Stromlinien, Streaklines, Zeitlinien und vieles mehr â Kinematik

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Einleitung

In diesem Beitrag befassen wir uns mit der umfassenden und präzisen physikalischen Theorie, die die Navier-Stokes-Gleichungen bieten. Mit diesen Gleichungen können wir eine Vielzahl von Phänomenen in der Aerodynamik vorhersagen, die sogar die Strömungen von Flüssigkeiten wie Wasser umfassen. Wir beginnen mit einer Untersuchung der grundlegenden Darstellung der Physik in diesen Gleichungen, der notwendigen Annahmen, die bei ihrer Entwicklung gemacht wurden, und des Ausmaßes, in dem sie noch gültig sind. Anschließend befassen wir uns mit den komplizierten Details der Gleichungen und erläutern ihre Bedeutung.

Die Kontinuumsannahme und ihr Gültigkeitsbereich

In der NS-Formulierung wird die Flüssigkeit als eine kontinuierliche Substanz betrachtet, die als Kontinuum bezeichnet wird, mit lokalen physikalischen Eigenschaften, die durch kontinuierliche Funktionen in Bezug auf Raum und Zeit ausgedrückt werden können. Diese Kontinuumseigenschaften werden von den Eigenschaften der einzelnen Moleküle beeinflusst, aus denen das Gas oder die Flüssigkeit besteht, sowie von der zugrunde liegenden Physik, die ihre Bewegungen und Wechselwirkungen bestimmt. Die Kontinuumseigenschaften erfassen jedoch nur die allgemeinen Auswirkungen der zugrunde liegenden Physik und nicht die spezifischen Details. Wie in Beitrag 1 â Einführender Leitfaden zum Verständnis der grundlegenden Konzepte und theoretischen Rahmenbedingungen und Beitrag 2 â Die Entstehung aerodynamischer Strömungen auf molekularer Ebene gezeigt wird, bietet dieser Ansatz eine Darstellung, die nicht nur ausreichend, sondern auch bemerkenswert präzise für eine Vielzahl von Bedingungen ist.

Die anfängliche historische Entwicklung der NS-Formulierung erfolgte auf spontane Weise, indem von Anfang an ein Kontinuumsverhalten vorausgesetzt wurde und durch Experimente in grundlegenden Strömungsszenarien ein Rahmen für Viskositätseffekte geschaffen wurde. Ein erheblicher Teil der Anstrengungen, die in diese Entwicklung gesteckt wurden, konzentrierte sich auf die Schaffung der mathematischen Struktur, die notwendig war, um von einfachen Strömungen zu komplexeren überzugehen.

Der Prozess der Mittelwertbildung liefert uns präzise Definitionen grundlegender Kontinuumsströmungsgrößen, führt uns aber nicht direkt zur Navier-Stokes-Formulierung (NS). Wenn wir den Prozess der Mittelwertbildung auf die grundlegenden Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie anwenden, stoßen wir auf zwei verschiedene Arten von Termen, die unterschiedliche Gruppen von Phänomenen darstellen und unterschiedliche Annahmen erfordern:

Erstens: Terme, die nur die einfachen Durchschnittswerte enthalten, die die Kontinuumsdichte, Temperatur und Geschwindigkeit definieren. Es sind keine zusätzlichen Annahmen erforderlich, da diese Variablen bereits die Grundlage der NS-Formulierung bilden. Diese Terme stellen die lokale zeitliche Änderungsrate einer konservierten Größe oder die Konvektion einer konservierten Größe durch die lokale Kontinuumsgeschwindigkeit der Strömung dar.

Zweitens: Terme, die Mittelwerte von Produkten molekularer Geschwindigkeiten oder Produkte einer Geschwindigkeitskomponente und der kinetischen Energie enthalten. Solche Terme bezeichnen den Transport einer konservierten Größe in Bezug auf die lokale Kontinuumsbewegung der Strömung. Der Transport von thermischer Energie entspricht dem Wärmestrom, der durch molekulare Leitung entsteht. Der Impulstransport ahmt die Wirkung eines Kontinuums nach, das inneren Spannungen ausgesetzt ist. Dadurch entstehen sowohl der lokale hydrostatische Druck des Kontinuums als auch zusätzliche Kontinuumsspannungen, die durch viskose Effekte verursacht werden. Allein durch die Mittelwertbildung bleiben diese Terme in einem Zustand, der auf statistischen Feinheiten der molekularen Bewegungen beruht. Daher sind weitere vereinfachende Annahmen erforderlich, um sie in Ausdrücke umzuwandeln, die auf unseren grundlegenden Kontinuumsflussvariablen basieren.

Die NS-Gleichungen enthalten Terme, die verschiedene Transportphänomene darstellen, und diese Terme haben eine einfache funktionale Abhängigkeit von den lokalen Kontinuumseigenschaften. Der hydrostatische Druck wird durch eine thermodynamische Gleichgewichtsbeziehung bestimmt, während der Wärmestrom und die viskosen Spannungen durch Gradientendiffusionsausdrücke beschrieben werden, bei denen der Fluss einer konservierten Größe proportional zu ihrem Gradienten ist. Flüssigkeiten, die diese Art von Verhalten für viskose Spannungen aufweisen, wie sie in den NS-Gleichungen beschrieben werden, werden gemeinhin als Newtonsche Flüssigkeiten bezeichnet. Um diese vereinfachten Formen aus den allgemeineren Ausdrücken zu erhalten, die durch den Mittelungsprozess gewonnen werden, müssen jedoch bestimmte vereinfachende Annahmen über die beteiligten physikalischen Größen getroffen werden. Im Falle von Gasen muss man davon ausgehen, dass sich die Flüssigkeit durchgehend in einem lokalen thermodynamischen Gleichgewicht befindet. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen für die Molekulargeschwindigkeit, die in den vollständigen Transportausdrücken erscheinen, ihren Gleichgewichtsformen sehr ähnlich sein müssen. Um dies zu erreichen, müssen signifikante Änderungen nur auf Längen- und Zeitskalen auftreten, die viel größer sind als der mittlere freie Weg und die Zeit. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, d.h. wenn die lokalen Abweichungen vom Gleichgewicht gering sind, können die mit dem Transport zusammenhängenden Terme durch die in den NS-Gleichungen verwendeten einfachen Beziehungen genau dargestellt werden.

Konversationsgesetze

Die grundlegenden Beziehungen, die in den NS-Gleichungen zu finden sind, sind die wesentlichen Prinzipien der Erhaltung von Masse, Impuls und Energie. Um einen umfassenden Satz von Gleichungen aufzustellen, ist es notwendig, eine Zustandsgleichung aufzustellen, die Temperatur, Druck und Dichte miteinander verbindet, sowie Ausdrücke, die die übrigen Gaseigenschaften definieren.
Im Bereich der Aerodynamik ist es oft eine vernünftige Annäherung, das ideale Gasgesetz in Verbindung mit einem festen Verhältnis der spezifischen Wärme (γ) und den Viskositäts- und Wärmeleitfähigkeitskoeffizienten (μ und k) anzunehmen, die ausschließlich von der Temperatur abhängen. Es mag kontraintuitiv erscheinen, dass die Transportkoeffizienten μ und k bei einer konstanten Temperatur als unabhängig von der Dichte angesehen werden. Es gibt jedoch eine eindeutige Erklärung für dieses Phänomen.
Mit zunehmender Dichte könnte man erwarten, dass die Transportkoeffizienten aufgrund der größeren Masse pro Volumeneinheit, die in Form von Impuls und Wärmeenergie transportiert werden muss, ansteigen. Mit zunehmender Dichte nimmt jedoch die mittlere freie Weglänge der Moleküle ab, wodurch der molekulare Transport behindert wird. Auf der Ebene der idealen Gasannäherung heben sich die Auswirkungen der höheren Masse pro Volumeneinheit und der geringeren mittleren freien Weglänge gegenseitig auf.
In der Praxis hängt die Effizienz des molekularen Transports daher ausschließlich von der durchschnittlichen Geschwindigkeit der Moleküle oder, mit anderen Worten, von der Temperatur ab. In bestimmten Formulierungen der Gleichungen ist die lokale Schallgeschwindigkeit (âaâ) ein Faktor, der im Falle eines idealen Gases ebenfalls ausschließlich von der Temperatur abhängig ist.

Die Bedeutung der Randbedingungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen (NS) benötigen wie alle anderen Feldgleichungen Randbedingungen (BCs), um richtig gelöst zu werden. Wenn es um Strömungsgrenzen geht, an denen die Strömung einfach in das Gebiet eintritt oder es verlässt, geben die NS-Gleichungen selbst die möglichen Kombinationen von BCs vor, die auferlegt werden können, und die Kombinationen, die notwendig sind, um die Lösung auf verschiedene Weise zu bestimmen. Wenn es sich jedoch um Grenzflächen handelt, die an andere Materialien grenzen, wie z.B. Gas-Festkörper- oder Gas-Flüssigkeits-Grenzflächen, definieren die NS-Gleichungen allein die Situation nicht vollständig. In solchen Fällen müssen zusätzliche physikalische Faktoren berücksichtigt werden. Auf der Grundlage theoretischer Modelle und experimenteller Erkenntnisse wurde festgestellt, dass die Wechselwirkung zwischen den meisten flüssigen und festen Oberflächen, die in der technischen Praxis anzutreffen sind, und der Luft unter normalen Bedingungen so beschaffen ist, dass sich die Geschwindigkeit und Temperatur der Luft nahezu perfekt an die Geschwindigkeit und Temperatur der Oberfläche anpasst. Die Annahme, dass es keinen Schlupf (keine Relativbewegung zwischen der Flüssigkeit und dem Festkörper) und keinen Temperatursprung an der âWandâ gibt und dementsprechend BCs auferlegt werden, stellt daher eine äußerst genaue Annäherung dar.

Es ist jedoch wichtig, den BC ohne Schlupf richtig zu interpretieren. In einigen Beschreibungen wird die Flüssigkeit als „klebend“ oder „an der Oberfläche haftend“ beschrieben. Diese Beschreibung ist zwar nicht völlig unpassend, kann aber irreführend sein, vor allem wenn es sich um Gase handelt. Der Begriff âAdhäsionâ impliziert das Vorhandensein einer Bindung, die sowohl Spannung als auch Scherung aushalten kann. Gase können jedoch keiner Spannung ausgesetzt werden und keine spannungsbeständigen Bindungen mit anderen Substanzen eingehen. Dennoch setzt die Bedingung des Nicht-Gleitens voraus, dass es kein Gleiten zwischen der Flüssigkeit und dem Festkörper gibt, so dass sich die Flüssigkeit in Bezug auf die Scherung so verhält, als würde sie an der Oberfläche haften.

Die Bedingung des Nicht-Gleitens gilt sowohl für Flüssigkeiten als auch für Gase. Die Erklärung für dieses Phänomen ist einfacher, wenn man Gase betrachtet. Obwohl einige Gasmoleküle vorübergehend an einer festen Oberfläche haften bleiben oder chemisch mit ihr reagieren und an ihr haften bleiben, prallen die meisten Moleküle, die mit der Oberfläche zusammenstoßen, ab. Der rutschfeste Zustand ist das Ergebnis dieser abprallenden Wechselwirkungen. Wenn wir uns die Gasmoleküle als glatte Kugeln vorstellen, die spiegelnd von einer glatten Oberfläche abprallen, ohne dabei einen tangentialen Impuls zu verlieren, würde es keinen Austausch von Scherkräften zwischen der Oberfläche und dem Gas geben. Folglich würde das Gas leicht an der Oberfläche entlang gleiten, und das Konzept der Gleitfreiheit würde nicht existieren. Auf molekularer Ebene verhält sich jedoch keine reale Oberfläche wie eine vollkommen glatte Oberfläche. Alle realen Oberflächen bestehen aus Atomen, die eine ähnliche Größe wie Gasmoleküle haben, so dass selbst die glatteste Oberfläche auf der Ebene eines Gasmoleküls rau ist. Darüber hinaus weisen die meisten realen Oberflächen in größeren Maßstäben erhebliche Unebenheiten auf. Infolgedessen prallen Gasmoleküle, die mit realen Oberflächen kollidieren, in zufällige Richtungen ab, was zu einer sehr geringen durchschnittlichen tangentialen Geschwindigkeit der Moleküle in der Nähe der Oberfläche führt. Durch die Anwendung der kinetischen Theorie kann man die effektive Gleitgeschwindigkeit abschätzen, was zeigt, dass sie in praktischen Szenarien nahezu Null ist. Dies gilt sogar für Oberflächen, die sich glatt anfühlen, da unsere Intuition fälschlicherweise annimmt, dass Luft ungehindert darüber gleiten kann.

Unser umfassendes physikalisches Modell besteht also aus den NS-Gleichungen in Verbindung mit den Randbedingungen „kein Gleiten“ und „kein Temperatursprung“. Der Anwendungsbereich dieser Formulierung ist bemerkenswert umfangreich, und es gibt nur eine begrenzte Anzahl praktischer âAerodynamikâ-Anwendungen, in denen sie nicht zutrifft. Zu den Fällen, in denen von dieser Formulierung abgewichen wird, gehören Gasströmungen mit extrem niedriger Dichte, wie sie in sehr großen Höhen anzutreffen sind, sowie die komplizierte innere Struktur von Stoßwellen. Selbst in Fällen, in denen Ionisierung, Dissoziation oder chemische Reaktionen innerhalb der Strömung auftreten, werden sie normalerweise nicht als Ausnahmen betrachtet, da diese Effekte in unsere Kontinuumsformulierung integriert werden können, indem geeignete Variablen für die Konzentration der Spezies, die Reaktionsraten und die Zustandsgleichungen einbezogen werden. Glücklicherweise bleiben wir im Bereich der Aerodynamik von den Komplexitäten verschont, die mit nicht-newtonschen Flüssigkeiten verbunden sind, die in biologischen Systemen und verschiedenen industriellen Prozessen eine wichtige Rolle spielen.

Die Unfähigkeit unserer NS-Formulierung, unter außergewöhnlichen Umständen anwendbar zu sein, kann nicht nur auf die extrem niedrigen Dichten in großen Höhen oder die kleinen Längenskalen bei Stoßwellenproblemen zurückgeführt werden, die dazu führen, dass unser Mittelungsprozess nicht konvergiert. Diese Situation kann zwar auftreten, ist aber nicht immer die Hauptursache für das Scheitern. Um die Konvergenz eines räumlichen Durchschnitts zu einem bestimmten Zeitpunkt zu erreichen, müsste man über ein ausreichend großes Volumen integrieren, das eine erhebliche Anzahl von Molekülen umfasst. Sofortige räumliche Mittelwerte können zum Beispiel die innere Struktur einer Schockwelle nicht genau erfassen. In vielen Fällen sind die Strömungen jedoch nahezu konstant, so dass wir Durchschnittswerte in kleinen räumlichen Volumina definieren können, indem wir über einen längeren Zeitraum mitteln. Die meisten Situationen, die Flüge in extremen Höhen oder detaillierte Schockwellenphysik beinhalten, können mit diesem Ansatz angegangen werden. In solchen Fällen liegt das Scheitern unserer Kontinuumsformulierung nicht an der Unfähigkeit unseres Mittelungsprozesses zu konvergieren, sondern vielmehr am Zusammenbruch der Annahme eines lokalen thermodynamischen Gleichgewichts, die unserer Modellierung von Transporteffekten zugrunde liegt, wenn Strömungsgradienten in der Größenordnung eines mittelwertfreien Pfades signifikant werden. Darüber hinaus werden die Fehler im Zusammenhang mit den Randbedingungen „kein Schlupf“ und „kein Temperatursprung“, die unter normalen Bedingungen vernachlässigbar sind, unter extremen Bedingungen zu bedeutenderen Anteilen der Unterschiede in den Strömungsmengen im Feld, was ebenfalls zum Zusammenbruch dieser Näherungen führt.

Lassen Sie uns etwas formale Mathematik betreiben

Lassen Sie uns nun einige der Herausforderungen untersuchen, die sich ergeben, wenn wir versuchen, unser Verständnis der Physik in mathematischen Begriffen auszudrücken. Unsere endgültige Formulierung wird aus einer Sammlung von partiellen Differentialfeldgleichungen (PDEs) bestehen, die von bestimmten algebraischen Hilfsrelationen begleitet werden. Die Wahl der Variablen sowie die Bestimmung, welche Variablen unabhängig und welche abhängig sind, hängt davon ab, wie wir den Fluss darstellen wollen. Wir haben die Möglichkeit, sie anhand des Verhaltens zu beschreiben, das an festen Punkten in Raum und Zeit beobachtet wird, was als Eulersche Beschreibung bekannt ist, oder wir können stattdessen die Pfade definieren, denen feste Flüssigkeitspakete folgen, während sie sich über die Zeit entwickeln, was als Lagrangesche Formulierung bezeichnet wird. Bei der eulerschen Beschreibung dienen die Zeit und die Koordinaten innerhalb eines räumlichen Bezugssystems, das träge sein kann oder auch nicht, als unabhängige Variablen, während die Geschwindigkeit, der Druck und andere Zustandsvariablen des Fluids als abhängig betrachtet werden. Bei der Lagrangeschen Beschreibung hingegen beziehen sich die unabhängigen Variablen auf die Flüssigkeitspakete selbst, die typischerweise durch ihre Raumkoordinaten zu einem Anfangszeitpunkt identifiziert werden, und die abhängigen Variablen umfassen die Raumkoordinaten dieser Pakete zu späteren Zeitpunkten. Obwohl diese beiden Beschreibungsarten theoretisch äquivalent sind, d.h. sie können zur genauen Modellierung der gleichen physikalischen Gegebenheiten verwendet werden, unterscheiden sie sich in ihrem Ansatz so stark, dass sie praktisch nicht austauschbar sind.

Der Eulersche Rahmen wird aufgrund seiner Einfachheit für verschiedene Anwendungen bevorzugt und dient als Grundlage für die meisten quantitativen Studien in der theoretischen Aerodynamik und der numerischen Strömungsmechanik (CFD). Diese Vorliebe lässt sich darauf zurückführen, dass die Eulersche Beschreibung einen intuitiveren Ansatz für die Analyse stationärer Strömungen bietet, die in der Aerodynamik im Vordergrund stehen. Während die Eulersche Beschreibung bei der konzeptionellen Modellierung auf höherer Ebene verwendet wird, gibt es Fälle, in denen die Lagrangesche Beschreibung auch bei der Erörterung grundlegender physikalischer Prinzipien von Vorteil ist.

Die Lagrangesche Ableitung, die mit dem Großbuchstaben D/Dt bezeichnet wird, stellt die zeitliche Änderungsrate einer beliebigen physikalischen Größe dar, die mit einem Lagrangeschen Flüssigkeitspaket verbunden ist. Diese Änderungsrate wird durch zwei Effekte im Eulerschen Rahmen beeinflusst. Erstens kann sich die Größe an den Punkten im Raum, durch die sich das Paket bewegt, mit der Zeit ändern, was durch den Term â/ât für instationäre Strömung oder die eulersche Änderungsrate angezeigt wird. Zweitens, wenn sich das Paket mit der Geschwindigkeit V durch ein ungleichmäßiges Feld bewegt, erfährt es eine Änderungsrate V ⢠â zusätzlich zum Term der instationären Strömung. Daher ist die Lagrangesche Ableitung mit den Ableitungen im Eulerschen Rahmen verbunden. Im Allgemeinen ist die Lagrangesche Ableitung mit den Ableitungen im Eulerschen System durch die Gleichung (für die Geschwindigkeit) verbunden:

Die Anwendung dieser Transformation auf die Flüssigkeitsgeschwindigkeit führt zu verblüffenden Ergebnissen, insbesondere bei der Bestimmung der Lagrangeschen Beschleunigung. Im Falle einer stetigen 1D-Strömung führt die Anwendung der oben genannten Gleichung auf die Geschwindigkeit zu einer Reduzierung:

Es ist zu beobachten, dass eine bestimmte Materialbeschleunigung Du/Dt einen erheblichen räumlichen Gradienten âu/âx erfordert, wenn die Geschwindigkeit u klein ist, während nur ein geringer âu/âx erforderlich ist, wenn u groß ist. Dieses Phänomen ergibt sich aus der Bewegung eines Lagrangeschen Flüssigkeitspakets innerhalb des Geschwindigkeitsfeldes.

Eine der Herausforderungen in der Mathematik ist das Vorhandensein von Vektoren und Tensoren unter den Größen, mit denen wir umgehen müssen. Die Geschwindigkeit ist zum Beispiel ein Vektor und die Gleichung für die Erhaltung des Impulses ist eine Vektorgleichung. Im dreidimensionalen Raum führt dies zu drei Variablen und drei Gleichungen, was intuitiv relativ leicht zu verstehen ist.

Das Problem der Darstellung der Übertragung von Kräften durch âKontaktâ zwischen benachbarten Flüssigkeitspaketen ist nicht sofort offensichtlich. Vom physikalischen Standpunkt aus betrachtet, entstehen diese Kräfte durch die Übertragung von Impulsen durch Molekularbewegungen. In der Kontinuumsformulierung werden die kumulativen Auswirkungen zahlreicher molekularer Bewegungen jedoch als scheinbare innere Spannungen innerhalb der Flüssigkeit oder als Kräfte, die pro Flächeneinheit entlang der Grenze eines Pakets ausgeübt werden, dargestellt.

Die mathematische Herausforderung, mit der wir konfrontiert werden, bezieht sich auf das übergreifende Problem der Darstellung des Spannungszustands innerhalb eines kontinuierlichen Materials. Zunächst müssen wir uns mit dem Konzept der hypothetischen Grenzen vertraut machen, die benachbarte Teile des Materials voneinander trennen. Anschließend müssen wir uns mental vorstellen, wie zwei benachbarte Teile des Materials über ihre gemeinsame Grenzfläche gleiche und entgegengesetzte Spannungen aufeinander ausüben. Unsere Erklärung muss in der Lage sein, den Spannungszustand an jedem beliebigen Punkt in der Flüssigkeit genau zu bestimmen und dabei das entsprechende Ausmaß der entgegengesetzten Kräfte zu berücksichtigen, unabhängig von der Ausrichtung der hypothetischen Grenze. Die Spannung bezieht sich in diesem Zusammenhang auf eine Vektorgröße, die die Kraft pro Flächeneinheit angibt, die von der Ausrichtung einer imaginären Trennfläche abhängt. Diese Teilungsfläche kann durch die Richtung ihres Normalenvektors definiert werden.

Die Spannung ist ein TensorDies hat zur Entwicklung der Tensoranalyse geführt, einem Bereich der Mathematik, der sich mit der Bereitstellung strenger Methoden zur Handhabung solcher Größen beschäftigt. Dieser mathematische Rahmen ist nicht nur in der Kontinuumsmechanik, sondern auch in verschiedenen Zweigen der Physik anwendbar. Neben der Tensoranalyse wurden auch Kurzschreibweisen entwickelt, um diese Manipulationen effizient auszudrücken. Die Tensornotation bietet den zuverlässigsten Ansatz für die Behandlung von Spannungs- und Konvektionstermen in Gleichungen, insbesondere bei der Transformation in verschiedene Koordinatensysteme. Es ist zwar möglich, diese Manipulationen ohne Tensornotation durchzuführen, aber die Wahrscheinlichkeit von Fehlern steigt erheblich. Unabhängig von der Verwendung der Tensornotation werden diese Manipulationen schnell zu Übungen in der Symbolmanipulation, was es schwierig macht, ein klares Verständnis ihrer physikalischen Bedeutung zu behalten.

Bis jetzt haben wir über die NS-Gleichungen nur in ihrer lokalen oder differenziellen Form gesprochen,
Das ist die Form, die sich am direktesten auf die meisten unserer nachfolgenden Diskussionen beziehen wird.
In einigen Anwendungen reicht jedoch eine globalere Sicht des Flusses aus und kann einfacher zu handhaben sein.
zu handhaben. Für diese Situationen haben wir die Kontrollvolumenform der Gleichungen, bei der
die Gleichungen über ein Volumen und die Oberflächen, die das Volumen begrenzen, integriert wurden.
Die Kontrollvolumen-Gleichungen sind âexactâ in dem Sinne, dass es keinen Verlust an Genauigkeit gibt
relativ zu den Differentialgleichungen, aber sie sind âvereinfachtâ in dem Sinne, dass sie die
uns nur sagen können, was mit den integrierten Größen geschieht und nichts darüber, wie die lokalen Größen sind
über das Volumen und die Begrenzungsflächen verteilt sind.

In konventionellen Ansätzen für die NS-Gleichungen weisen alle Strömungsvariablen Kontinuität und Differenzierbarkeit auf, selbst in Gegenwart von Schocks. Diese vorteilhafte Eigenschaft ermöglicht es uns, wichtige mathematische Prinzipien zu nutzen, ohne dass wir irgendwelche physikalischen Überlegungen einbeziehen müssen. Dies bringt uns dazu, uns mit dem Thema des folgenden Abschnitts zu befassen.

Kinematik 1: Stromlinien und Streaklines

Grundlegend für das Verständnis von Strömungsfeldern ist die Verwendung von k;inematischen Beschreibungen. Es ist unerlässlich, die kinematische Struktur einer Strömung zu verstehen, um sich mit der grundlegenden Dynamik zu befassen, die im Spiel ist. Die Eigenschaften der kinematischen Struktur eines Strömungsfeldes sind von Natur aus durch die Natur des Geschwindigkeitsfeldes als kontinuierliches Vektorfeld gebunden.
Zwei häufig verwendete kinematische Konzepte sind Stromlinien und Streaklines. Stromlinien sind 3D-Raumkurven, die in jedem Punkt parallel zum Geschwindigkeitsvektor verlaufen. Streaklines hingegen sind ebenfalls 3D-Raumkurven, aber sie werden durch die Positionen einer Reihe von Flüssigkeitspaketen definiert, die alle einen bestimmten Ursprungspunkt irgendwo stromaufwärts im Strömungsfeld durchlaufen haben. Während der Ursprungspunkt für eine Streakline normalerweise als fester Punkt im Raum betrachtet wird, kann er sich auch mit der Zeit bewegen. Es ist wichtig zu wissen, dass eine Stromlinie ein mathematisches Konstrukt ist, das nur durch die Lösung eines mathematischen Problems definiert werden kann, insbesondere durch die Konstruktion einer Kurve, die parallel zu einem gegebenen Vektorfeld ist. Im Gegensatz dazu ist eine Stromlinie kann, zumindest bis zu einem gewissen Grad, in realen Strömungen beobachtet werden, die durch eine passive Verunreinigung wie Farbstoff in Flüssigkeiten oder Rauch in der Luft gekennzeichnet sind.
Bei einer konstanten Strömung richten sich die Stromlinien und Streifenlinien, die von bestimmten Punkten ausgehen, aneinander aus und stimmen mit den Pfaden der einzelnen Partikel, den so genannten Lagrange-Paketen, überein. Trotz der Gleichmäßigkeit der Strömung kann es bei der Entschlüsselung der Strömungsmuster immer noch zu verblüffenden Komplexitäten kommen.
Zeitlinien sind die Linien, die von einer Gruppe von Flüssigkeitsteilchen gebildet werden, die zu einem früheren Zeitpunkt markiert wurdenDadurch entsteht eine Linie oder eine Kurve, die sich bei der Bewegung der Partikel zeitlich verschiebt.

Im Falle einer instationären Strömung nimmt die Komplexität der Situation erheblich zu, was zu deutlichen Variationen der Stromlinien, Streifenlinien und Partikelbahnen führt. Die bloße Betrachtung des Musters, das von einem dieser Elemente gebildet wird, liefert eine unzureichende und oft trügerische Darstellung der Strömung. Die folgenden Abbildungen veranschaulichen die unterschiedlichen Erscheinungsbilder der instationären Strömung im Kielwasser eines kreisförmigen Zylinders, wenn sie in Form von Streifenlinien (a) und Stromlinien (b) dargestellt werden. Darüber hinaus bieten die Zeitlinien (c), die in Kürze definiert werden, eine ganz andere Perspektive.

Kinematik 2: Strömungsrohre, Strömungsoberflächen und die Strömungsfunktion

Das Konzept einer Streamtube wird in der Regel ausschließlich auf gleichmäßige Strömungen angewendet. A Strömungsrohr wird durch eine geschlossene Kurve im Strömungsfeld definiert, wobei durch alle Punkte der Kurve stetige Stromlinien oder Streifenlinien verlaufen. Diese geschlossene Kurve bildet die Begrenzung einer gekrümmten Röhre, wobei die Begrenzungsfläche parallel zum Geschwindigkeitsvektor verläuft. Infolgedessen fließt kein kontinuierliches Flüssigkeitspaket durch diese Oberfläche. Bei einer gleichmäßigen Strömung bleibt der Massenstrom in einem Strömungsrohr gemäß dem Kontinuitätsprinzip an jedem Querschnitt entlang seiner Länge konstant. In einem zweidimensionalen Strömungsfeld können wir ein Strömungsrohr immer noch auf dieselbe Weise wie in drei Dimensionen definieren, indem wir eine geschlossene Kurve zur Festlegung der Grenze verwenden. Eine praktischere Definition besteht jedoch darin, die geschlossene Kurve, die das Strömungsrohr definiert, in zwei Punkte entarten zu lassen. Dadurch wird das Strömungsrohr in eine zweidimensionale Strömungsschicht umgewandelt, die durch eine Stromlinie definiert ist, die durch jeden Punkt verläuft.

Die Grenzfläche eines Strömungsrohrs ist eine spezielle Ausprägung des umfassenderen Konzepts einer Strömungsfläche, die typischerweise mit stetigen Strömungen in Verbindung gebracht wird. Die Kurve im Raum, die zu einer Stromfläche führt, muss nicht unbedingt eine geschlossene Kurve sein, und die resultierende Stromfläche muss keine geschlossene Röhre bilden. Eine allgemeine Strömungsfläche ist eine Fläche, die von keinem kontinuierlichen Flüssigkeitspaket durchquert wird. In dreidimensionalen Strömungen können Stromoberflächen, die zunächst flach erscheinen, stark verzerrt werden, wenn die Strömung stromabwärts fortschreitet. Das Konzept einer Stromfunktion ist nur auf zweidimensionale Strömungen anwendbar. Betrachtet man zwei Punkte A und B in einer zweidimensionalen Strömung, so hängt der Massenfluss durch eine Kurve, die diese Punkte verbindet, nur von den Positionen der Punkte und der Zeit ab, unter der Annahme, dass die Strömung entweder inkompressibel oder stationär ist. In dem in der Abbildung unten dargestellten Szenario beispielsweise entspricht der Massenfluss über jede Kontur, die die Punkte verbindet, dem Massenfluss innerhalb der schattierten Strömungsrohr. Wenn also der Punkt A fixiert ist, definiert der auf diese Weise berechnete Massenfluss für alle anderen Punkte B eine eindeutige Funktion, die als Stromfunktion bekannt ist. Folglich bleibt die Stromfunktion entlang der Stromlinien konstant, und die Diskrepanz ihres Wertes zwischen zwei Stromlinien entspricht dem Massenfluss innerhalb der Stromröhre von ihnen abgegrenzt. Die Stromfunktion wurde in der Vergangenheit häufiger verwendet als heute. Sie wurde häufig in früheren theoretischen Diskussionen über inkompressible Strömungen verwendet und gelegentlich in numerischen Techniken zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen in zwei Dimensionen eingesetzt.

Kinematik 3: Zeitlinien

Zeitlinien sind ein wertvolles kinematisches Konzept, das am häufigsten in 2D-Strömungen Anwendung findet, obwohl es für jede Art von Strömung definiert werden kann, ob stationär oder instationär. Der Prozess der Definition einer Zeitachse beginnt mit der Markierung einer Reihe von Lagrange’schen Flüssigkeitspaketen, die zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt in der Strömung angeordnet sind. Anschließend wird eine Zeitleiste erstellt, indem der Weg dieser Pakete zu einem späteren Zeitpunkt verfolgt wird. Zeitlinien erweisen sich als besonders nützlich, wenn sie aus mehreren Linien bestehen, wobei die Anfangszeitpunkte jeder Linie durch gleiche Zeitintervalle getrennt sind. In praktischen Szenarien können Zeitlinien durch passive Schadstoffmarker angenähert werden, die in der Regel von einem dünnen Draht stammen, der quer über die Strömung gespannt ist. Bei Luftströmungen wird der Draht mit Öl beschichtet und ein gepulster elektrischer Strom, der an den Draht angelegt wird, erzeugt kurze Rauchausbrüche, die als Markierungen für die sich stromabwärts bewegenden Linien dienen. In Wasserströmungen können elektrische Impulse Linien aus kleinen Wasserstoff- oder Sauerstoffblasen erzeugen, die die Strömung effektiv markieren.

Die folgende Abbildung ist ein anschauliches Beispiel für Zeitlinien in einer turbulenten Grenzschicht und verdeutlicht ein wichtiges Merkmal von Zeitlinien in turbulenten Strömungen:

In einer vollständig turbulenten Grenzschicht macht die Größe der turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen keinen signifikanten Anteil der Durchschnittsgeschwindigkeit aus. Folglich behalten die jüngeren Zeitlinien in der Nähe des linken Bildrandes einen Sinn für Ordnung und akkumulieren allmählich Verzerrungen, die im Vergleich zum Rest des Bildes einer glatteren Strömung ähneln. Wenn die Strömung von links nach rechts fortschreitet, häufen sich diese Verzerrungen, bis die rechte Hälfte des Bildes eine chaotische und ungeordnete Ansammlung von Zeitlinien zeigt, die sich vollständig innerhalb der Grenzschicht befinden. In dieser vollständig turbulenten Strömung suggeriert die Darstellung der Zeitachse fälschlicherweise eine zunehmende Intensität der turbulenten Bewegungen von links nach rechts.

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