这篇文章的目的不是对方程进行数学推导，而是对方程中不同术语的含义进行简明、直观的解释。此外，我们还将分析从方程中可以推导出的有关流动特征的一些重要概念。
我们使用的基本方程是质量、动量和能量守恒原理的代表。在拉格朗日参照系中，这些原理得到了最有效的阐述和理解，我们可以根据不变的流体包裹随时间变化的路径来描述运动。
然而，欧拉参照系涉及描述流体经过独立于流体的空间参照系中的点时的运动情况，从概念和定量的角度来看，它最终是更受欢迎的选择。在这种情况下，我将采用的方法是先简要解释拉格朗日参照系中守恒定律的意义，然后再讨论如何在欧拉参照系中阐明这些定律。
在拉格朗日框架和欧拉框架下，我们都将研究小体积流体的行为，尽管每种情况下的定义各不相同。将我们的守恒定律推导为偏微分方程（PDEs）需要一个接近流体包裹无限小尺寸的正式过程。虽然我们不会在本文中深入探讨这一过程的具体细节，但重要的是读者要记住，无论在哪个参照系中，流体包裹都应被视为任意微小的概念。
兰姆（Lamb，1932 年）提供了固定拉格朗日流体包裹的定义，指出它在整个时间内只由相同的流体粒子组成。为了保持这种一致性，包裹的边界面必须随流体一起移动，以防止任何流体粒子穿过它。然而，必须承认的是，这个概念只是一种理想化，只在我们的概念连续体世界中成立。在现实中，分子不可避免地会向两个方向扩散穿过这样的边界，我们所能做的就是确保边界跟随流体的平均运动，从而确保没有物质净流过边界。无论从哪个角度看，包裹中始终包含相同数量的物质，并且在其边界表面上没有净物质流。这种不考虑质量扩散的方法适用于相对物种浓度保持不变的单物种流体或多物种流体。但是，如果相对物种浓度变化很大，那么定义拉格朗日流体包裹就会出现问题。目前，我们暂且忽略拉格朗日描述的这个小限制，继续讨论。
如前所述，质量、动量和能量都有守恒定律。原因在于这些量是物理学和热力学中的基本量，因此必须保持不变。而压力或粘性应力则不同，它们因其性质而没有守恒定律。质量、动量和能量与流体材料错综复杂地联系在一起，并与流体材料一起对流。这些对流量与拉格朗日流体包裹相关联，这意味着包裹内数量的任何变化只能发生在包裹内或其边界的物理过程中。守恒定律用于量化这些变化，为从拉格朗日角度理解质量、动量和能量守恒提供了框架。
流动的连续性–我们的质量守恒
根据我们在拉格朗日描述中对流体包裹的精确定义，包裹内的质量守恒从本质上得到了保证。然而，负责明确确保质量守恒的方程必须发挥额外的作用。连续性方程在不同点的流体密度和所占体积之间建立了联系，从而满足了两个基本标准：
- 质量守恒是每个拉格朗日包裹的基本原则，符合包裹的定义特征。
- 拉格朗日包裹之间没有空隙，相邻的包裹也不会相交。必须将整个流体体积视为完全由拉格朗日包裹填充，以保持质量守恒。
拉格朗日描述中的连续性方程在物理意义上很容易理解：当流体包裹的体积发生变化时，流体的密度也必须发生变化，以保持包裹的质量不变。
虽然连续性方程的基础是物理的（上述要求 1 和 2），但它对流动的要求不像其他方程那样具有直接的因果关系。例如，在动量守恒中，力直接导致加速度；在能量守恒中，力直接导致加速度。
流体包裹上的力与动量守恒
在拉格朗日参照系中，牛顿第二定律 F = ma 明确规定了动量守恒。我们的拉格朗日流体包裹具有恒定的质量，其加速度由施加在它身上的力的累积效应决定。
重力和电磁力等体外力可能会作用在包裹上，但在空气动力学中，这些力通常被认为是微不足道的。重点主要是邻近包裹对包裹表面施加的力。根据牛顿第三定律，这些表面力在共享边界上必须相等且相反。这些力被称为表观内部流体 “应力”。我们知道，在理想化的连续体世界中，这些应力可以被视为分布应力，而实际上，它们只是分子运动引起的动量传递所产生的表观应力。尽管如此，我们仍将把它们视为实际应力。
在 “All About CFD”–“空气动力学基础 “之前的讨论中，我们探讨了将这些应力表示为张量的概念。事实证明，这种方法在数学运算方面很有优势。不过，为了获得物理理解，从力矢量的角度思考更为直观。通过将应力张量与地块间假定边界的法线单位矢量进行收缩，我们可以得到一个代表作用在边界上的单位面积力的矢量。此外，我们还可以将该向量分解为两个分量：一个是垂直于边界的分量，另一个是平行于边界的分量。在 NS 方程中，垂直分量被假定为局部静水压力，通常称为静压。另一方面，平行分量被称为剪应力，它完全来自粘度的影响。
由于压力在连续介质流体力学中的固有性质，从直观上理解压力是一项挑战。压力可以形象地理解为施加在空间特定点的假设边界上的法向应力。
尽管压力是一个标量，但它在给定点上向所有方向均匀施力。最初，理解这一概念可能比较困难。某些评论家，如 Anderson 和 Eberhardt (2001)，错误地将静压定义为 “与水流平行测量的压力”。
然而，这种描述违背了压力的真正本质，即压力不受流动方向的影响，并均匀地作用于所有方向。理解压力的更直观方法是考虑压力对一个小而有限的流体包裹的影响。在一个恒定的压力场中，该液块在各个方向上都会遇到来自周围流体的相等内向力。
要在包裹中产生任何加速度，作用在包裹所有面上的总应力必须产生一个非零的矢量和，这表明存在一个不平衡力。包裹相对面上的应力方向相反，如果大小相等，则会相互抵消。在恒压场中，法向应力相互抵消，因此不会产生不平衡力。要产生不平衡力，包裹两侧的应力大小必须不同，这就需要非均匀压力或粘性应力。
因此，不平衡力并不取决于应力本身，而是取决于应力梯度，在压力情况下，应力梯度用 ∇p 表示。这通常涉及非均匀流体流动。由于力会受到流体包裹及其邻近包裹运动的影响，应力和速度之间的因果关系就变成了循环关系，从而增加了我们分析的复杂性。我们即将推出的 “All About CFD “系列之 “空气动力学基础 “将进一步探讨这一主题。
包裹的加速度受动量方程控制，因此要确定包裹的速度，必须对方程进行积分。本系列的后续章节将展示如何积分不粘性流体稳定流动的动量方程，从而得出伯努利方程这一极具价值的流动关系式。