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Erhaltungszustand der Energie
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik, auch bekannt als Energieerhaltungssatz, besagt, dass die Veränderung der in einem Lagrange’schen Flüssigkeitspaket gespeicherten Energie gleich der Rate ist, mit der ihm Energie aus externen Quellen, wie Wärme oder mechanische Arbeit, zugeführt wird. Für einen Studenten der elementaren Thermodynamik sind zwei Aspekte dieses Grundsatzes vielleicht neu. Erstens spielt die Bewegung des Flüssigkeitspakets eine wichtige Rolle in der Gesamtenergiebilanz. Daher muss die kinetische Energie des Pakets als eine der Formen der gespeicherten Energie betrachtet werden. Zweitens ist es wichtig zu erkennen, dass nicht nur der Druck, sondern auch viskose Kräfte dazu beitragen können, dass der Energie des Systems mechanische Arbeit hinzugefügt wird.
Die Wärmeübertragung innerhalb eines Pakets kann über zwei Hauptmechanismen erfolgen: elektromagnetische Strahlung und molekulare Leitung. Bei der elektromagnetischen Strahlung handelt es sich um die Absorption oder Emission von Energie innerhalb des Pakets, während sich die molekulare Leitung auf die Übertragung von Wärme über die Grenze des Pakets bezieht. Es ist wichtig zu wissen, dass Strahlungseffekte volumenproportional sind und als „Körpereffekt“ bezeichnet werden, während Leitungseffekte oberflächenbezogen sind. In der Aerodynamik sind die Oberflächeneffekte in der Regel bedeutender als die Körpereffekte. Die mechanische Arbeit, die auf das Paket einwirkt, wird von denselben Kräften verrichtet, die auch für die Impulserhaltung verantwortlich sind. In der Aerodynamik sind externe Körperkräfte oft vernachlässigbar, und der Schwerpunkt liegt auf den Kräften, die von benachbarten Paketen ausgeübt werden.
Die Auswirkung der inneren Flüssigkeitsspannungen auf die Energieerhaltung ist jedoch komplexer als auf die Impulserhaltung. Während die Impulserhaltung nur die auf das Paket wirkende Nettokraft berücksichtigt, wird bei der Energieerhaltung auch die Nettokraft berücksichtigt, die über die vom Massenschwerpunkt des Pakets zurückgelegte Strecke wirkt und zu Änderungen der kinetischen Energie des Pakets beiträgt.
Es gibt jedoch noch weitere Faktoren zu berücksichtigen. Wenn sich das Paket verformt, sei es volumetrisch oder durch Scherung, verschieben sich bestimmte Teile der Grenze des Pakets im Verhältnis zu seinem Massenschwerpunkt. Diese Bewegung kann dazu führen, dass auf das Paket erhebliche Arbeit ausgeübt wird. Außerdem kann der Druck, der durch Kompression oder Expansion auf das Paket ausgeübt wird, zu einer Erwärmung oder Abkühlung führen. Zusätzlich erfährt das Paket Wärme durch viskose Spannungen, ein Phänomen, das als viskose Dissipation bekannt ist.
Turbulenzen stellen interessante Überlegungen in Bezug auf die Erhaltung der Energie dar. Turbulente Strömungen werden in der Regel durch theoretische Modelle analysiert, die sich auf Zeitmittelwerte konzentrieren und die instationären Turbulenzbewegungen effektiv glätten. Innerhalb des zeitlich gemittelten Strömungsfeldes wird die mit der Turbulenz verbundene kinetische Energie zu einer bedeutenden Energieform, die berücksichtigt werden muss. Dennoch halten sich in zahlreichen Strömungsszenarien die Erzeugung und der Verlust von kinetischer Turbulenzenergie (TKE) lokal in etwa die Waage, so dass die TKE vernachlässigt werden kann:
- Energieerhaltung: Der erste Hauptsatz der Thermodynamik, der besagt, dass Energie weder erzeugt noch zerstört, sondern nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden kann, wird im Zusammenhang mit Flüssigkeitspaketen erörtert. Dabei werden auch Änderungen der kinetischen Energie, der potentiellen Energie und der inneren Energie innerhalb des Pakets berücksichtigt.
- Formen der Energie: Die verschiedenen Energieformen innerhalb eines Flüssigkeitspakets werden detailliert beschrieben, darunter die kinetische Energie der Masse, die innere Energie (beeinflusst durch Druck und viskose Kräfte) und Wärmeübertragungsmechanismen wie elektromagnetische Strahlung und molekulare Leitung.
- Mechanische Arbeit: Die Rolle der mechanischen Arbeit an einem Flüssigkeitspaket wird erklärt. Dabei wird darauf hingewiesen, dass sie sowohl durch äußere Kräfte (wie Druck) als auch durch innere Flüssigkeitsspannungen, die von benachbarten Paketen oder der Verformung des Pakets selbst herrühren können, geleistet werden kann.
- Verformung und Kompressionseffekte: Die Auswirkungen der Verformung des Pakets und der Druckveränderungen auf die Energiebilanz werden erörtert. Dabei wird hervorgehoben, wie diese Faktoren dazu führen können, dass ein erheblicher Teil der Arbeit am Paket verrichtet wird und wie sie den thermischen Zustand des Pakets beeinflussen.
- Viskose Dissipation: Das Phänomen der viskosen Dissipation, bei dem mechanische Energie aufgrund der Viskosität der Flüssigkeit in Wärme umgewandelt wird, wird als ein Faktor erwähnt, der zu Überlegungen zur Energieerhaltung beiträgt.
- Turbulenz: Turbulente Strömungen bringen zusätzliche Komplexität in die Energieerhaltung, insbesondere was die Erzeugung und den Verlust von kinetischer Turbulenzenergie (TKE) betrifft. Obwohl TKE in turbulenten Strömungen von Bedeutung ist, kann sie in bestimmten Szenarien vernachlässigt werden, in denen die Erzeugungs- und Ableitungsraten ungefähr ausgeglichen sind.
Insgesamt versuchen wir zu erklären, wie die Grundsätze der Thermodynamik auf Fluidpakete, insbesondere in aerodynamischen Zusammenhängen, anwendbar sind, und zeigen die verschiedenen Faktoren auf, die bei der Analyse der Energieerhaltung in solchen Systemen berücksichtigt werden müssen.
Beziehung zwischen verschiedenen physikalischen Größen und Randbedingungen
Wir haben gerade die grundlegenden Erhaltungssätze im Lagrangeschen Bezugssystem untersucht. Unabhängig davon, ob diese Gesetze im Lagrangeschen oder im Eulerschen Bezugssystem angewendet werden, ergeben sie fünf Gleichungen und wir haben es mit acht Unbekannten zu tun. Diese Unbekannten bestehen aus drei Raumkoordinaten (im Lagrangeschen System) oder Geschwindigkeitskomponenten (im Eulerschen System) sowie fünf lokalen materiellen und thermodynamischen Eigenschaften: Druck, Dichte, Temperatur und die Koeffizienten der molekularen Viskosität und Wärmeleitfähigkeit. Um das System vollständig zu definieren, sind drei zusätzliche konstitutive Beziehungen erforderlich. In der Aerodynamik umfassen diese Beziehungen in der Regel die Zustandsgleichung für ideale Gase, die Druck, Dichte und Temperatur miteinander in Beziehung setzt, das Sutherland-Gesetz, das die Viskosität allein mit der Temperatur verknüpft, und die Prandtl-Beziehung für die Wärmeleitfähigkeit.
Das umfassende Navier-Stokes-System (NS) umfasst die gesamte interne Flüssigkeitsphysik, die für unsere Analyse notwendig ist. Wenn es um die Grenzen unseres Strömungsbereichs geht, hängen die spezifischen Randbedingungen, die wir anwenden müssen, von der Art der betreffenden Grenze ab. Im Falle von Strömungsgrenzen muss keine zusätzliche Physik herangezogen werden, da die NS-Gleichungen selbst vorgeben, welche Randbedingungen je nach Strömungsszenario zulässig oder obligatorisch sind. Wenn es sich jedoch um Grenzen handelt, die an ein anderes Material grenzen, was gemeinhin als „Wände“ bezeichnet wird, sind zusätzliche physikalische Überlegungen erforderlich, um die Randbedingungen genau zu definieren.
Randbedingungen spezifizieren das Verhalten eines Systems an seinen Grenzen oder Schnittstellen. Sie sind für die Lösung von Differentialgleichungen, die physikalische Phänomene steuern, unerlässlich und werden häufig verwendet, um Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Materialien oder Regionen innerhalb eines Systems zu modellieren. Einige gängige Arten von Randbedingungen sind:
- Dirichlet-Randbedingungen: Diese geben die Werte der abhängigen Variablen (z.B. Temperatur, Geschwindigkeit) an den Grenzen eines Bereichs an.
- Neumann-Randbedingungen: Diese geben die Gradienten oder Flüsse der abhängigen Variablen an den Grenzen an und nicht deren absolute Werte.
- Robin-Randbedingungen: Auch bekannt als gemischte Randbedingungen, die eine Kombination aus vorgeschriebenen Werten und Gradienten an den Grenzen festlegen.
- Periodische Randbedingungen: Diese werden verwendet, um Systeme zu modellieren, bei denen die Grenzen einen periodischen Bereich bilden, wie z.B. bei Simulationen von periodischen Strukturen oder Flüssigkeitsströmungen in Kanälen.
- Interface Bedingungen: Bei der Modellierung der Wechselwirkung zwischen verschiedenen Materialien oder Phasen geben die Grenzflächenbedingungen an, wie Größen wie Spannung, Verschiebung oder Wärmestrom über die Grenzfläche hinweg zusammenhängen.
Konstitutive Beziehungen beschreiben die Beziehung zwischen verschiedenen physikalischen Größen innerhalb eines Materials oder einer Flüssigkeit. Diese Beziehungen hängen in der Regel von den Materialeigenschaften ab und können je nach den Bedingungen, denen das Material oder die Flüssigkeit ausgesetzt ist, variieren. Einige gängige konstitutive Beziehungen sind:
- Spannungs-Dehnungs-Beziehungen: In der Festkörpermechanik beschreiben diese Beziehungen, wie die Spannung (Kraft pro Flächeneinheit) mit der Dehnung (Verformung) in einem Material zusammenhängt. Verschiedene Materialien zeigen ein unterschiedliches Spannungs-/Dehnungsverhalten, wie z.B. elastische, plastische oder viskoelastische Reaktionen.
- Flüssige Spannungs-Dehnungs-Beziehungen: Bei Flüssigkeiten beschreiben die konstitutiven Beziehungen oft, wie die Spannung (Scherspannung, Normalspannung) mit der Dehnungsrate (Verformungsrate) zusammenhängt. Diese Beziehungen können Parameter wie die Viskosität für newtonsche Flüssigkeiten oder komplexere Modelle für nicht-newtonsche Flüssigkeiten beinhalten.
- Thermodynamische Beziehungen: In der Thermodynamik beschreiben die konstitutiven Beziehungen, wie Eigenschaften wie Druck, Temperatur und Dichte unter verschiedenen Bedingungen zusammenhängen. Zustandsgleichungen, wie das Gesetz des idealen Gases oder komplexere Formulierungen für reale Gase, sind Beispiele für thermodynamische konstitutive Beziehungen.
- Elektromagnetische Beziehungen: In der Materialwissenschaft und im Elektromagnetismus beschreiben die konstitutiven Beziehungen, wie elektrische Leitfähigkeit, Permittivität und Permeabilität mit den elektrischen und magnetischen Feldern zusammenhängen.
Die mathematischen Eigenschaften von Gleichungen
Das vorgestellte Gleichungssystem besteht aus fünf Feld-PDEs und drei algebraischen konstitutiven Beziehungen, insgesamt also acht Unbekannten. Diese Gleichungen weisen eine gemischte hyperbolische/elliptische Natur im Raum auf, was Randbedingungen für eine Lösung über den gesamten Bereich erforderlich macht. Während numerische Lösungen zeitlich fortschreiten können, ist ein räumliches Fortschreiten nicht machbar. Aufgrund der Nichtlinearität der Gleichungen können Lösungen im Allgemeinen nicht durch Überlagerung erzielt werden. Selbst eine Lösung mit stetiger Strömung erfordert eine Methode, die über eine einzelne Matrixinversion hinausgeht, wie z.B. Zeitmarsch oder iterative Prozesse. Diese Komplexität wird im Zusammenhang mit CFD-Methoden weiter erforscht werden. Die Lösungen der NS-Gleichungen sind nicht immer eindeutig, insbesondere dann nicht, wenn mehrere Lösungen mit stationärer Strömung derselben Körpergeometrie entsprechen. Zwar gibt es theoretisch turbulenzfreie Lösungen, doch sind sie bei hohen Reynoldszahlen oft dynamisch instabil und werden in der Natur selten beobachtet.
Aufgrund der oben genannten Herausforderungen ist die Suche nach analytischen Lösungen für die NS-Gleichungen nur für eine begrenzte Anzahl von einfachen Fällen mit reduzierten Abmessungen und konstanten Flüssigkeitseigenschaften möglich. Selbst in diesen Fällen sind die Lösungen nur unter bestimmten Randbedingungen anwendbar, bei denen die Auswirkungen der Trägheit vernachlässigt werden können. So gibt es beispielsweise eindimensionale Lösungen für eine stetige, voll entwickelte Strömung in ebenen Kanälen oder Rohren mit zweidimensionalem oder kreisförmigem Querschnitt sowie zweidimensionale Lösungen für die Umströmung eines kreisförmigen Zylinders oder einer Kugel bei niedrigen Reynoldszahlen. In Situationen mit hohen Reynoldszahlen können Näherungslösungen für die zweidimensionalen NS-Gleichungen mit Hilfe der Grenzschichttheorie erhalten werden, die lediglich die Lösung einer eindimensionalen gewöhnlichen Differentialgleichung (ODE) erfordert. Für allgemeinere Strömungen sind numerische Lösungen jedoch die einzige praktikable Option, es sei denn, es können vereinfachende Annahmen getroffen werden.
Der Eulersche Rahmen
Im eulerschen Rahmen konzentriert sich die Beobachtung auf das Verhalten der Flüssigkeit, während sie sich an bestimmten Punkten innerhalb eines bestimmten räumlichen Rahmens vorbeibewegt. Anstatt wie im Lagrangeschen Rahmen die Veränderungen in festen Teilen der Flüssigkeit zu beobachten, verlagert sich der Schwerpunkt auf die Beobachtung des Verhaltens in infinitesimalen Volumenelementen, die in das räumliche Koordinatensystem integriert sind. Diese Volumenelemente im Euler’schen System werden von einem kontinuierlichen Flüssigkeitsstrom durchströmt, der über ihre Grenzen hinweg fließt. Diese Strömung spiegelt die Bewegung wider, die im Lagrangeschen System beobachtet wird. Der Wechsel der Perspektive erfordert eine andere Behandlung des Konvektionsprozesses bei der Anwendung von Erhaltungsgesetzen. Beim Lagrangeschen Ansatz wird die Konvektion implizit durch die Definition von festen Flüssigkeitspaketen berücksichtigt, wobei die Konvektion über die Grenzen der Pakete hinweg in den Erhaltungsgleichungen nicht berücksichtigt wird, da eine solche Bewegung per Definition nicht stattfindet. Im Gegensatz dazu muss beim eulerschen Ansatz, bei dem Flüssigkeitsströmungen über die Grenzen von Volumenelementen üblich sind, der Konvektionsprozess explizit als zusätzlicher Term in die Gleichungen aufgenommen werden.
Mathematisch gesehen entstehen die zusätzlichen Terme, wenn wir die zeitlichen Ableitungen in der
Lagrange-Gleichungen durch ihre Euler’schen Entsprechungen ersetzen, indem wir Gleichung:
Die eulerschen Gleichungen enthalten Terme, die Konvektionseffekte berücksichtigen, die sich aus dem Term V – ∇ auf der rechten Seite ergeben. Zur Veranschaulichung dieses Konzepts betrachten wir die x-Komponente des Impulses eines Lagrange-Pakets mit einem Volumen von dV, das als ρ udV bezeichnet wird. Wenn wir die oben erwähnte Gleichung auf diese spezielle Größe anwenden, können wir ihre Auswirkungen besser verstehen:
Der zweite Term auf der rechten Seite der Gleichung symbolisiert die Impulskonvektion in der Eulerschen x-Moment-Gleichung in ihrer einfachsten Form. Eine alternative Darstellung, auf die man in wissenschaftlichen Arbeiten häufig stößt, besteht darin, die Dichte außerhalb der Ableitung zu verschieben, was zu einer klareren Verbindung zur Lagrangeschen Beschleunigung Du/Dt führt.
Um diese alternative Form zu erhalten, muss man sich auf den Grundsatz der Massenerhaltung berufen, der in seiner Lagrangeschen Formulierung besagt, dass die Masse eines Lagrangeschen Pakets über die Zeit konstant bleibt. Wenn wir wieder die Definition der substanziellen Ableitung verwenden, kommen wir zu:
Konvektionsprozess im Detail
Lassen Sie uns nun den Konvektionsprozess genauer betrachten. Es ist eine allgemein anerkannte Tatsache, dass die Konvektion über eine gemeinsame Grenze zwischen zwei Paketen hinweg wechselseitig ist. Dieses Konzept kann mit Newtons drittem Gesetz in der Mechanik verglichen werden, das besagt, dass die Kräfte, die von zwei sich berührenden Körpern ausgeübt werden, gleich und entgegengesetzt sein müssen. Dieses Gleichgewicht ist notwendig, weil es an der Grenzfläche keinen Mechanismus gibt, der eine unausgewogene Kraft aufrechterhalten könnte. Wenn Sie zwei Flüssigkeitspakete betrachten, die sich eine Grenze teilen, gibt es keinen Mechanismus, der den Fluss einer konservierten Größe verändert, so dass der Fluss, der ein Paket verlässt, dem Fluss entsprechen muss, der in das andere eintritt. In unserer allgemeinen Navier-Stokes-Formulierung müssen wir diese Reziprozität nicht explizit erzwingen, da sie durch die Kontinuität aller Strömungsvariablen inhärent aufrechterhalten wird. In speziellen Theorien, die Diskontinuitäten beinhalten, wie z.B. die Modellierung von Schocks in nicht viskosen Lösungen, sind jedoch zusätzliche Gleichungen erforderlich, um sicherzustellen, dass die Erhaltungsbeziehungen über die Diskontinuität hinweg aufrechterhalten werden.
Die Konvektionsterme in den Erhaltungsgleichungen haben eine klare physikalische Interpretation. Wenn ein Ungleichgewicht zwischen der Konvektionsrate in ein Volumenelement und der Konvektionsrate nach außen besteht, fungiert die Konvektion als Quelle der konservierten Menge und muss im Erhaltungsgesetz berücksichtigt werden. Diese Terme geben die Gesamtrate an, mit der eine konservierte Menge in ein Volumenelement hinein oder aus ihm heraus transportiert wird. Im Falle der Massenerhaltung ist diese Nettokonvektion der einzige Faktor, der zur Veränderung der Gesamtmasse innerhalb des Elements im Laufe der Zeit beiträgt, insbesondere bei gleichmäßiger Strömung, bei der der Massenfluss in das und aus dem Element gleich sein muss. Dieses Prinzip gilt nicht nur für lokale Pakete, sondern auch für größere Volumina, wie z.B. ein Rohr mit gleichmäßiger Strömung, bei dem der Massenstrom durch jede Oberfläche, die das Rohr schneidet, konstant bleiben muss. Die Nettokonvektion spielt eine entscheidende Rolle bei der Aufrechterhaltung des Gleichgewichts bei der Erhaltung von Impuls und Energie, aber es ist wichtig, auch die Auswirkungen der auf die Flüssigkeit wirkenden externen Kräfte (Impuls und Energie) und die Wärmeleitung zu berücksichtigen.
Die Impuls- und Energiebilanzen in unserer Formulierung können durch externe Quellen beeinflusst werden, z.B. durch Gravitations- oder elektromagnetische Kräfte, die auf die Flüssigkeit wirken, sowie durch Wärmeübertragung durch Absorption und Emission von Strahlung. Diese Beiträge können leicht berücksichtigt werden. Darüber hinaus kann auch der Austausch von Kraft oder Energie zwischen Flüssigkeitspaketen, die nicht in direktem Kontakt zueinander stehen, so genannte interne nichtlokale Effekte, die Bilanzen beeinflussen. In der Aerodynamik werden diese externen Effekte und internen nichtlokalen Effekte jedoch normalerweise als vernachlässigbar angesehen. Daher sind die einzigen Effekte, die in unseren Gleichungen dargestellt werden müssen, diejenigen, die durch den direkten Kontakt von Paket zu Paket übertragen werden. Dazu gehören die Kräfte zwischen den Paketen, die durch die scheinbaren Eigenspannungen repräsentiert werden, und die Wärmeströme aufgrund von Wärmeleitung, die zwischen benachbarten Flüssigkeitspaketen ausgetauscht werden. Es ist wichtig zu wissen, dass diese Größen nicht physisch mit dem flüssigen Material verbunden sind und nicht mit ihm konvektiert werden. Sie bleiben von Änderungen der Geschwindigkeit unseres Referenzrahmens unberührt und erscheinen sowohl im Eulerschen als auch im Lagrangeschen Rahmen gleich.
In dem typischen Szenario, das in der Aerodynamik beobachtet wird, findet die primäre Kraftübertragung innerhalb der Flüssigkeit zwischen benachbarten Flüssigkeitspaketen statt. In ähnlicher Weise wirken Konvektionseffekte in einem eulerschen Rahmen auch nur zwischen benachbarten eulerschen Paketen. Folglich gibt es in unseren konventionellen aerodynamischen Strömungen keinen Mechanismus für irgendeine Form des Austauschs von „Kräften auf Distanz“, was eine „Induktion“ oder ähnliche Effekte ausschließt. Obwohl das Biot-Savart-Gesetz einen Ferninduktionseffekt nahelegt, ist es falsch, die Geschwindigkeit an einem Punkt als „induziert“ oder „verursacht“ durch die Wirbelstärke an einem anderen Punkt zu betrachten. Dies ist nur ein Beispiel für die Schwierigkeiten, die mit der Zuordnung von Ursache und Wirkung im Bereich der Strömungsmechanik verbunden sind.
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