الهدف من هذا المنشور ليس اشتقاق المعادلات رياضيًا، بل تقديم تفسيرات موجزة وبديهية لمعاني المصطلحات المختلفة في المعادلات. بالإضافة إلى ذلك، نحن نهدف إلى تحليل بعض المفاهيم الشاملة التي يمكن استخلاصها من المعادلات المتعلقة بخصائص التدفقات.
المعادلات الأساسية التي نستخدمها هي تمثيلات لمبادئ الحفاظ على الكتلة والزخم والطاقة. يتم توضيح هذه المبادئ وفهمها بشكل أكثر فعالية ضمن الإطار المرجعي لاغرانج، حيث نصور الحركة فيما يتعلق بمسارات الطرود السائلة غير المتغيرة أثناء تقدمها بمرور الوقت.
ومع ذلك، فإن الإطار المرجعي الأويلري، الذي يتضمن وصف التدفق أثناء مروره بنقاط في إطار مرجعي مكاني مستقل عن السائل، هو في النهاية الخيار المفضل لأسباب مفاهيمية وكمية. الطريقة التي سأعتمدها في هذا السياق هي تقديم شرح موجز لأهمية قوانين الحفظ في إطار لاغرانج قبل الانتقال إلى مناقشة حول كيفية توضيحها في الإطار الأويلري.
في كل من منظوري لاغرانج وأويلير، سوف نقوم بدراسة سلوك أحجام السوائل الصغيرة، وإن كان ذلك مع تعريفات متميزة في كل حالة. إن اشتقاق قوانين الحفظ لدينا كمعادلات تفاضلية جزئية (PDEs) يستلزم عملية رسمية للاقتراب من أبعاد متناهية الصغر لطرودنا السائلة. في حين أننا لن نخوض في تفاصيل هذا الإجراء في هذا الخطاب، فمن المهم للقارئ أن يضع في اعتباره أن الطرود السائلة في أي من الإطارين المرجعيين يجب أن يتم تصورها على أنها دقيقة بشكل تعسفي.
يقدم لامب (1932) تعريفًا لقطعة لاغرانج الثابتة من السوائل، مشيرًا إلى أنها تتكون فقط من نفس جزيئات السائل طوال الوقت. ومن أجل الحفاظ على هذا الاتساق، يجب أن يتحرك السطح المحيط بالطرد مع السائل بطريقة تمنع أي جزيئات سائلة من المرور عبره. ومع ذلك، فمن المهم أن نعترف بأن هذا المفهوم هو المثالية التي لا تنطبق إلا في عالمنا المستمر المفاهيمي. في الواقع، ستنتشر الجزيئات حتمًا عبر هذه الحدود في كلا الاتجاهين، وأفضل ما يمكننا فعله هو التأكد من أن الحدود تتبع متوسط حركة السائل، مما يؤدي إلى عدم وجود تدفق صافي للمواد عبرها. بغض النظر عن المنظور المتخذ، فإن الطرد سيحتوي دائمًا على نفس الكمية من المواد ولا يظهر أي تدفق صافي للمواد عبر السطح المحيط به. يخدم هذا النهج المتمثل في تجاهل الانتشار الجماعي جيدًا في حالة السوائل أحادية النوع أو السوائل متعددة الأنواع حيث تظل تركيزات الأنواع النسبية ثابتة. ومع ذلك، إذا كانت تركيزات الأنواع النسبية تختلف بشكل كبير، فإن تحديد قطعة سائل لاغرانج يصبح مشكلة. في الوقت الحالي، سوف نتجاهل هذا القيد البسيط في وصف لاغرانج ونواصل مناقشتنا.
كما ذكرنا سابقًا، تم وضع قوانين الحفاظ على الكتلة والزخم والطاقة. والسبب في ذلك هو أن هذه الكميات أساسية في الفيزياء والديناميكا الحرارية، مما يستلزم حفظها. على عكس الضغوط أو الضغوطات اللزجة التي ليس لها قوانين حفظ بسبب طبيعتها. ترتبط الكتلة والزخم والطاقة ارتباطًا وثيقًا بالمادة السائلة ويتم الحمل الحراري معها. وترتبط هذه الكميات المحملة بطرود مائع لاغرانج، مما يعني أن أي تغيير في الكمية داخل الطرد لا يمكن أن يحدث إلا بسبب العمليات الفيزيائية داخل الطرد أو عند حدوده. تعمل قوانين الحفظ على قياس هذه التغييرات، مما يوفر إطارًا لفهم الحفاظ على الكتلة والزخم والطاقة ضمن منظور لاغرانج.
استمرارية التدفق – الحفاظ على الكتلة
وفقًا لتعريفنا الدقيق لطرد السوائل في وصف لاغرانج، فإن الحفاظ على الكتلة داخل الطرد مضمون بطبيعته. ومع ذلك، فإن المعادلة المسؤولة عن ضمان الحفاظ على الكتلة بشكل واضح يجب أن تؤدي أدوارًا إضافية. تنشئ معادلة الاستمرارية علاقة بين كثافة السائل في نقاط مختلفة والحجم الذي يشغله، وبالتالي تلبي معيارين أساسيين:
- يعد الحفاظ على الكتلة مبدأ أساسيًا في كل قطعة لاغرانج، وفقًا لخصائص القطعة المحددة.
- لا توجد مساحات فارغة بين قطع لاغرانج، ولا تتقاطع القطع المجاورة. من الضروري النظر إلى حجم السائل بأكمله على أنه مملوء بالكامل بطرود لاغرانج التي تحافظ على الحفاظ على الكتلة.
يمكن فهم معادلة الاستمرارية في وصف لاغرانج بسهولة من الناحية الفيزيائية: عندما يتغير حجم قطعة من السائل، يجب أن تتغير كثافة السائل أيضًا من أجل الحفاظ على الكتلة الثابتة للقطعة.
على الرغم من أن أساس معادلة الاستمرارية هو فيزيائي (المتطلبات 1 و 2 أعلاه)، إلا أن المتطلبات التي تفرضها على التدفق ليست مباشرة بمعنى السبب والنتيجة مثل تلك التي تفرضها المعادلات الأخرى. على سبيل المثال، في الحفاظ على الزخم. القوى تسبب مباشرة التسارع. وفي الحفاظ على الطاقة.
القوى المؤثرة على قطع الموائع وحفظ الزخم
في الإطار المرجعي لاغرانج، يتم الحفاظ على الزخم بشكل واضح من خلال قانون نيوتن الثاني، F = ma. تمتلك قطعة سائل لاغرانج كتلة ثابتة، ويتم تحديد تسارعها من خلال التأثير التراكمي للقوى المطبقة عليها.
قد تؤثر قوى الجسم الخارجية مثل قوى الجاذبية والكهرومغناطيسية على قطعة أرض، ولكن في الديناميكا الهوائية، تعتبر هذه القوى عادةً غير مهمة. وينصب التركيز في المقام الأول على القوى التي تمارسها الطرود المجاورة على سطح قطعة الأرض. وفقا لقانون نيوتن الثالث، يجب أن تكون هذه القوى السطحية متساوية ومتعاكسة عبر الحدود المشتركة. ويشار إلى هذه القوى باسم “ضغوط” السوائل الداخلية الظاهرة. ومن المسلم به أن هذه الضغوط يمكن النظر إليها على أنها ضغوط موزعة في عالم الاستمرارية المثالي، في حين أنها في الواقع مجرد ضغوط واضحة ناتجة عن نقل الزخم بسبب الحركة الجزيئية. ومع ذلك، مع المضي قدمًا، سنتعامل معها على أنها ضغوط فعلية.
في المشاركات السابقة لـ “كل شيء عن CFD” – “أساسيات الديناميكا الهوائية” خلال مناقشتنا، استكشفنا مفهوم تمثيل هذه الضغوط كموتر. يثبت هذا النهج أنه مفيد عندما يتعلق الأمر بالتلاعب الرياضي. ومع ذلك، لغرض الحصول على فهم مادي، فمن البديهي التفكير من حيث ناقلات القوة. من خلال تقليص موتر الإجهاد مع متجه الوحدة الطبيعي للحدود الافتراضية بين الطرود، نحصل على متجه يمثل القوة لكل وحدة مساحة تعمل عبر الحدود. علاوة على ذلك، يمكننا تحليل هذا المتجه إلى مكونين: أحدهما متعامد مع الحد والآخر موازٍ له. في سياق معادلات NS، يُفترض أن المكون المتعامد هو الضغط الهيدروستاتيكي المحلي، والذي يشار إليه غالبًا باسم الضغط الساكن. من ناحية أخرى، يُعرف المكون الموازي بإجهاد القص، والذي ينشأ فقط من تأثيرات اللزوجة.
يمثل فهم الضغط بشكل بديهي تحديات بسبب طبيعته المتأصلة في ميكانيكا الموائع المستمرة. يمكن تصور الضغط على أنه الضغط الطبيعي الذي يمارس على حدود افتراضية تشمل نقطة معينة في الفضاء.
على الرغم من كونها كمية عددية، فإنها تؤثر بقوة بشكل منتظم في جميع الاتجاهات عند نقطة معينة. في البداية، قد يكون من الصعب فهم هذا المفهوم. لقد قام بعض المعلقين، مثل أندرسون وإبرهاردت (2001)، بتعريف الضغط الساكن بشكل خاطئ على أنه “الضغط المقاس بالتوازي مع التدفق”.
ومع ذلك، فإن هذا الوصف يتناقض مع الجوهر الحقيقي للضغط، الذي لا يتأثر باتجاه التدفق ويعمل بشكل موحد في جميع الاتجاهات. يتضمن النهج الأكثر بديهية لفهم الضغط النظر في تأثيره على قطعة صغيرة ولكنها محدودة من السوائل. وفي مجال الضغط الثابت، تواجه هذه القطعة قوى داخلية متساوية من السائل المحيط بها في جميع الاتجاهات.
للحث على أي تسارع في الطرد، يجب أن يؤدي إجمالي الضغوط المؤثرة على جميع وجوه الطرد إلى مجموع متجه غير صفر، مما يشير إلى قوة غير متوازنة. تؤثر الضغوط الواقعة على الجانبين المتقابلين من قطعة الأرض في اتجاهين متعاكسين وتلغي بعضها البعض إذا كانت مقاديرها متساوية. في مجال الضغط المستمر، تلغي الضغوط العادية بعضها البعض، مما يؤدي إلى عدم وجود قوى غير متوازنة. للحصول على قوة غير متوازنة، يجب أن تختلف مقادير الضغوط على الجانبين المتقابلين من الطرد، مما يتطلب ضغطًا غير منتظم أو إجهادًا لزجًا.
وبالتالي، فإن القوة غير المتوازنة لا تعتمد على الإجهاد في حد ذاته ولكن على تدرج الإجهاد، والذي يرمز له بـ ∇p في سياق الضغط. يتضمن هذا عادةً تدفقًا غير منتظم للسوائل. وبالنظر إلى أن القوى تتأثر بحركة قطعة المائع والطرود المجاورة لها، فإن علاقة السبب والنتيجة بين الضغوط والسرعات تصبح دائرية، مما يضيف تعقيدًا إلى تحليلنا. سيتم استكشاف هذا الموضوع بشكل أكبر في الإصدار القادم من سلسلة “All About CFD” حول “أساسيات الديناميكا الهوائية”.
يخضع تسارع الطرد لمعادلة الزخم، لذلك لتحديد سرعة الطرد، يجب دمج المعادلة. ستوضح الأقسام اللاحقة من السلسلة كيف يؤدي دمج معادلة الزخم للتدفق الثابت لسائل غير لزج إلى معادلة برنولي، وهي علاقة تدفق ذات قيمة عالية.