Die Interpretation der Bewegungsgleichungen in der Physik

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Ziel dieses Beitrags ist es nicht, die Gleichungen mathematisch abzuleiten, sondern vielmehr prägnante, intuitive Erklärungen für die Bedeutung der verschiedenen Begriffe in den Gleichungen zu geben. Außerdem wollen wir einige der übergreifenden Konzepte analysieren, die sich aus den Gleichungen in Bezug auf die Eigenschaften von Strömungen ableiten lassen.

Die grundlegenden Gleichungen, die wir verwenden, sind Darstellungen der Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie. Diese Prinzipien lassen sich am effektivsten im Lagrangeschen Bezugssystem formulieren und verstehen, in dem wir die Bewegung in Bezug auf die Pfade von unveränderlichen Flüssigkeitspaketen darstellen, während sie sich über die Zeit hinweg bewegen.

Nichtsdestotrotz ist der eulersche Bezugsrahmen, bei dem die Strömung beschrieben wird, während sie an Punkten in einem räumlichen Bezugsrahmen vorbeizieht, der von der Flüssigkeit unabhängig ist, letztlich die bevorzugte Option, sowohl aus konzeptionellen als auch aus quantitativen Gründen. Die Methode, die ich in diesem Zusammenhang anwenden werde, ist eine kurze Erläuterung der Bedeutung der Erhaltungssätze im Lagrangeschen Bezugssystem, bevor ich zu einer Diskussion darüber übergehe, wie sie im Eulerschen Bezugssystem formuliert sind.

Sowohl in der Lagrange- als auch in der Euler-Perspektive werden wir das Verhalten von kleinen Flüssigkeitsvolumina untersuchen, wenn auch mit jeweils unterschiedlichen Definitionen. Die Ableitung unserer Erhaltungsgesetze als partielle Differentialgleichungen (PDEs) bringt einen formalen Prozess der Annäherung an infinitesimal kleine Dimensionen für unsere Flüssigkeitspakete mit sich. Wir werden hier nicht auf die Einzelheiten dieses Verfahrens eingehen, aber es ist wichtig, dass der Leser sich vor Augen hält, dass Flüssigkeitspakete in beiden Bezugssystemen als beliebig winzig angesehen werden sollten.

Lamb (1932) liefert eine Definition für ein festes Lagrangesches Flüssigkeitspaket, die besagt, dass es über die gesamte Zeit hinweg ausschließlich aus denselben Flüssigkeitsteilchen besteht. Um diese Konsistenz aufrechtzuerhalten, muss sich die Begrenzungsfläche des Pakets so mit der Flüssigkeit bewegen, dass keine Flüssigkeitsteilchen durch sie hindurchgehen können. Es ist jedoch wichtig zu wissen, dass dieses Konzept eine Idealisierung ist, die nur in unserer konzeptionellen Kontinuumswelt gilt. In der Realität werden Moleküle unweigerlich in beide Richtungen über eine solche Grenze diffundieren, und das Beste, was wir tun können, ist sicherzustellen, dass die Grenze der durchschnittlichen Bewegung der Flüssigkeit folgt, was dazu führt, dass kein Nettostrom von Material über die Grenze fließt. Unabhängig von der gewählten Perspektive wird das Paket immer die gleiche Menge an Material enthalten und keinen Nettostrom von Material über seine Begrenzungsfläche aufweisen. Dieser Ansatz, bei dem die Massendiffusion außer Acht gelassen wird, eignet sich gut für Flüssigkeiten mit nur einer Spezies oder mit mehreren Spezies, bei denen die relativen Spezieskonzentrationen konstant bleiben. Wenn die relativen Artenkonzentrationen jedoch erheblich variieren, wird die Definition eines Lagrangeschen Flüssigkeitspakets problematisch. Wir werden diese geringfügige Einschränkung der Lagrangeschen Beschreibung vorerst übersehen und mit unserer Diskussion fortfahren.

Wie bereits erwähnt, werden Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie aufgestellt. Der Grund dafür ist, dass diese Größen in der Physik und Thermodynamik von grundlegender Bedeutung sind und daher erhalten bleiben müssen. Im Gegensatz zu Druck oder viskosen Spannungen, für die es aufgrund ihrer Natur keine Erhaltungssätze gibt. Masse, Impuls und Energie sind eng mit dem flüssigen Material verbunden und werden mit ihm konvektiert. Diese konvektiven Größen sind mit Lagrange’schen Flüssigkeitspaketen verbunden, was bedeutet, dass jede Änderung der Größe innerhalb eines Pakets nur durch physikalische Prozesse innerhalb des Pakets oder an seinen Grenzen erfolgen kann. Erhaltungsgesetze dienen der Quantifizierung dieser Veränderungen und bieten einen Rahmen für das Verständnis der Erhaltung von Masse, Impuls und Energie in der Lagrangeschen Perspektive.

Kontinuität der Strömung – unsere Erhaltung der Masse

Gemäß unserer genauen Definition eines Flüssigkeitspakets in der Lagrangeschen Beschreibung ist die Erhaltung der Masse innerhalb des Pakets von Natur aus garantiert. Dennoch muss die Gleichung, die für die explizite Sicherstellung der Massenerhaltung verantwortlich ist, zusätzliche Aufgaben erfüllen. Die Kontinuitätsgleichung stellt eine Verbindung zwischen der Flüssigkeitsdichte an verschiedenen Punkten und dem von ihr eingenommenen Volumen her und erfüllt damit zwei wesentliche Kriterien:

1. Die Erhaltung der Masse ist ein grundlegendes Prinzip in jedem Lagrangeschen Paket, in Übereinstimmung mit den definierten Eigenschaften des Pakets.
   
2. Es gibt keine leeren Räume zwischen Lagrange-Paketen, und benachbarte Pakete überschneiden sich nicht. Es ist wichtig, das gesamte Flüssigkeitsvolumen als vollständig mit Lagrange-Paketen gefüllt zu betrachten, die die Massenerhaltung gewährleisten.

Die Kontinuitätsgleichung in der Lagrangeschen Beschreibung ist im physikalischen Sinne leicht zu verstehen: Wenn sich das Volumen eines Flüssigkeitspakets ändert, muss sich auch die Dichte der Flüssigkeit ändern, damit die Masse des Pakets konstant bleibt.

Obwohl die Grundlage der Kontinuitätsgleichung physikalisch ist (die oben genannten Anforderungen 1 und 2), sind die Anforderungen, die sie an die Strömung stellt, nicht so direkt im Sinne von Ursache und Wirkung wie die anderer Gleichungen. Bei der Impulserhaltungsgleichung zum Beispiel verursachen Kräfte direkt Beschleunigungen, und bei der Energieerhaltungsgleichung.

Kräfte auf Flüssigkeitspakete und Impulserhaltung

Im Lagrangeschen Bezugssystem wird die Impulserhaltung explizit durch das zweite Newtonsche Gesetz, F = ma, erzwungen. Unser Lagrangesches Flüssigkeitspaket besitzt eine konstante Masse, und seine Beschleunigung wird durch die kumulative Wirkung der auf es ausgeübten Kräfte bestimmt.

Externe Körperkräfte wie Schwerkraft und elektromagnetische Kräfte können auf ein Paket einwirken, aber in der Aerodynamik werden diese Kräfte normalerweise als unbedeutend angesehen. Das Hauptaugenmerk liegt auf den Kräften, die von benachbarten Paketen auf die Oberfläche des Pakets ausgeübt werden. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz müssen diese Oberflächenkräfte an der gemeinsamen Grenze gleich groß und entgegengesetzt sein. Diese Kräfte werden als scheinbare innere Flüssigkeits-„Spannungen“ bezeichnet. Es ist bekannt, dass diese Spannungen in der idealisierten Welt des Kontinuums als verteilte Spannungen betrachtet werden können, während sie in Wirklichkeit nur scheinbare Spannungen sind, die aus der Impulsübertragung aufgrund der Molekularbewegung resultieren. Dennoch werden wir sie im Folgenden als tatsächliche Spannungen behandeln.

In früheren Beiträgen der Reihe „Alles über CFD“ – „Grundlagen der Aerodynamik“ haben wir uns mit dem Konzept der Darstellung dieser Spannungen als Tensor beschäftigt. Dieser Ansatz erweist sich als vorteilhaft, wenn es um mathematische Manipulationen geht. Um ein physikalisches Verständnis zu erlangen, ist es jedoch intuitiver, in Kraftvektoren zu denken. Wenn wir den Spannungstensor mit dem Einheitsvektor kontrahieren, der senkrecht auf der hypothetischen Grenze zwischen den Parzellen steht, erhalten wir einen Vektor, der die Kraft pro Flächeneinheit darstellt, die über die Grenze wirkt. Außerdem können wir diesen Vektor in zwei Komponenten zerlegen: eine, die senkrecht zur Grenze steht, und eine, die parallel dazu verläuft. Im Zusammenhang mit den NS-Gleichungen wird die senkrechte Komponente als der lokale hydrostatische Druck angenommen, der oft als statischer Druck bezeichnet wird. Die parallele Komponente hingegen wird als Scherspannung bezeichnet, die ausschließlich aus den Auswirkungen der Viskosität resultiert.

Druck intuitiv zu verstehen, ist aufgrund seiner inhärenten Natur in der Kontinuumsströmungsmechanik eine Herausforderung. Druck kann als die Normalspannung visualisiert werden, die auf hypothetische Grenzen ausgeübt wird, die einen bestimmten Punkt im Raum umfassen.
Obwohl es sich um eine skalare Größe handelt, übt sie an einem bestimmten Punkt eine gleichmäßige Kraft in alle Richtungen aus. Das Verständnis dieses Konzepts kann anfangs schwierig sein. Einige Kommentatoren, wie Anderson und Eberhardt (2001), haben den statischen Druck fälschlicherweise als „den parallel zur Strömung gemessenen Druck“ definiert.
Diese Beschreibung widerspricht jedoch dem wahren Wesen des Drucks, der von der Strömungsrichtung unbeeinflusst bleibt und gleichmäßig in alle Richtungen wirkt. Ein intuitiverer Ansatz zum Verständnis des Drucks ist die Betrachtung seiner Auswirkungen auf ein kleines, aber begrenztes Flüssigkeitspaket. Innerhalb eines Feldes mit konstantem Druck wirkt auf dieses Paket in alle Richtungen die gleiche Kraft aus der umgebenden Flüssigkeit ein.

Um eine Beschleunigung des Pakets zu bewirken, muss die Summe der auf alle Seiten des Pakets wirkenden Spannungen eine Vektorsumme ungleich Null ergeben, was auf eine unausgewogene Kraft hinweist. Die Spannungen auf gegenüberliegenden Seiten des Pakets wirken in entgegengesetzte Richtungen und heben sich gegenseitig auf, wenn ihre Beträge gleich groß sind. In einem Feld mit konstantem Druck heben sich die Normalspannungen gegenseitig auf, so dass keine unausgewogene Kraft entsteht. Um eine unausgewogene Kraft zu erzeugen, müssen die Spannungen auf den gegenüberliegenden Seiten des Pakets unterschiedlich groß sein, was einen ungleichmäßigen Druck oder viskose Spannungen erfordert.
Die unausgewogene Kraft hängt also nicht von der Spannung an sich ab, sondern vom Spannungsgradienten, der im Zusammenhang mit dem Druck durch ∇p symbolisiert wird. Typischerweise handelt es sich dabei um eine ungleichmäßige Flüssigkeitsströmung. Da die Kräfte von der Bewegung des Flüssigkeitspakets und der benachbarten Pakete beeinflusst werden, wird die Ursache-Wirkungs-Beziehung zwischen Spannungen und Geschwindigkeiten zirkulär, was unsere Analyse noch komplizierter macht. Dieses Thema wird in einer der nächsten Ausgaben unserer „Alles über CFD“-Serie über die „Grundlagen der Aerodynamik“ weiter erforscht.

Die Beschleunigung eines Pakets wird durch die Impulsgleichung bestimmt. Um die Geschwindigkeit des Pakets zu ermitteln, müssen Sie die Gleichung also integrieren. In den folgenden Abschnitten der Serie wird gezeigt, wie die Integration der Impulsgleichung für die stetige Strömung einer nicht viskosen Flüssigkeit zur Bernoulli-Gleichung führt, einer äußerst wertvollen Strömungsbeziehung.

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