在考虑流场内的涡度分布时，我们拥有一系列有价值的概念。首先，我们将重点讨论那些适用于涡度连续分布的典型现实场景的概念。
在涡度不等于零的任何区域，都可以建立一条涡线，作为与涡度矢量平行的空间曲线。这类似于流线与速度矢量的对齐方式。因此，在涡度场中，涡旋线与速度场中的流线相似。正如我们将流线的概念扩展到包括流管一样，我们同样可以将涡线的概念扩展到包括涡管。
根据涡管的定义，涡管边界上的涡度通量本身为零。此外，根据矢量特性，矢量（特别是速度，其卷曲度代表涡度）的卷曲发散为零。因此，涡旋管的任何横截面上的通量都是恒定的，与沿长度方向的位置无关。
涡旋管内涡度通量的恒定性决定了涡度大小的变化必须伴随着涡旋的拉伸。当涡旋管的横截面积减小时，无论是随着时间的推移还是沿其长度方向，涡度的强度（涡度矢量的大小）必须增强。对于含有固定量流体的涡旋管段来说，横截面积的减小通常意味着长度的增加或拉伸。如果流体密度保持不变，这种拉伸尤为必要，我们稍后将结合质量守恒进行探讨。因此，涡管的拉伸通常会增加局部涡度的大小。
涡旋管中涡度流量的恒定性决定了涡旋拉伸时涡度大小变化的必然性。当涡旋管的横截面积减小时，无论是随着时间的推移还是沿其长度方向，涡度强度（涡度矢量的大小）必须增加。为了在一定量的流体中容纳缩小的横截面积，通常需要增加长度或拉伸。
涡丝是一种细长的涡管，其横截面的最大尺寸极小。涡流丝的横截面积也非常小，但假定它沿长度方向变化，因此符合涡流管的标准。在涡丝的情况下，横截面上的涡度通量等于涡度大小与横截面积的乘积，即涡丝强度。值得注意的是，强度的定义是通过无限小面积的涡度通量，这与我们熟悉的其他强度概念不同，例如光束的强度被定义为单位面积的能量通量。亥姆霍兹第二定理指出，涡丝的强度沿其长度方向保持不变。强度守恒意味着涡旋丝不能在流体域内终止，而必须形成一个闭合环（涡旋环）或在域的边界终止。
根据边界的特性，涡旋丝或涡旋线终止于边界的可能方式将受到限制。让我们首先研究一下被非旋转流包围的单个涡旋丝的独特情况。如果流动保持不变，而边界又是流体无法通过的界面，那么涡旋丝只能以垂直的方式与边界相交。
这一要求源于在丝线附近，在垂直于丝线本身的平面内，必须有一个主要为圆形的流动结构。任何偏离这一正常方向的情况都与不流经边界的条件相矛盾。
此外，如果边界是一个受无滑动条件限制的固定固体表面，垂直于丝状物的平面内的速度分量在表面处必须减小，而涡度大小必须趋近于零。因此，孤立的涡旋丝不可能终止于以无滑动条件为特征的固体表面。
在分布式涡度的情况下，涡旋线可以与有滑移的无贯通流边界相交，而且交点可能不在法线方向。相反，在没有滑移的静止表面上，情况就会受到更多限制。由于表面上的切向速度为零，因此表面法线方向的涡度分量也必须始终为零。因此，如果涡度大小不为零，则涡线必须与表面相切。在静止物体周围的粘性流动中，这一原则通常是成立的，但表面上的涡度大小为零的孤立奇异分离点或附着点除外。在这种情况下，涡流线可以与表面正常相交，但在交点处的法向涡度分量仍必须趋近于零。因此，涡旋线只能在孤立的奇异点上与无滑动表面相交。一个常见的误解是，不考虑上述例外情况，涡旋线根本无法与无滑动表面相交。
很明显，当涡旋接近具有无滑动条件的固体表面时，除了个别孤立点之外，涡旋线都会被迫改变方向，以防止与表面相交。这种改变方向往往会导致涡旋在表面形成的粘性边界层内产生涡度。
1.现在，让我们来探讨一下为理想化描述以高度集中的涡度为特征的流动而设计的理论结构。特定区域的集中涡度在某些流动的分析中起着至关重要的作用，我们将在后面讨论。例如，在第 8 章中，我们将深入研究在升力翼后面的尾流中观察到的涡度模式，其中涡度最初以集中形式存在于薄剪切层中，最终过渡为两个不同的、或多或少具有轴对称性的涡旋，所有涡旋都被几乎不旋转的流动所包围。
2.在此类流动现象的理论模型中，这些涡旋结构通常被简化为数学上的薄集中，剪切层被概念化为涡片，涡旋被概念化为线涡。尽管涡度集中在横截面积为零的区域内，但这些理想化的实体表现出有限的涡度通量。因此，涡片或涡线位置的涡度分布必须是奇异的或无限的。
3.在处理涡片时，通常需要对有限宽度的涡片进行积分，以确定有限的涡度通量，尽管由于涡片无限薄，积分面积仍为零。另一方面，对于线状涡旋，只需对线状涡旋（基本上是一个点）进行一次积分，就足以计算出有限的通量。虽然有一个正式的数学框架对这些概念进行了严格的处理，但要全面理解其基本原理，并不需要对这一理论进行详细的探讨。
线状涡旋和涡旋丝虽然乍看起来很相似，但却有着显著的区别。首先，线涡的横截面积为零，而涡丝的横截面积非常小。此外，线状涡的涡度通量是有限的，而丝状涡的涡度通量是无限小的。线状涡旋代表涡度的奇异分布，而涡旋线仅与涡度矢量平行，通常出现在涡度连续分布的场中，因此必须避免混淆线状涡旋和涡旋线。
在二维平面流中，点涡旋也称为线涡旋，其特征是一条直线在垂直于二维平面的两个方向上无限延伸。这种构造给人一种二维平面内只有一个点的感觉。如第 3.10 节所述，线涡旋是基本奇点之一，可作为构建势流理论解的基本组成部分。然而，在更复杂的流动中，线涡可能会呈现出曲率，这就带来了一个独特的挑战。在曲率不为零的弯曲线涡旋沿线的任何给定点，垂直于涡旋的流体速度都会变得无限大。因此，要确定涡流线被流动带走的实际速度是不可能的。在实际流动中，涡度是连续分布的，并具有有限的大小，因此不会出现无限速度。
将速度场与涡度浓度联系起来
高度集中涡度的概念经常被简化为涡片或线涡。利用斯托克斯定理，我们现在可以分析与这些理想化涡度分布相对应的邻近地区的速度分布。
上图（a）展示了二维流动中的涡片。通过将斯托克斯定理应用于包围涡旋片一小段的封闭轮廓，可以明显看出，涡旋片上的速度跃迁等于局部涡度强度或垂直于涡度矢量方向上沿涡旋片单位距离的涡度。在这种特殊的二维情况下，涡度矢量垂直于纸张平面，沿纸张的距离是沿流动方向测量的。如图（b）所示，与这种理想化涡流片相关的物理流动是剪切层，速度跃迁分布在有限的厚度上。
在三维流动的情况下，涡旋片上的速度跃迁在矢量意义上仍必须垂直于涡度矢量。在空气动力学中，经常会遇到速度大小没有跃变，只有方向跃变的涡片。在这种情况下，速度矢量的跃变垂直于涡度矢量，而涡度矢量平行于片面两侧速度矢量平均值的方向，如图（c）所示。可以证明，如果涡度矢量不平行于两个速度矢量的平均值，就会出现速度大小的跳跃。
在三维势流理论中，经常会出现类似（c）图中描述的涡片。从速度势的定义中可以明显看出，速度矢量的跃迁必然导致速度势的跃迁。
如果物理剪切层实际上很薄，即穿过剪切层的流动变化比其他方向的变化快得多，那么速度跃变的大小将大致相等，并且垂直于穿过剪切层的涡度积分。
涡度的速度感应是谬误吗？
无论是流体力学还是经典电磁学，每个工科学生在本科学习期间都不可避免地会遇到毕奥-萨瓦特定律。该定律表明，了解矢量场在特定点的卷曲度，就能洞察矢量场在不同点的行为。
尽管这一概念最初很吸引人，但它可能具有欺骗性，因为它通常会导致因果关系模糊不清。此外，将纳维-斯托克斯方程从速度公式转换为涡度公式的能力，以及利用势流模型为流动引入障碍物的做法，进一步支持了人们普遍认为涡度导致速度的观点，正如毕奥-萨瓦特原理所暗示的那样。
谬误就在于此。在没有引力或电磁力的情况下，普通流体流动不存在远距离作用。用不同的形式表达方程，并将毕奥-萨瓦特定律称为矢量场及其卷曲之间的微积分关系，并不意味着 A 点的旋涡可以在遥远的 B 点产生速度。虽然像毕奥-萨瓦特定律这样的数学关系确实可以让我们推导出遥远点速度场的定量和定性细节，但在流体力学中，它并不能准确地描述物理学。因此，与经典电磁学中的直接因果关系相比，在这种情况下直接因果关系有些误导性。
事实证明，Biot-Savart 定律有利于定量计算。然而，了解特定点的涡度就能推导出另一点的速度信息这一定性概念也有其自身的价值。这一概念是理解流场最有影响力的工具之一。然而，尽管它很有效，但也可能是一把双刃剑，因为在确定因果关系时，它经常会造成混乱。
涡度被认为是 “输入”，而速度被认为是 “输出”，这就导致了将从涡度推导出的速度称为诱导速度的普遍做法。这很容易让人认为涡度在某种程度上 “导致 “了它 “决定 “的速度。然而，这种思路是不正确的。在没有明显引力或电磁体力的情况下，常规流体流动中不存在远距离作用。只有通过相邻流体包裹之间的直接接触，才会产生重要的作用力。
因此，A 点的旋涡不可能直接 “引起 “远处 B 点的速度，而 “引起的”、”诱发的 “甚至 “由于 “等术语都歪曲了相关的物理学原理。重要的是要记住，Biot-Savart 只是矢量场与其卷曲之间的数学关系，在流体力学中，它并不表示直接的物理因果关系。这一点至关重要，但在文献中却没有得到足够的强调。探讨其他作者对这一问题的看法是很有意义的。空气动力学家随意使用 “诱导速度 “和 “感应 “等术语，造成了混淆。这些术语源于另一个领域，即经典电磁学，在该领域适用比奥特-萨瓦特定律，并指出磁场是由电流 “诱发 “的。在电磁学中，这一术语是合适的，因为人们相信存在真正的远距离作用，因此 “感应 “一词在物理上是合适的。然而，在流体力学中，并不存在直接的因果联系。我们知道，涡度是产生、传输和扩散的，这就解释了为什么我们的流场中会存在涡度：它更多地是作为整体流动模式的指示，而不是其原因。
为了阐明流动模式的存在，有必要参考所涉及的实际物理学，特别是特定位置流体元素内部的力平衡。