التحليل الرياضي للمواد المشتقة من التكاملات الحجمية والسطحية

انضم إلى منتدى المصممين

خبرتك ضرورية للمجتمع. انضم إلينا وساهم بمعرفتك

شارك وتعلّم وتقدّم مع أفضل المحترفين في هذا المجال

لتحليل المشتقة المادية للتكاملات الحجمية والسطحية، سنبدأ بتعريف المشتقة المادية، والمعروفة أيضًا باسم المشتقة الجوهرية. بعد ذلك، سنفحص تطبيقها على التكاملات الحجمية والسطحية باستخدام التدوين الرياضي والمفاهيم من حساب المتجهات.

المشتقات المادية

المشتقة D/Dt، والمعروفة أيضًا باسم المشتقة الزمنية المادية، هي في الواقع المشتقة الزمنية للكمية B لنقطة مادية ثابتة. وغالبًا ما يتم تحديد النقاط المادية بواسطة متجه الموضع الأولي عند t = 0. متجه الموضع للنقطة المادية في أي وقت t > 0 يُعطى بالصيغة التالية:

سيتم تعريف أي متغير تدفق محدد لنقطة مادة عشوائية x0 بواسطة B(x₀،ت).
وبالتالي فإن الوصف المكاني المقابل سيكون ب[x(x₀,t),t].
ومن الوصف أعلاه، يمكننا القول أن هناك نوعين من المشتقات الزمنية:

يمكن الحصول على العلاقة بين المشتقتين من خلال تطبيق قاعدة السلسلة:

تسمى المشتقات الزمنية في مواقع مكانية ثابتة بالمشتقات الزمنية أويلرية، وتلك المأخوذة في نقطة مادية ثابتة تسمى لاغرانجية.

الآن نأتي إلى المشتق المادي لتكاملات الحجم، أي نظرية رينولدز للنقل التي تنص على أن:

إن النظرية أعلاه ليست إلا امتدادًا لقاعدة لايبنتز في التفاضل عندما تكون حدود التكامل نفسه معتمدة على الزمن.

بتطبيق التعريف المعتاد للمشتقة باعتبارها حد “دلتا t” الذي يميل إلى 0 على الجانب الأيسر من المعادلة أعلاه، نحصل على:

في المعادلة أعلاه نقوم الآن بإضافة وطرح الحد أدناه:

وتصبح المعادلة بعد ذلك:

المصطلح الثاني هو فقط:

و ال الفصل الدراسي الأول يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

الذي يوضح أنه تكامل B

من أجل إيجاد التكامل أعلاه، يجب استخدام أي عنصر تفاضلي dA_م من الخامس_م

اين ا_م

ومن هنا الشكل النهائي لل نظرية رينولدز للنقل سوف يكون:

يمكن اتخاذ الخطوة التالية من خلال تطبيق نظرية تباعد جاوس على التكامل الإقليمي للجانب الأيمن من المعادلة أعلاه للحصول على الشكل المألوف للشكل التفاضلي المكافئ للمعادلة أعلاه.

لنأخذ حالة تطبيق بسيط حيث لدينا كثافة ρ(x ,t) بدلاً من متغير التدفق B(x, t). ثم نحصل من خلال تطبيق نظرية تباعد جاوس المذكورة أعلاه على الشكل التفاضلي النهائي لحفظ الكتلة:

مادة مشتقة من تكامل السطح:

في هذا القسم، سوف نطبق نفس المفاهيم التي تم تطويرها أعلاه لحالة المشتق المادي للتكاملات الحجمية للحصول على المعادلات الحاكمة لمعادلة انتشار تركيز المادة الخافضة للتوتر السطحي على واجهة بين وسطين.
هنا سوف نستخدم مبدأ الحفاظ على تركيز المادة الخافضة للتوتر السطحي على مساحة سطح المادة بافتراض عدم وجود أي مصادر أو أحواض، إما بسبب التفاعلات الكيميائية أو التدفق من أو إلى سوائل الطور السائب المحيطة. لذا، سوف نحصل على:

أين د/د ت هو المشتق المادي للنقط على الواجهة و S_م

مرة أخرى، باتباع نفس الخطوات الموضحة في القسم أعلاه من نظرية رينولدز للنقل لحجم المادة مع وضع في الاعتبار استبدال تكاملات الحجم بتكاملات السطح وتكاملات السطح بتكاملات المحيط، يمكننا الحصول على معادلة لمعادلة انتشار تركيز المادة الخافضة للتوتر السطحي على واجهة بين وسطين:

حيث u = سرعة جسيمات المادة الخافضة للتوتر السطحي على طول سطح الواجهة
Γ = تركيز المادة الخافضة للتوتر السطحي على السطح البيني
ن_ج = متجه الوحدة العمودي على محيط عنصر السطح
ن_ت = متجه الوحدة المماس لمحيط عنصر السطح
n = متجه الوحدة العمودي على سطح الواجهة
ج_م

الآن ن_ج يمكن إعادة كتابتها على هيئة n_ج = ن_ت x ن.

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة الحد الثاني من الجانب الأيمن للمعادلة أعلاه على النحو التالي:

حيث dl = متجه مماسي عنصري على طول محيط عنصر السطح.

لذا يمكننا أن نرى أن المتكامل داخل التكامل ليس سوى حاصل ضرب ثلاثي قياسي لثلاثة متجهات Γu وdl وn وهو [Γu dl n].

باستخدام خاصية الضرب الثلاثي القياسي:

الآن، من خلال تطبيق نظرية ستوكس على محيط مغلق، يمكننا تحويل تكامل المحيط إلى تكامل السطح المحدود بالمحيط، أي:

عند تقييم المصطلح الذي يحتوي على حاصل الضرب الثلاثي المتجهي، يمكن إعادة كتابة التكامل المحيطي أعلاه على النحو التالي:

لذا، يمكننا تعريف عامل جديد في مستوى الواجهة على النحو التالي:

ومن ثم، يمكن كتابة تكامل المحيط للجانب الأيمن للمشتقة المادية للتكامل السطحي على النحو التالي:

ومن ثم، تصبح المعادلة الأولى لهذا القسم لمعادلة المشتقة المادية:

أو،

وبالتالي، فإن الشكل التفاضلي سيكون:

أين:

إذا قمنا بتحليل سرعة المادة الخافضة للتوتر السطحي في اتجاهين متعامدين، أي على طول سطح الواجهة وعموديًا على سطح الواجهة، فسنحصل على:

وبالتالي تصبح معادلة التفاضل الحاكمة أعلاه:

ومن ثم، في غياب الانتشار، يمكننا أن نرى أن هناك مصطلحين يساهمان في التغير في Γ، الأول هو الحمل الحراري البسيط مع سرعة الواجهة us، والمصطلح الثاني يُعرف باسم مصطلح التخفيف. إذا أضفنا مساهمة الانتشار، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن مصطلح الانتشار ينشأ بسبب الحركة البراونية ويمكن التعبير عنه كمنحدر لتركيز المادة الخافضة للتوتر السطحي على غرار تدرج درجة الحرارة في حالة التوصيل الحراري الانتشاري، فإن الشكل النهائي لمعادلة انتشار تركيز المادة الخافضة للتوتر السطحي مع المصطلح الانتشاري سيصبح:

وبشكل أساسي، يمكن الآن استخدام هذه المعادلة في مجموعة متنوعة من الحالات مثل تفسير حركة جزيئات الكافور على سطح الماء، وما إلى ذلك.

خاتمة:

يتيح التحليل الرياضي للمشتقات المادية للتكاملات الحجمية والسطحية فهمًا أعمق لكيفية تطور الكميات الفيزيائية في سائل متحرك. من خلال فحص التغيرات الزمنية في التكاملات الحجمية والسطحية للحقول القياسية أو المتجهة، يمكننا اكتساب رؤى حول ديناميكيات وسلوك أنظمة تدفق السوائل.

انضم إلى منتدى المصممين

خبرتك ضرورية للمجتمع. انضم إلينا وساهم بمعرفتك

شارك وتعلّم وتقدّم مع أفضل المحترفين في هذا المجال