流线、流线、时间线等 – 运动学

简介

在这篇文章中，我们将探讨纳维-斯托克斯方程所提供的全面而精确的物理理论。通过这些方程，我们可以预测空气动力学中的各种现象，甚至包括像水这样的液体流动。我们将首先研究这些方程对物理学的基本表述、在其发展过程中所做的必要假设，以及这些假设在多大程度上仍然有效。随后，我们将深入研究这些方程的复杂细节，并阐明它们的意义。

连续假设及其有效范围

在 NS 公式中，流体被视为连续物质，称为连续体，具有局部物理特性，可以通过空间和时间方面的连续函数来表示。这些连续特性受到组成气体或液体的单个分子特性以及支配其运动和相互作用的基本物理特性的影响。然而，连续特性只反映了基本物理学的整体效果，而不是具体细节。正如 “文章 1–理解基础概念和理论框架的入门指南 “和 “文章 2–从分子水平看空气动力流的产生 “所展示的，这种方法提供的表示不仅充分，而且在各种条件下都非常精确。

NS 表述的最初历史进程采用了一种自发方法，从一开始就假定了连续行为，并通过在基本流动场景中进行实验来构建粘度效应框架。在这一过程中所投入的大量精力都集中在建立必要的数学结构上，以便从简单的流动扩展到更复杂的流动。

平均过程为我们提供了基本连续流量的精确定义，但它并不能直接将我们引向纳维-斯托克斯（Navier-Stokes，NS）公式。当我们在质量、动量和能量的基本守恒定律上使用平均过程时，我们会遇到两类不同的项，它们代表不同的现象，需要不同的假设：

第一种，仅包含定义连续体密度、温度和速度的简单平均值的术语。无需额外假设，因为这些变量已构成 NS 公式的基础。这些项描述了一个守恒量的局部时间变化率，或一个守恒量通过流动的局部连续速度产生的对流。

第二，包含分子速度乘积的平均值或速度分量与动能乘积的项。这些术语表示与流动的局部连续运动相关的守恒量的传输。热能的传输与分子传导产生的热通量相对应。动量的传输模拟了连续物质受到内应力的影响，从而产生了局部连续静水压力和由粘性效应引起的附加连续 “应力”。仅平均过程就能使这些项保持一种依赖于分子运动的统计错综复杂性的状态，因此有必要进一步简化假设，将其转换为基于我们的基本连续流变量的表达式。

NS 方程涉及代表各种输运现象的项，这些项与局部连续特性有着直接的函数关系。静水压力由平衡热力学关系决定，而热通量和粘性 “应力 “则由梯度-扩散表达式描述，其中守恒量的通量与其梯度成正比。如 NS 方程所述，对于粘性应力表现出这种行为的流体通常被称为牛顿流体。然而，要从通过平均过程获得的更一般的表达式中得出这些简化形式，需要对相关的物理学原理做出某些简化假设。就气体而言，有必要假设流体始终处于局部热力学平衡状态。这意味着出现在完整输运表达式中的分子速度概率分布函数必须与其平衡形式非常接近。要做到这一点，就要求只有在长度和时间尺度远大于无平均路径和时间的情况下才能发生重大变化。当这些条件得到满足时，即局部偏离平衡的程度很小，与迁移相关的项就可以用 NS 方程中使用的简单关系准确地表示出来。

对话定律

NS 方程中的基本关系是质量、动量和能量守恒的基本原则。为了建立一套完整的方程，有必要包含一个连接温度、压力和密度的状态方程，以及定义其余气体性质的表达式。
在空气动力学领域，假设理想气体定律、固定比热比（γ）以及仅取决于温度的粘度和导热系数（μ 和 k）通常是一个合理的近似值。在恒温条件下，输送系数 μ 和 k 与密度无关，这似乎有悖常理。然而，这种现象有一个简单明了的解释。
随着密度的增加，由于单位体积内需要传输的动量和热能的质量增大，人们可能会认为传输系数会上升。然而，随着密度的增加，分子平均自由路径会减小，从而阻碍分子传输。在理想气体近似水平上，单位体积质量增加和平均自由路径减少的影响相互抵消。
因此，在实际应用中，分子传输的效率完全取决于分子的平均速度，或者换句话说，取决于温度。在某些公式中，局部声速（”a”）是一个因素，在理想气体中，它也完全取决于温度。

边界条件的重要性

纳维-斯托克斯方程（NS）与其他场方程一样，需要边界条件（BC）才能正确求解。当涉及流动边界时，即流动简单地进入或流出域时，NS 方程本身决定了可以施加的 BC 的可能组合，以及以不同方式 “确定 “解所需的组合。然而，在处理与其他材料（如气-固或气-液界面）相交的边界时，NS 方程本身并不能完全确定情况。在这种情况下，必须引入额外的物理学原理。根据理论模型和实验证据，可以观察到工程实践中遇到的大多数液体和固体表面与空气在普通条件下的相互作用是这样的：空气的速度和温度几乎完全适应表面的速度和温度。因此，假设 “壁 “处无滑移（液体和固体之间无相对运动）和无温度跃变，并相应施加 BC，可提供极其精确的近似值。

然而，正确理解无滑动 BC 非常重要。在某些描述中，流体被描述为 “粘附 “或 “附着 “于表面。虽然这种描述并非完全不恰当，但可能会产生误导，尤其是在考虑气体时。粘附 “一词意味着存在可承受拉力和剪力的粘结。然而，气体无法承受拉力，也无法与其他物质形成抗拉粘结。尽管如此，无滑动条件假定流体和固体之间没有滑动，因此就剪切力而言，流体的行为就如同粘附在表面上一样。

无滑动条件适用于液体和气体。在考虑气体时，对这一现象的解释更为直接。虽然一些气体分子可能会暂时粘附在固体表面或与之发生化学反应并保持粘附状态，但与表面碰撞的大多数分子都会弹开。无滑动条件就是这些弹跳相互作用的结果。如果我们把气体分子想象成光滑的球体，以镜面方式从光滑的表面弹起而不损失任何切向动量，那么表面和气体之间就不会有剪切力的交换。因此，气体很容易沿着表面滑动，不滑动条件的概念也就不存在了。然而，在分子水平上，没有一个实际表面的表现是完全光滑的。所有实际表面都是由与气体分子大小相似的原子组成的，因此，即使是最光滑的表面，在气体分子的尺度上也是粗糙的。此外，大多数真实表面在更大尺度上都会表现出明显的粗糙度。因此，与真实表面碰撞的气体分子会随机反弹，导致表面附近分子的平均切向速度非常小。通过应用动力学理论，我们可以估算出有效滑移速度，这表明在实际情况下，有效滑移速度几乎为零。即使是触感光滑的表面也是如此，因为我们的直觉错误地认为空气可以在这些表面上自由滑动。

因此，我们的综合物理模型包括 NS 方程以及无滑动和无温度跳跃边界条件。这一公式的适用范围非常广泛，只有在有限的实际 “空气动力学 “应用中不适用。偏离这一公式的情况包括密度极低的气体流动，如在极高海拔地区遇到的气体流动，以及冲击波错综复杂的内部结构。即使在气流内部发生电离、解离或化学反应的情况下，通常也不会被视为例外，因为这些效应可以通过加入适当的物种浓度、反应速率和状态方程变量，整合到我们的连续介质公式中。幸运的是，在空气动力学领域，我们没有遇到与非牛顿液体相关的复杂问题，而非牛顿液体在生物系统和各种工业过程中发挥着重要作用。

我们的 NS 公式无法适用于特殊情况，这可能不完全是由于高海拔地区密度极低或冲击波问题的长度尺度较小，导致我们的平均过程无法收敛。虽然这种情况可能发生，但它并不总是 “失败 “的主要原因。要使空间平均值在某一特定时刻收敛，就必须对包含大量分子的足够大的体积进行积分。例如，瞬时空间平均值可能无法准确捕捉冲击波的内部结构。不过，在许多情况下，气流几乎是稳定的，因此我们可以通过延长时间的平均值来确定小空间范围内的平均值。大多数涉及极高空飞行或详细冲击波物理的情况都可以用这种方法来解决。在这种情况下，我们的连续公式失效并不是因为我们的平均过程无法收敛，而是因为局部热力学平衡假设被打破了，当流动梯度在无平均路径的尺度上变得显著时，该假设是我们建立 “传输 “效应模型的基础。此外，与无滑动和无温跃边界条件相关的误差在正常条件下通常可以忽略不计，但在极端条件下，这些误差在场内流动量差异中所占的比例会越来越大，从而导致这些近似值的崩溃。

让我们做一些正式的数学计算

现在，让我们来研究一下当我们试图用数学术语来表达对物理学的理解时所面临的一些挑战。我们的最终表述将由一系列偏微分方程（PDE）以及某些代数辅助关系组成。变量的选择，以及确定哪些变量是自变量，哪些变量是因变量，取决于我们选择如何描述流动。我们可以选择用在空间和时间定点观察到的行为来描述，即欧拉描述；也可以定义固定流体随时间演变的路径，即拉格朗日描述。在欧拉描述中，时间和空间参照系（可能是惯性参照系，也可能不是惯性参照系）内的坐标是自变量，而流体的速度、压力和其他状态变量则是因变量。另一方面，在拉格朗日描述中，自变量与流体包裹本身有关，通常由其在初始时刻的空间坐标确定，因变量包括这些包裹在后续时刻的空间坐标。虽然这两种描述模式在理论上是等价的，因为它们可以用来精确地模拟相同的物理现象，但它们在方法上有很大的不同，因此实际上不能互换。

欧拉框架因其方便性而成为各种应用的首选，是理论空气动力学和计算流体动力学（CFD）中大多数定量研究的基础。这种偏好可归因于欧拉描述为分析稳定流提供了更直观的方法，而稳定流是空气动力学的主要关注点。虽然欧拉描述用于更高层次的概念建模，但在某些情况下，拉格朗日描述也有利于讨论基本物理原理。

拉格朗日导数用大写字母 D/Dt 表示，代表与拉格朗日流体包裹相关的任何物理量的时间变化率。在欧拉框架中，这种变化率受两种效应的影响。首先，在流体包裹移动经过的空间点上，物理量可能会随时间发生变化，这由非稳态流动项 ∂/∂t 或欧拉变化率表示。其次，如果包裹以速度 V 在非均匀场中运动，除了非稳态流动项之外，它还会经历一个变化率 V – ∇。因此，拉格朗日导数与欧拉框架中的导数相关联。一般来说，拉格朗日导数与欧拉框架导数之间是通过（速度）方程连接的：

将这一变换应用于流体速度会产生有趣的结果，尤其是在确定拉格朗日加速度时。在一维稳定流的情况下，将上述方程应用于速度会导致加速度降低：

可以发现，当速度 u 较小时，特定的物质加速度 Du/Dt 需要很大的空间梯度 ∂u/∂x，而当 u 较大时，只需要很小的 ∂u/∂x。这种现象源于拉格朗日流体包裹在速度场中的运动。

我们需要处理的量中存在矢量和张量，这是数学的挑战之一。例如，速度是一个矢量，动量守恒方程是一个矢量方程。在三维空间中，这会导致三个变量和三个方程，因此直观地理解起来相对容易。

通过相邻流体包裹之间的 “接触 “来表示力的传递这一问题并不是一目了然的。从物理角度看，这些力来自分子运动的动量传递。然而，在连续体公式中，众多分子运动的累积效应被描述为流体内部的明显内应力，或者描述为沿液块边界单位面积上施加的力。

我们遇到的数学难题与表示连续材料内部应力状态这一首要问题有关。首先，我们必须熟悉分隔材料相邻部分的假设边界的概念。随后，我们需要在头脑中想象材料的两个相邻部分是如何通过它们共享的边界表面对彼此施加相等且相反的应力的。我们的解释必须能够准确确定流体中任何给定点的应力状态，无论假定边界的方向如何，都要考虑到对立力的适当大小。这里的应力是指单位面积上的力的矢量，它取决于假想分界面的方向。这个分界面可以通过其法向量的方向来定义。

应力是一个张量张量分析是一个数学领域，致力于提供处理此类量的严格方法。这一数学框架不仅适用于连续介质力学，也适用于物理学的各个分支。除了张量分析，人们还设计了速记符号来有效地表达这些操作。张量符号为处理方程中的应力项和对流项提供了最可靠的方法，尤其是在将它们转换到不同坐标系时。虽然不使用张量符号也可以进行这些运算，但出错的可能性会大大增加。无论使用哪种张量符号，这些操作都会很快变成符号操作练习，从而难以保持对其物理意义的清晰理解。

到目前为止，我们只讨论了局部或微分形式的 NS 方程、
这是与我们接下来的讨论最直接相关的形式。
然而，在某些应用中，更全局的流程视图就足够了，而且更容易
处理。在这些情况下，我们采用控制体积形式的方程，其中
在这种形式下，方程是在一个体积和与该体积相邻的表面上进行积分的。
控制体积方程是 “精确 “的，因为不会损失精度
相对于微分方程而言，控制体积方程是 “精确的”，但它们又是 “简化的”。
我们只知道积分量发生了什么变化，却不知道局部量是如何变化的。
在体积和边界面上的分布情况。

在处理 NS 方程的传统方法中，所有流动变量都表现出连续性和可微分性，即使存在冲击也是如此。这一有利特性使我们能够利用重要的数学原理，而无需考虑任何 “物理 “因素。因此，我们将深入探讨后续章节的主题。

运动学 1：流线与直线

理解流场的基础是利用运动学描述。必须掌握流场的运动学结构，才能深入研究基本的动力学原理。流场运动结构的特征受到速度场作为连续矢量场的性质的内在约束。
两个常用的运动学概念是 流线 和 条纹.流线是三维空间曲线，在每一点都与速度矢量平行。另一方面，流线也是三维空间曲线，但它是由一系列流体包裹的位置定义的，这些流体包裹都经过流场上游某个特定的 “原点”。虽然条纹线的原点通常被认为是空间中的一个固定点，但它也可以随着时间的推移而移动。需要注意的是，流线是一种数学结构，只能通过解决数学问题来定义，特别是通过构建一条与给定矢量场平行的曲线。相比之下，流线 流线 至少在某种程度上，可以在被动污染物（如液体中的染料或空气中的烟雾）标记的实际流动中观察到条纹线。
在恒定流动的情况下，从特定点出发的流线和条纹线将与单个粒子（称为拉格朗日包裹）的路径一致和匹配。尽管流动是稳定的，但在解读流动模式时仍可能会遇到一些复杂的问题。
时间轴 是 由一组流体粒子形成的线条，这些粒子在前一时刻被标记出来当粒子移动时，会产生一条随时间移动的直线或曲线。

在非稳态流动的情况下，情况的复杂性大大增加，导致流线、条纹线和粒子路径的明显变化。仅仅观察其中任何一个元素所形成的模式，都无法充分反映流动的情况，而且往往具有欺骗性。下面的附图说明了圆柱体尾流中的非稳态流在条纹线（a）和流线（b）方面的不同表现。此外，稍后将定义的时间线（c）提供了一个完全不同的视角。

运动学 2: 流管、流面和流函数

流管的概念 流管 通常只适用于稳定流。A 流管 是由流场中的一条封闭曲线定义的，稳定的流线或条纹线通过曲线上的所有点。这条封闭曲线构成了曲线管的边界，边界表面与速度矢量平行。因此，没有连续的流体包裹通过这个表面。在稳定流中，根据连续性原理，流管中的质量通量在其长度方向上的任何截面都保持恒定。在二维流场中，我们仍然可以使用与三维流场相同的方式定义流管，即使用封闭曲线来确定边界。不过，更实用的定义是让定义流管的封闭曲线退化为两个点。这样，流管就变成了二维流动层，由经过每个点的一条流线定义。

流管的边界面是流面这一广泛概念的一个具体实例，通常与稳定流相关。产生流面的空间曲线不一定是封闭曲线，由此产生的流面也不一定是封闭管。一般来说，流面是指没有连续流体包裹通过的表面。在三维流动中，最初看似平坦的流面会随着水流向下游推进而变得高度扭曲。流函数的概念仅适用于二维流动。当考虑二维流动中的两个点 A 和 B 时，假设流动是不可压缩的或稳定的，则连接这两个点的任何曲线上的质量通量只取决于这两个点的位置和时间。例如，在下图所示的情况中，连接两点的任何等高线上的质量通量都与阴影部分内的质量通量相对应。 流管.因此，如果 A 点是固定的，则以这种方式计算的所有其他点 B 的质量通量定义了一个称为流函数的唯一函数。因此，流函数沿流线保持不变，其在两条流线之间的差值等同于流线内的质量通量。 流管 的边界。流函数在过去比现在更常用。在早期不可压缩流的理论讨论中经常使用，在求解二维纳维-斯托克斯方程的数值技术中也偶尔使用。

运动学 3：时间线

时间线是一个有价值的运动学概念，最常见的应用是在二维流动中，尽管它可以在任何类型的流动中定义，无论是稳定流还是非稳定流。定义时间线的过程首先是在一个特定的初始时刻标记一系列横跨流动的拉格朗日流体包裹。随后，通过追踪这些包裹在稍后时刻的路径，形成时间线。当时间线是由多条线组成的集合体，每条线的初始时刻之间都有相等的时间间隔时，时间线就显得尤为有用。在实际应用中，时间线可以通过被动污染物标记来近似确定，通常由一根横跨气流的细线构成。在气流中，导线上涂有油，导线上的脉冲电流会产生短暂的烟雾，作为下游横流线的标记。在水流中，脉冲电流可产生由氢气或氧气小气泡组成的线条，从而有效地标记水流。

下图是湍流边界层中时间线的示例，突出了湍流中时间线的一个重要特征：

在完全湍流边界层中，湍流速度波动的幅度在平均速度中所占比例不大。因此，位于图像左侧边缘附近的较年轻的时间线保持了一种秩序感，并逐渐累积变形，与照片的其他部分相比，更像是一种平滑的流动。随着气流从左向右流动，这些扭曲逐渐累积，直到图像的右半部分呈现出完全位于边界层内的混乱无序的时间线集合。在这种完全湍动的气流中，时间线的描绘错误地表明湍动运动的强度从左到右不断增加.

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