许多机械部件在易受振动的环境中运行，如果部件的特征频率较低，则可能会引起共振。 这可能会产生不同严重程度的影响，无论是对汽车装饰的轻微干扰、高精度制造中的严重错误，还是土木工程中的危险故障。 这篇博文演示了如何使用形状和拓扑优化来最大化最低特征频率，从而降低共振的可能性。 COMSOL Multiphysics 的内置功能® 软件允许通过基于梯度的优化来解决这些问题。
机械共振简介
当机械系统受到频率内容与系统固有频率相匹配的力激励时，会发生机械共振，导致高振幅振动。 这个效果 能 被利用（例如，在手表和乐器中），但在这篇博文中，我们将重点关注不良共振，它可能导致机器疲劳问题或土木工程故障。 可以采取多种措施来减轻共振，例如安装主动或被动隔振系统或指导用户避免引起共振的行为。 例如，如下图所示，伦敦一座著名的桥梁上有一个标志，指示士兵过桥时要断步，这样统一的行进节奏就不会引起危险的机械共振。
避免机械共振的另一种策略是简单地增加最低固有频率。 在这里，我们将探讨如何通过优化来实现这一点。
伦敦的阿尔伯特桥上有一个标志，指示士兵在桥上踩踏以避免共振。 原始图片由 Colin Smith 提供，已获得许可 CC BY-SA 2.0 通过 维基共享资源。
优化简介
所有优化问题都包含一些设计变量，这些变量应该通过优化算法进行更改，以提高一定的数量 – 目标函数。 还可能存在其他变量不能超过特定界限的要求，也称为 限制条件。 在 CAD 环境中，通常使用模拟来计算目标。
对于优化算法，可以区分：
- 无梯度优化，其中优化仅使用目标值和约束来更新设计变量
- 基于梯度的优化，优化还知道目标和约束对设计变量的变化有多敏感
基于梯度的优化在每次迭代中都具有更多的信息，因此速度明显更快，特别是对于具有许多设计变量的问题。 速度差异如此之大，以至于第一种方法对于大多数形状和拓扑优化应用来说是不切实际的。 COMSOL 多物理场® 支持此处列出的两种优化类型，但本文将重点介绍基于梯度的优化。
在以下示例中，目标是最大化最小特征频率，但也可以最大化与环境中可能自然发生的某些不需要的频率的距离。 特征频率问题的一个反复出现的方面是，即使结构包含设计对称性，其特征模式也可能是非对称的。 因此，必须在每次迭代中对整个结构进行建模。 然而，在初始设计是对称的情况下，可以使用 镜像对称 特征在 形状优化 或者 拓扑优化 界面。
形状优化
第一个示例是一端固定的壳模型。 通过使用基于偏微分方程 (PDE) 的边界变形正则化来保留法线向量的连续性， \mathbf{d}，类似于用于拓扑优化的亥姆霍兹滤波器，即
\mathbf{d} = L_\mathrm{min}^2 \nabla^2 \mathbf{d} + \mathbf{c}, \quad ||\mathbf{c}||\leq d_\mathrm{max},
在哪里 d_\mathrm{最大值} 是最大位移， L_\mathrm{分钟} 是滤波器长度， d_\mathrm{最大值}/L_\mathrm{最小值} 是变形的最大斜率，并且 \mathbf{c} 是边界变形的控制变量场。 在执行实体的形状优化时，还有一个用于平滑内部元素的偏微分方程，但在实践中，一切都由 自由形状域, 自由形状边界， 和 自由形状外壳 特征在 形状优化 界面。 这些功能仅允许基于梯度的优化。 作为基于偏微分方程的形状正则化的替代方法，我们还可以使用多项式正则化技术或对几何进行简单的更改，例如平移、旋转和缩放。 （在我们关于电磁学形状优化的两部分系列中了解有关平移和缩放的更多信息。）下面的动画显示了使用基于偏微分方程的正则化同时保留设计对称性的结果。
外壳的设计在整个优化历史中都是动态的。
模式切换的处理方法是始终求解前六个特征频率并使用移动渐近线 (MMA) 方法来最大化最小特征频率。
下一个示例考虑的是实心支架，但支架的几何形状有点像壳，因此保留支架臂的厚度是有意义的。 这可以通过组合来实现 一般挤压 运算符与 规定变形 功能（请参阅案例库中的支架 – 特征频率形状优化以了解更多信息）。 除此之外，该设置在目标和对称性执行方面与之前的模型类似，但初始设计并没有那么糟糕，因此改进不太显着（如下图所示）。
拓扑优化
在执行拓扑优化时，也可以利用基于梯度的优化，特别是在使用 拓扑优化 软件中的界面。 有关拓扑优化的详细介绍，请参阅我们的博客文章“使用密度方法执行拓扑优化”。 基本思想是引入空间变化的设计变量场， \theta_c，其范围在 0 和 1 之间，分别对应于空隙和固体材料。 对于结构力学，可以让密度和杨氏模量（刚度）取决于该变量。 依赖性并不明确，因为用最小长度尺度规范问题是有利的， L_\mathrm{分钟}。 还需要对密度进行插值， \rho，以与刚度不同的方式， 乙，以防止设计变量的中间值由于其良好的刚度重量比而主导优化设计。 设计变量场与材料特性之间的关系由下式给出：
\theta_f &=& L_\mathrm{min}^2\nabla^2\theta_f+\theta_c \\
\theta &=& \frac{\tanh (\beta[\theta_f-1/2])+\tanh (\beta/2 )}{2\tanh(\beta/2)} \\
\rho &=& \rho_\mathrm{mat}\theta \\
E &=& E_\mathrm{mat}(\theta_\mathrm{min}+(1-\theta_\mathrm{min})\theta^{p_\mathrm{SIMP}}),
在哪里 θf 是过滤后的设计变量， β 是投影斜率参数，并且 p_\mathrm{SIMP} 是具有惩罚 (SIMP) 参数的固体各向同性材料。 这些参数会对优化设计产生很大影响，因此为了避免出现不良的局部极小值，有必要解决这两个参数的多种组合的优化问题。 也就是说，解决了优化问题的参数化扫描，如下面所示的梁示例所示。 横梁固定在左侧，并在右端支撑一个重量，该重量占总重量的15%。 梁受到 40% 体积限制。 针对五种参数组合求解拓扑优化问题 (p_\mathrm{SIMP}, \beta)，等于 (1, 2)、(2, 4)、(3, 8)、(4, 16) 和 (5, 32)。 初始优化预计会出现较差的连接性和灰度，但这些非物理设计为后续优化提供了良好的初始设计。
执行拓扑优化时，最好在贴体网格上执行验证模拟。 这已在该模型的案例库版本中完成，结果表明相对于原始优化结果，在更高的特征频率方面具有更好的性能。 这是可以预料的，因为隐式设计表示会导致材料在实体-空隙界面附近的刚性降低。
最后，此处显示了单个优化结果，但通过使用不同的体积分数、附加质量或最小长度比例值，可以轻松生成替代设计。
结论
可以使用形状和拓扑优化来执行特征频率最大化。 对称条件通常不能强加于物理，但可以限制优化，以便仍然产生对称设计。 如果目标是最大化到某个不需要的频率的距离，则也可以应用用于处理模式切换的最大/最小策略。
要获得特征频率最大化的实践经验，请从案例库下载本博客文章中提到的示例：