il y a quelques posts j'ai dit que la pose porteuse de l'organe terminal est composée d'une partie de position et d'une partie d'orientation:
où q=(q1, q2, ..., qn) est le vecteur des variables articulaires et x = [p, fi] = [(x1, x2, x3), fi) è il vettore posa (= posizione + orientamento) nello spazio operativo. Perché non esplicito il vettore orientamento fi? Beh...lo vedremo tra un po', non è così ovvio.
je n'ai pas précisé dans la pratique quel est le transporteur fi qui représente l'orientation. voyons plus de détails maintenant.
le but est de décrire une trajectoire complète qui combine deux points dans l'espace, selon le temps. s'il est plutôt intuitif de générer une trajectoire de position entre deux points, comme un segment, ou un arc de circonférence, il n'est pas si intuitif de générer une trajectoire, par exemple « ligne » entre deux directions.
matrices de rotationnous avons vu, bien que pas en détail, les matrices de rotation. au moyen d'une matrice de rotation, il est possible de prendre un vecteur décrit par rapport à une sterne de référence, et de le décrire par rapport à une autre sterne, par rapport à la première. par conséquent, une matrice de rotation peut être considérée comme la description de l'orientation d'une terna par rapport à une autre.
une matrice de rotation dans l'espace euclidien, a trois lignes et trois colonnes, pour un total de neuf éléments, évidemment pas tous indépendants. étant une matrice orthogonale (fonctionne une isométrie dans un espace tensoral) seulement trois de ses éléments sont indépendants. cela signifie que si nous voulons utiliser une matrice de rotation pour la description d'une orientation, nous devons gérer, point par point, neuf éléments dont trois sont calculés par équations horaires, et ajouter à ces six équations de congruence qui maintiennent la matrice orthogonale à chaque point.
ce n'est pas une bonne affaire, en fait les matrices de rotation ne sont pas utilisées à cette fin, en raison de la forte redondance des informations inhérentes à leur structure.
angoli di euleronous avons vu que les paramètres pour la description de l'orientation sont trois. il est alors spontané de dire que la meilleure solution est une « description minimale » ou une description à trois paramètres. ce n'est pas comme ça, mais on verra pourquoi.
la représentation la plus répandue à trois paramètres est appelée description par "angles eulero".
cette représentation consiste à décrire une orientation comme une succession de trois rotations successives autour de trois axes.
comme les axes sont trois et les rotations successives doivent être trois, nous avons 27 combinaisons possibles, mais de celles-ci nous devons éliminer tous ceux dans lesquels deux axes consécutifs coïncident. il reste 12 tares différentes d'angles profonds pour décrire une orientation à travers trois paramètres et il est nécessaire de savoir avec quelle terna a été décrite.
peut-être est-ce ici le cas de se souvenir que pour les rotations non infinitésimales, le champ de tenseur qui les décrit ne jouit pas de la propriété commutative. si ruoto d'alpha autour de x, de bêta autour de y et de portée autour de z j'ai atteint une soif. si les trois rotations se produisent dans un ordre différent, vous obtiendrez en général un ordre différent. pour comprendre il suffit de prendre un parallélépipedo et faire un test, pour la simplicité avec toutes les rotations de 90°.
l'un des tarts les plus célèbres est le soi-disant "rpy" qui est habituellement utilisé pour décrire l'arrangement dans l'espace des avions et des coques. "rpy" signifie:
roulis, c'est-à-dire l'angle de roulis, l'angle autour de l'axe longitudinal
pas, c'est-à-dire l'angle de bec, autour de l'axe de croix
va chercher l'angle d'atterrissage autour de l'axe de la croix.
voir cas l'orientation d'un poignet sphérique peut être décrite en associant les paramètres r-p-y aux axes 4-5-6. confortable, hein ? malheureusement, non...
malheureusement, même les coins d'eulero sont peu utilisés en robotique pour une série de problèmes structurels liés à la structure mathématique particulière. beaucoup de robots exposent l'ensemble exprimé sous des angles très profonds, mais en réalité le contrôleur pour leurs calculs utilise l'un des deux systèmes décrits ci-après.
quels sont les problèmes ? allons les énumérer.
- tout d'abord les angles d'eulero présentent une série de singularité de représentation. c'est un problème plus grave que les singularités déjà décrites des jacobins. en fait les singularités du jacobin sont le correspondant mathématique des singularités cinématographiques physiquement existantes. bien sûr, ces singularités sont présentes physiquement dans la structure cinématographique du manipulateur. dans le cas des coins d'eulero plutôt ces singularités (appelées « représentation ») sont liées exclusivement à la structure mathématique de la représentation choisie. ne sont donc pas les limites du manipulateur, mais seulement les limites numériques introduites par la méthode spécifique utilisée pour les calculs. en fait les singularités par rapport à une certaine terna ne sont pas présentes dans les autres tares, cela a fait qu'il voulait dans le passé utiliser plus d'ivraies avec singularité de représentation non alignée, et de sauter d'un à l'autre à "scan" les problèmes. cette méthode a l'inconvénient incontestable de devoir écrire et résoudre des équations pour « rejoindre » les descriptions aux points où vous décidez de les coudre, ce qui complique encore plus la méthode.
- ils ont une structure mathématique assez instable. en particulier autour des coins proches de 0° et 180° où les seins et les choses annulent ou deviennent très petits.
- ils sont cartographiés dans l'espace opérationnel contre-intuitivement. il est difficile d'expliquer sans voir ce que vous décrivez, mais nous imaginons que nous voulons décrire une rotation autour d'un seul axe, autre que ceux utilisés pour la représentation. par exemple, un axe de 45° par rapport aux trois plans coordonnés. comment avez-vous pu faire ça ? intuitivement, la rotation pourrait être effectuée précisément autour de cet axe. c'est très simple, non ? au contraire, une trajectoire linéaire réalisée par une représentation des angles d'eulero décrit cette rotation simple de manière beaucoup plus complexe. vous verrez l'objet tourner autour de lui-même le long de plusieurs axes avec un "mauvais" mouvement, contre-intuitif et avec une vitesse non homogène, puis, bien sûr, à la fin de la trajectoire, avec l'arrangement requis.
anglepuis nous surmontons les difficultés de la représentation à travers les coins d'eulero. nous devons renoncer à une représentation "minimum" de seulement trois paramètres. "let's pion" introduisant une représentation à quatre paramètres, puis redondante, qui aura besoin d'une équation de congruence, mais avec cela nous obtenons un certain nombre d'avantages.
la première représentation à quatre paramètres, la plus simple, est celle appelée "axe / angle". si j'ai deux ensembles dans l'espace, j'ai toujours la possibilité d'identifier une seule rotation, autour d'un axe précis, qui peut décrire la seconde par rapport à la première.
si en tant que paramètres j'utilise les éléments de guidage de cet axe, et l'angle autour de lui je dois tourner, j'ai fait du bingo.
je n'ai qu'une singularité, si le toit d'angle de rotation est nul, je n'ai aucun moyen de savoir quel axe doit être effectué. peu mauvais, parce que ce n'est pas une singularité de la représentation, mais une singularité physique. si j'ai un angle nul, alors pas de rotation, il suffira de donner la cohérence mathématique en choisissant arbitrairement un axe.
l'équation de congruence à ajouter, bien sûr, est que la somme des carrés des choses managériales est égale à un.
les avantages sont remarquables. nous avons résolu les problèmes de singularité de la représentation, nous avons une structure mathématique intrinsèquement linéaire car basée sur une seule rotation et sur les projections d'un vecteur sur les plans coordonnés ; donc intrinsèquement plus stable. disparaît également le problème de la cartographie de la trajectoire dans l'espace opérationnel que nous avions avec les angles d'eulero. une rotation autour d'un axe est maintenant effectuée de la manière la plus naturelle possible, ou tout comme une rotation autour de cet axe.
le seul inconvénient de cette représentation, en plus de celle de l'équation de congruence en plus, est une ambiguïté. une rotation des seins autour de r, et une de -teta autour de -r en fait concis. c'est une ambiguïté, elle doit être gérée, mais bien mieux que de gérer les singularités.
soient aussi proches que possible des sorties désirées ou du point de consigne.
