Mathematische Analyse der Materialableitung von Volumen- und Oberflächenintegralen

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Um die materielle Ableitung von Volumen- und Oberflächenintegralen zu analysieren, beginnen wir mit der Definition der materiellen Ableitung, die auch als substanzielle Ableitung bezeichnet wird. Dann untersuchen wir ihre Anwendung auf Volumen- und Oberflächenintegrale unter Verwendung der mathematischen Notation und der Konzepte der Vektorrechnung.

Die materielle Ableitung

Die Ableitung D/Dt, auch bekannt als die materielle Zeitableitung, ist in der Tat die zeitliche Ableitung der Größe B für einen festen materiellen Punkt. Und die materiellen Punkte sind oft durch den anfänglichen Positionsvektor bei t = 0 definiert. Der Positionsvektor des materiellen Punktes zu jedem Zeitpunkt t > 0 ist gegeben durch:

Jede Flussvariable, die für einen beliebigen materiellen Punkt x0 definiert ist, wird durch B(x₀,t).
Die entsprechende räumliche Beschreibung lautet also B[x(x₀,t),t].
Anhand der obigen Beschreibung können wir sagen, dass es zwei Arten von Zeitableitungen gibt:

Die Beziehung zwischen den beiden Ableitungen kann durch die Anwendung der Kettenregel ermittelt werden:

Die Zeitableitungen an festen räumlichen Orten werden als Eulersche Zeitableitungen bezeichnet, und die an einem festen materiellen Punkt werden als Lagrangesche bezeichnet.

Kommen wir nun zur materiellen Ableitung von Volumenintegralen, d.h. zum Reynoldschen Transporttheorem, das besagt, dass:

Das obige Theorem ist nichts anderes als eine Erweiterung der Leibnitzschen Differenzierungsregel, wenn die Grenzen des Integrals selbst zeitabhängig sind.

Wenn wir die übliche Definition der Ableitung als Grenzwert von „Delta t“, der gegen 0 tendiert, auf die linke Seite der obigen Gleichung anwenden, erhalten wir:

In der obigen Gleichung addieren und subtrahieren wir nun den folgenden Term:

Die Gleichung lautet dann:

Der zweite Term ist einfach:

Und der erste Begriff kann umgeschrieben werden als:

Dies zeigt, dass es sich um das Integral von B

Um das obige Integral zu finden, muss jedes Differentialelement dA_m von V_m

Wobei A_m

Daraus ergibt sich die endgültige Form der Reynolds-Transport-Theorem lautet:

Ein weiterer Schritt kann durch die Anwendung des Gaußschen Divergenzsatzes auf das Flächenintegral der rechten Seite der obigen Gleichung unternommen werden, um die bekannte Form der äquivalenten Differentialform der obigen Gleichung zu erhalten.

Nehmen wir den Fall einer einfachen Anwendung, bei der wir anstelle der Flussvariablen B(x, t) die Dichte ρ(x, t) haben. Dann erhalten wir durch Anwendung des Gauß’schen Divergenztheorems, wie oben erwähnt, die endgültige Differentialform der Massenerhaltung:

Materielle Ableitung des Oberflächenintegrals:

In diesem Abschnitt wenden wir dieselben Konzepte an, die oben für den Fall der materiellen Ableitung von Volumenintegralen entwickelt wurden, um die Gleichungen für die Diffusionsgleichung der Tensidkonzentration an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien zu erhalten.
Hier verwenden wir das Prinzip der Erhaltung der Tensidkonzentration über einer Materialoberfläche unter der Annahme, dass es keine Quellen oder Senken gibt, entweder aufgrund chemischer Reaktionen oder eines Flusses in oder aus der umgebenden flüssigen Hauptphase. Wir erhalten also:

Wobei D/Dt ist die Materialableitung für Punkte auf der Grenzfläche und S_m

Wenn wir die gleichen Schritte wie im obigen Abschnitt des Reynoldschen Transporttheorems für das Materialvolumen befolgen und daran denken, die Volumenintegrale durch Oberflächenintegrale und die Oberflächenintegrale durch Konturintegrale zu ersetzen, erhalten wir eine Gleichung für die Diffusionsgleichung der Tensidkonzentration an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien:

Dabei ist u = Geschwindigkeit der Tensidteilchen entlang der Oberfläche der Grenzfläche
Γ = Konzentration des Tensids über der Grenzfläche
n_c = Einheitsvektor normal zur Kontur des Oberflächenelements
n_t = Einheitsvektor tangential zur Kontur des Oberflächenelements
n = Einheitsvektor normal zur Oberfläche der Schnittstelle
C_m

Jetzt n_c kann umgeschrieben werden als n_c = n_t x n.

Der zweite Term auf der rechten Seite der obigen Gleichung kann also wie folgt umgeschrieben werden:

Wobei dl = elementarer tangentialer Vektor entlang der Kontur des Oberflächenelements.

Wir können also sehen, dass der Integrand innerhalb des Integrals nichts anderes ist als ein skalares Dreifachprodukt der drei Vektoren Γu, dl und n, das heißt [Γu dl n].

Unter Verwendung der Eigenschaft des skalaren Tripelprodukts:

Durch die Anwendung des Satzes von Stokes über eine geschlossene Kontur können wir das Konturintegral in das durch die Kontur begrenzte Oberflächenintegral umwandeln, d.h.:

Nach Auswertung des Terms, der das dreifache Vektorprodukt enthält, kann das obige Konturintegral wie folgt umgeschrieben werden:

Wir können also einen neuen Operator in der Ebene der Schnittstelle definieren als:

Das Konturintegral der rechten Seite der materiellen Ableitung des Oberflächenintegrals kann daher wie folgt geschrieben werden:

Die allererste Gleichung dieses Abschnitts für die materielle Ableitungsgleichung lautet also:

Oder,

Die Differentialform lautet also:

Wobei:

Wenn wir die Geschwindigkeit des Tensids in zwei zueinander senkrechte Richtungen zerlegen, d.h. entlang der Oberfläche der Grenzfläche und senkrecht zur Oberfläche der Grenzfläche, erhalten wir:

Die obige maßgebliche Differentialgleichung lautet also:

In Abwesenheit von Diffusion können wir also sehen, dass zwei Terme zur Änderung von Γ beitragen, einer ist die einfache Konvektion mit der Grenzflächengeschwindigkeit us und der zweite Term ist als Verdünnungsterm bekannt. Wenn wir einen Diffusionsbeitrag hinzufügen und die Tatsache berücksichtigen, dass der Diffusionsterm aufgrund der Brownschen Bewegung entsteht und als Gradient der Tensidkonzentration ausgedrückt werden kann, analog zum Temperaturgradienten im Falle der diffusiven Wärmeleitung, wird die endgültige Form der Tensidkonzentrations-Diffusionsgleichung mit dem Diffusionsterm wie folgt aussehen:

Im Wesentlichen kann diese Gleichung nun in einer Vielzahl von Fällen verwendet werden, wie z.B. bei der Erklärung der Bewegung von Kampferpartikeln auf der Wasseroberfläche.

Schlussfolgerung:

Die mathematische Analyse der materiellen Ableitung von Volumen- und Oberflächenintegralen ermöglicht ein tieferes Verständnis dafür, wie sich physikalische Größen in einer sich bewegenden Flüssigkeit entwickeln. Durch die Untersuchung der zeitlichen Veränderungen der Volumen- und Oberflächenintegrale von Skalar- oder Vektorfeldern können wir Einblicke in die Dynamik und das Verhalten von Strömungssystemen gewinnen.

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