تعمل العديد من المكونات الميكانيكية في بيئات معرضة للاهتزاز، والذي من المحتمل أن يسبب رنينًا إذا كانت المكونات ذات ترددات ذاتية منخفضة. يمكن أن يكون لهذا تأثيرات متفاوتة الخطورة، سواء كان ذلك مصدر إزعاج بسيط لتجهيزات السيارة، أو أخطاء فادحة في التصنيع عالي الدقة، أو فشل خطير في الهندسة المدنية. يوضح منشور المدونة هذا كيفية تعظيم أدنى تردد ذاتي باستخدام تحسين الشكل والطوبولوجيا بحيث يمكن تقليل احتمالية الرنين. الوظيفة المضمنة في COMSOL Multiphysics® يسمح البرنامج بحل هذه المشكلات من خلال التحسين القائم على التدرج.
مقدمة في الرنين الميكانيكي
عندما يتم إثارة نظام ميكانيكي بواسطة قوة يتطابق محتواها الترددي مع الترددات الطبيعية للنظام، يمكن أن يحدث رنين ميكانيكي، مما يؤدي إلى اهتزاز بسعة عالية. هذا التأثير يستطيع يمكن الاستفادة منها (على سبيل المثال، في الساعات والآلات الموسيقية)، ولكن في منشور المدونة هذا سنركز على الرنين غير المرغوب فيه، والذي يمكن أن يسبب مشاكل التعب في الآلات أو الفشل في الهندسة المدنية. يمكن اتخاذ العديد من التدابير للتخفيف من الرنين، مثل تثبيت أنظمة عزل الاهتزاز النشطة أو السلبية أو إرشاد المستخدمين لتجنب السلوك الذي يحفز الرنين. على سبيل المثال، كما هو موضح في الصورة أدناه، يتضمن أحد الجسور الشهيرة في لندن لافتة تأمر الجنود بكسر الخطوة عند عبور الجسر – وبهذه الطريقة لن يسبب الإيقاع الموحد لمسيرتهم رنينًا ميكانيكيًا خطيرًا.
هناك إستراتيجية أخرى لتجنب الرنين الميكانيكي وهي ببساطة زيادة التردد الطبيعي الأدنى. وسنستكشف هنا كيف يمكن تحقيق ذلك من خلال التحسين.
يتضمن جسر ألبرت في لندن لافتة تأمر الجنود بكسر الخطوة على الجسر لتجنب الرنين. الصورة الأصلية بواسطة كولن سميث، مرخصة بموجب سي سي بي-سا 2.0 عبر ويكيميديا كومنز.
مقدمة إلى التحسين
تتكون جميع مشكلات التحسين من بعض متغيرات التصميم التي يجب تغييرها بواسطة خوارزمية التحسين من أجل تحسين كمية معينة – دالة الهدف. قد تكون هناك أيضًا متطلبات حيث لا يمكن للمتغيرات الأخرى أن تتجاوز حدودًا معينة، وتسمى أيضًا قيود. في سياق التصميم بمساعدة الكمبيوتر، غالبًا ما يتم حساب الهدف باستخدام المحاكاة.
بالنسبة لخوارزمية التحسين، يمكن التمييز بين:
- التحسين الخالي من التدرج، حيث يستخدم التحسين فقط قيم الهدف والقيود لتحديث متغيرات التصميم
- التحسين القائم على التدرج، حيث يعرف التحسين أيضًا مدى حساسية الهدف والقيود للتغيرات في متغيرات التصميم
يحتوي التحسين المستند إلى التدرج على معلومات أكثر بكثير في كل تكرار، وبالتالي فهو أسرع بشكل ملحوظ، خاصة بالنسبة للمشكلات المتعلقة بالعديد من متغيرات التصميم. إن التناقض في السرعة كبير جدًا لدرجة أن النهج الأول غير عملي بالنسبة لمعظم تطبيقات تحسين الشكل والطوبولوجيا. كومسول للفيزياء المتعددة® يدعم كلا نوعي التحسين المذكورين هنا، ولكن منشور المدونة هذا سيركز على التحسين المستند إلى التدرج.
في الأمثلة التالية، الهدف هو زيادة الحد الأدنى من التردد الذاتي إلى الحد الأقصى، ولكن يمكن للمرء أيضًا زيادة المسافة إلى بعض الترددات غير المرغوب فيها التي ربما تحدث بشكل طبيعي في البيئة. أحد الجوانب المتكررة لمشاكل الترددات الذاتية هو أنه على الرغم من أن البنية تحتوي على تماثلات تصميمية، إلا أن أنماطها الذاتية قد تكون غير متماثلة. لهذا السبب، يجب تصميم الهيكل بأكمله في كل تكرار. ومع ذلك، في الحالة التي يكون فيها التصميم الأولي متماثلًا، فيمكن الحفاظ على ذلك باستخدام تناظر المرآة ميزة في تحسين الشكل أو تحسين الطوبولوجيا واجهه المستخدم.
تحسين الشكل
المثال الأول هو نموذج الصدفة الذي تم تثبيته في أحد طرفيه. يتم الحفاظ على استمرارية المتجه الطبيعي باستخدام التسوية المستندة إلى المعادلة التفاضلية الجزئية (PDE) لتشوه الحدود، \mathbf{د}، على غرار مرشح هيلمهولتز المستخدم لتحسين الطوبولوجيا، على سبيل المثال،
\mathbf{d} = L_\mathrm{min}^2 \nabla^2 \mathbf{d} + \mathbf{c}, \quad ||\mathbf{c}||\leq d_\mathrm{max},
أين د_\ماثرم {ماكس} هو الحد الأقصى للنزوح، L_\mathrm {دقيقة} هو طول الفلتر د_\ماثرم {حد أقصى} / L_\ ماثرم {دقيقة} هو الحد الأقصى لمنحدر التشوه، و \mathbf{ج} هو مجال التحكم المتغير لتشوه الحدود. عند إجراء تحسين شكل المواد الصلبة، يوجد أيضًا PDE لتنعيم العناصر الداخلية، ولكن في الممارسة العملية، يتم التعامل مع كل شيء بواسطة مجال الشكل الحر, حدود الشكل الحر، و شل الشكل الحر الميزات في تحسين الشكل واجهه المستخدم. تسمح هذه الميزات فقط بالتحسين القائم على التدرج. كبدائل لتنظيم الشكل القائم على PDE، يمكن للمرء أيضًا استخدام تقنية تنظيم متعدد الحدود أو إجراء تغييرات بسيطة على الشكل الهندسي، مثل الترجمة والتدوير والقياس. (تعرف على المزيد حول الترجمة والقياس في سلسلتنا المكونة من جزأين حول تحسين الشكل في الكهرومغناطيسية.) توضح الرسوم المتحركة أدناه نتيجة استخدام التنظيم القائم على PDE مع الحفاظ على تناسق التصميم.
يتم تحريك تصميم الصدفة طوال تاريخ التحسين.
يتم التعامل مع تبديل الوضع من خلال حل الترددات الذاتية الستة الأولى دائمًا واستخدام طريقة تحريك الخطوط المقاربة (MMA) لتعظيم الحد الأدنى من الترددات الذاتية.
المثال التالي يتناول قوسًا صلبًا، لكن هندسة القوس تشبه الصدفة إلى حدٍ ما، لذا فمن المنطقي الحفاظ على سمك أذرع القوس. ويمكن تحقيق ذلك من خلال الجمع بين أ النتوء العام عامل مع أ التشوه الموصوف الميزة (راجع القوس – تحسين شكل التردد الذاتي في معرض التطبيقات لمعرفة المزيد). بخلاف ذلك، فإن الإعداد مشابه للنموذج السابق من حيث الهدف وإنفاذ التناظر، ولكن التصميم الأولي ليس سيئًا للغاية، وبالتالي فإن التحسين أقل دراماتيكية (كما هو موضح أدناه).
تحسين الطوبولوجيا
يمكن أيضًا الاستفادة من التحسين المستند إلى التدرج عند إجراء تحسين الهيكل، خاصة عند استخدام تحسين الطوبولوجيا واجهة في البرنامج. يمكن العثور على مقدمة تفصيلية لتحسين الهيكل في منشور مدونتنا “إجراء تحسين الهيكل باستخدام طريقة الكثافة”. الفكرة الأساسية هي تقديم مجال متغير للتصميم متفاوت مكانيًا، \theta_c، الذي يحده بين 0 و 1، وهو ما يتوافق مع المواد الصلبة والفارغة، على التوالي. بالنسبة للميكانيكا الإنشائية، يمكن للمرء أن يعتمد على الكثافة ومعامل يونغ (الصلابة) على هذا المتغير. الاعتماد ليس واضحًا، حيث أنه من المفيد تنظيم المشكلة باستخدام الحد الأدنى من مقياس الطول، L_\mathrm {دقيقة}. ومن الضروري أيضًا استيفاء الكثافة، \rho، بطريقة مختلفة عن الصلابة، ه، لمنع القيم المتوسطة لمتغير التصميم من السيطرة على التصميم الأمثل بسبب نسبة الصلابة إلى الوزن الجيدة. يتم إعطاء العلاقة بين مجال متغير التصميم وخصائص المواد من خلال:
\theta_f &=& L_\mathrm{min}^2\nabla^2\theta_f+\theta_c \\
\theta &=& \frac{\tanh (\beta[\theta_f-1/2])+\tanh (\beta/2 )}{2\tanh(\beta/2)} \\
\rho &=& \rho_\mathrm{mat}\theta \\
E &=& E_\mathrm {mat}(\theta_\mathrm{min}+(1-\theta_\mathrm{min})\theta^{p_\mathrm{SIMP}})،
أين \theta_f هو متغير التصميم الذي تمت تصفيته، \beta هي معلمة منحدر الإسقاط، و ع_\ماثرم {سيمب} هي المادة الصلبة المتناحية مع معلمة العقاب (SIMP). يمكن أن يكون لهذه المعلمات تأثير قوي على التصميم الأمثل، لذا، لتجنب الحدود الدنيا المحلية السيئة، قد يكون من الضروري حل مشكلة التحسين لعدة مجموعات من هاتين المعلمتين. وهذا يعني أنه تم حل عملية المسح البارامترية لمشكلات التحسين، كما هو موضح في مثال الحزمة الموضح أدناه. يتم تثبيت العارضة على اليسار وتدعم وزنًا عند الطرف الأيمن وهو 15% من الوزن الإجمالي. يخضع الشعاع لقيود حجم 40٪. تم حل مشكلة تحسين الطوبولوجيا لخمس مجموعات من المعلمات (p_\mathrm{SIMP}، \beta)، يساوي (1، 2)، (2، 4)، (3، 8)، (4، 16)، و (5، 32). من المتوقع أن يكون الاتصال ضعيفًا وتدرجًا رماديًا للتحسينات الأولية، لكن هذه التصميمات غير المادية توفر تصميمات أولية جيدة للتحسينات اللاحقة.
عند إجراء تحسين الهيكل، من الممارسات الجيدة إجراء محاكاة التحقق على شبكة مثبتة على الجسم. وقد تم ذلك في إصدار معرض التطبيقات من هذا النموذج، وتظهر النتائج أداء أفضل من حيث الترددات الذاتية الأعلى مقارنة بنتيجة التحسين الأولية. وهذا أمر متوقع، حيث أن تمثيل التصميم الضمني يجعل المادة أقل صلابة بالقرب من السطح البيني الصلب-الفراغي.
أخيرًا، تظهر هنا نتيجة تحسين واحدة، ولكن من السهل إنشاء تصميمات بديلة باستخدام قيم مختلفة لجزء الحجم أو الكتلة المضافة أو الحد الأدنى لمقياس الطول.
خاتمة
من الممكن استخدام تحسين الشكل والطوبولوجيا لتعظيم التردد الذاتي. في كثير من الأحيان لا يمكن فرض شروط التماثل على الفيزياء، ولكن يمكن للمرء تقييد التحسين بحيث يستمر إنتاج التصميم المتماثل. يمكن أيضًا تطبيق استراتيجية الحد الأقصى/الدقيقة المستخدمة لتبديل وضع التعامل إذا كان الهدف هو تعظيم المسافة إلى تردد معين غير مرغوب فيه.
لاكتساب خبرة عملية في مجال تعظيم الترددات الذاتية، قم بتنزيل الأمثلة المذكورة في منشور المدونة هذا من معرض التطبيقات: