der Wirbelstrom eines Linienwirbels endlich, während der eines Filaments infinitesimal ist. Es ist wichtig, einen Linienwirbel, der eine singuläre Verteilung der Wirbelstärke darstellt, nicht mit einer Wirbellinie zu verwechseln, die lediglich parallel zum Wirbelstärkevektor verläuft und typischerweise in Feldern zu finden ist, in denen die Wirbelstärke kontinuierlich verteilt ist.

Ein Punktwirbel, der auch als Linienwirbel in einer 2D-Ebenenströmung bekannt ist, ist durch eine gerade Linie gekennzeichnet, die sich unendlich in beide Richtungen senkrecht zur 2D-Ebene erstreckt. Diese Konfiguration erweckt den Anschein eines einzelnen Punktes in der 2D-Ebene. Der Linienwirbel dient als eine der grundlegenden Singularitäten, die als grundlegende Komponente bei der Konstruktion von Lösungen der Potentialströmungstheorie verwendet werden kann, wie in Abschnitt 3.10 erläutert. In komplexeren Strömungen kann der Linienwirbel jedoch eine Krümmung aufweisen, was eine besondere Herausforderung darstellt. An jedem beliebigen Punkt entlang eines gekrümmten Linienwirbels, an dem die Krümmung nicht Null ist, wird die Flüssigkeitsgeschwindigkeit senkrecht zum Wirbel unendlich. Daher ist es unmöglich, eine realistische Geschwindigkeit zu bestimmen, bei der die Wirbellinie von der Strömung transportiert wird. In realen Strömungen ist die Wirbelstärke kontinuierlich verteilt und hat eine endliche Größe, wodurch das Auftreten unendlicher Geschwindigkeiten vermieden wird.

Assoziieren Sie das Geschwindigkeitsfeld mit Vorticity-Konzentrationen

Das Konzept der hoch konzentrierten Wirbelstärke wird häufig vereinfacht als ein Wirbelbogen oder ein Linienwirbel dargestellt. Mit Hilfe des Stokes’schen Theorems können wir nun die Geschwindigkeitsverteilungen in der unmittelbaren Umgebung analysieren, die mit diesen idealisierten Wirbelverteilungen übereinstimmen müssen.

Die obige Abbildung (a) zeigt ein Wirbelfeld in einer 2D-Strömung. Wendet man das Stokes’sche Theorem auf eine geschlossene Kontur an, die einen kurzen Abschnitt des Blattes umschließt, wird deutlich, dass es einen Sprung in der Geschwindigkeit über das Blatt gibt, der gleich der lokalen Wirbelstärke oder der Wirbelstärke pro Einheitsabstand entlang des Blattes in der Richtung senkrecht zum Wirbelvektor ist. In diesem speziellen 2D-Fall steht der Wirbelvektor senkrecht zur Papierebene, und die Entfernung entlang des Blattes wird in Strömungsrichtung gemessen. Die physikalische Strömung, die mit diesem idealisierten Wirbelbogen verbunden ist, ist eine Scherschicht, in der der Geschwindigkeitssprung über eine endliche Dicke verteilt ist, wie in der mit (b) bezeichneten Abbildung dargestellt ist.

Im Falle einer 3D-Strömung muss der Geschwindigkeitssprung über ein Wirbelblatt im Sinne eines Vektors immer noch senkrecht zum Wirbelvektor verlaufen. In der Aerodynamik kommt es häufig vor, dass ein Wirbelbogen keinen Sprung in der Größe der Geschwindigkeit, sondern nur in der Richtung aufweist. In solchen Fällen steht der Sprung im Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Wirbelvektor, der parallel zur Richtung des Mittelwertes der Geschwindigkeitsvektoren auf den beiden Seiten des Blattes verläuft, wie in der mit (c) bezeichneten Abbildung dargestellt. Wäre der Wirbelvektor nicht parallel zum Mittelwert der beiden Geschwindigkeitsvektoren, müsste es einen Sprung in der Geschwindigkeit geben.

Wirbelbahnen, die der in der mit (c) bezeichneten Abbildung dargestellten ähneln, werden in der 3D-Potentialströmungstheorie häufig modelliert. Aus der Definition des Geschwindigkeitspotenzials geht hervor, dass der Sprung im Geschwindigkeitsvektor auch einen Sprung im Geschwindigkeitspotenzial erforderlich macht.

Wenn eine physikalische Scherschicht effektiv dünn ist, was bedeutet, dass die Strömungsänderungen durch die Schicht viel schneller erfolgen als Änderungen in andere Richtungen, ist der Geschwindigkeitssprung ungefähr gleich groß und senkrecht zum Integral der Wirbelstärke durch die Schicht.

Ist die Geschwindigkeitsinduktion durch Wirbelstärke ein Trugschluss?

Jeder Ingenieurstudent stößt während seines Studiums unweigerlich auf das Biot-Savart-Gesetz, egal ob es sich um Strömungsmechanik oder klassische Elektromagnetik handelt. Dieses Gesetz besagt, dass das Verständnis der Krümmung eines Vektorfeldes an einem bestimmten Punkt Aufschluss über das Verhalten des Vektorfeldes an einem anderen Punkt gibt.

Trotz seiner anfänglichen Anziehungskraft kann das Konzept trügerisch sein, da es in der Regel zu Unklarheiten über die Beziehung zwischen Ursache und Wirkung führt. Die Möglichkeit, die Navier-Stokes-Gleichungen von der Geschwindigkeits- in die Wirbelstärkeformulierung umzuwandeln, und die Verwendung von Potenzialströmungsmodellen zur Einführung von Hindernissen in die Strömung unterstützen die weit verbreitete Annahme, dass die Wirbelstärke die Geschwindigkeit verursacht, wie es das Biot-Savart-Prinzip nahelegt.

Dies ist ein Trugschluss. In Abwesenheit von Gravitations- oder elektromagnetischen Kräften gibt es in gewöhnlichen Flüssigkeitsströmungen keine Wirkung auf Distanz. Die Gleichungen in verschiedenen Formen auszudrücken und auf das Biot-Savart-Gesetz als kalkulatorische Beziehung zwischen einem Vektorfeld und seiner Krümmung zu verweisen, bedeutet nicht, dass ein Wirbel an Punkt A eine Geschwindigkeit an einem entfernten Punkt B induzieren kann. Es stimmt zwar, dass eine mathematische Beziehung wie das Biot-Savart-Gesetz es uns ermöglicht, sowohl quantitative als auch qualitative Details über das Geschwindigkeitsfeld an einem entfernten Punkt abzuleiten, aber in der Strömungsmechanik stellt sie die Physik nicht genau dar. Daher ist die direkte Ursache-Wirkungs-Beziehung in diesem Zusammenhang etwas irreführend, verglichen mit ihrem Gegenstück in der klassischen Elektromagnetik.

Das Biot-Savart-Gesetz erweist sich als vorteilhaft für quantitative Berechnungen. Das qualitative Konzept, dass das Verständnis der Wirbelstärke an einem bestimmten Punkt es uns ermöglicht, Informationen über die Geschwindigkeit an einem anderen Punkt abzuleiten, hat jedoch seinen eigenen Wert. Dieses Konzept dient als eines der einflussreichsten Werkzeuge zum Verständnis von Strömungsfeldern. Doch trotz seiner Stärke kann es auch ein zweischneidiges Schwert sein, da es oft für Verwirrung sorgt, wenn es um die Bestimmung von Ursache und Wirkung geht.

Das Problem ergibt sich aus der Tatsache, dass die Wirbelstärke als „Input“ betrachtet wird, während die Geschwindigkeit als „Output“ angesehen wird, was dazu führt, dass die aus der Wirbelstärke abgeleitete Geschwindigkeit häufig als induzierte Geschwindigkeit bezeichnet wird. Dies kann leicht zu der Annahme führen, dass die Wirbelstärke die Geschwindigkeit, die sie „bestimmt“, irgendwie „verursacht“. Diese Denkweise ist jedoch falsch. In Abwesenheit signifikanter Gravitations- oder elektromagnetischer Körperkräfte gibt es in regulären Flüssigkeitsströmungen keine Wirkung aus der Ferne. Signifikante Kräfte werden nur durch direkten Kontakt zwischen benachbarten Flüssigkeitspaketen übertragen.

Daher kann ein Wirbel an Punkt A nicht direkt eine Geschwindigkeit an einem entfernten Punkt B „verursachen“, und Begriffe wie „verursacht durch“, „induziert“ und sogar „aufgrund“ geben die Physik falsch wieder. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass Biot-Savart einfach eine mathematische Beziehung zwischen einem Vektorfeld und seiner Krümmung ist und in der Strömungsmechanik keine direkte physikalische Ursache-Wirkungs-Beziehung darstellt. Dieser Punkt ist von größter Wichtigkeit und wurde in der Literatur noch nicht genügend betont. Es ist interessant, die Perspektiven anderer Autoren zu diesem Thema zu erkunden. Aerodynamiker haben zu der Verwirrung beigetragen, indem sie Begriffe wie „induzierte Geschwindigkeit“ und „Induktion“ großzügig verwendet haben. Diese Begriffe stammen aus einem anderen Bereich, der klassischen Elektromagnetik, wo das Biot-Savart-Gesetz gilt und es heißt, dass das Magnetfeld durch den elektrischen Strom „induziert“ wird. In der Elektromagnetik ist diese Terminologie geeignet, da man davon ausgeht, dass eine echte Fernwirkung stattfindet, so dass der Begriff „Induktion“ physikalisch passend ist. In der Strömungsmechanik gibt es jedoch keinen direkten kausalen Zusammenhang. Wir wissen, dass Wirbel erzeugt, transportiert und verbreitet werden. Das erklärt, warum es Wirbel in unseren Strömungsfeldern gibt: Sie dienen eher als Hinweis auf das allgemeine Strömungsmuster und nicht als dessen Ursache.
Um das Vorhandensein eines Strömungsmusters zu erklären, muss man sich auf die tatsächliche Physik beziehen, insbesondere auf das Gleichgewicht der Kräfte innerhalb der Flüssigkeitselemente an einem bestimmten Ort.

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