要分析体积和曲面积分的物质导数，我们首先要定义物质导数，也称实质导数。然后，我们将使用数学符号和向量微积分的概念来研究它在体积和曲面积分中的应用。
实质导数
导数 D/Dt，也称为材料时间导数，实际上是一个固定材料点的量 B 的时间导数。材料点通常由 t = 0 时的初始位置矢量定义。材料点在任意时间 t > 0 的位置矢量由以下公式给出：
为任意材料点 x0 定义的任何流动变量将由 B（x0,t).
因此，相应的空间描述将是 B[x(x0,t),t].
根据上述描述，我们可以说有两种时间导数：
这两种导数之间的关系可以通过链式法则得到：
在固定空间位置上的时间导数称为欧拉时间导数，在固定物质点上的时间导数称为拉格朗日时间导数。
现在来谈谈体积积分的物质导数，即雷诺输运定理（Reynolds Transport Theorem）：
当积分本身的极限与时间有关时，上述定理只不过是莱布尼茨微分法则的扩展。
将导数的通常定义，即 “delta t “趋于 0 的极限，应用于上式的左侧，我们可以得到
现在我们在上式中加上并减去以下项：
方程就变成了
第二项就是
而 第一学期 可改写为
这表明它是 B
为了求出上述积分，任何微分元素 dAm 的 Vm(t）将移动一段距离（u.n） δt.dAm 在时间间隔 δt 内。因此，上述对 Vm(t+δt) – Vm(t）将转换为
其中 Am
因此 雷诺输运定理 将是
再进一步，应用高斯发散定理对上式右边的面积积分进行运算，就可以得到我们熟悉的上式等价微分形式。
让我们以一个简单的应用为例，用密度 ρ(x ,t) 代替流动变量 B(x,t)。然后，我们应用高斯发散定理得到质量守恒的最终微分形式：
表面积分的物质导数：
在本节中，我们将应用上文针对体积积分的物质导数所提出的相同概念，来求得两种介质界面上表面活性剂浓度扩散方程的控制方程。
在这里，我们将使用表面活性剂浓度在材料表面积上的守恒原理，假定没有任何源或汇，无论是由于化学反应还是流入或流出周围体相液体。因此，我们将得到
其中 D/Dt 是界面上各点的材料导数，Sm
同样，按照上述材料体积雷诺输运定理部分所述的相同步骤，并注意用表面积分代替体积积分，用等值线积分代替表面积分，我们就可以得到两种介质界面上的表面活性剂浓度扩散方程：
式中 u = 表面活性剂粒子沿界面表面的速度
Γ = 表面活性剂在界面上的浓度
nc = 表面元素轮廓的单位法向量
nt = 与表面元素轮廓相切的单位矢量
n = 平行于界面表面的单位矢量
Cm
现在 nc 可改写为 nc = nt x n.
因此，上式右边的第二项可以改写为
其中，dl = 沿表面元素轮廓的元素切向矢量。
因此我们可以看到，积分内的积分项实质上是三个向量 Γu、dl 和 n 的标量三乘积，即 [Γu dl n].
利用标量三乘积的性质：
现在，通过应用斯托克斯定理在封闭轮廓上的应用，我们可以将轮廓积分转换为以轮廓为界的曲面积分，即
对包含矢量三重乘积的项进行求值，上述等高线积分可以改写为
因此，我们可以在界面平面上定义一个新的算子：
因此，表面积分的材料导数右侧的等高线积分可以写成
因此，本节第一个物质导数方程变为
或者说
那么，差分形式就是
其中
如果我们将表面活性剂的速度沿两个相互垂直的方向（即沿界面表面和垂直于界面表面）进行分解，我们将得到
因此，上述微分方程变为
因此，在没有扩散的情况下，我们可以看到有两个项导致了 Γ 的变化，一个是简单的对流，即界面速度，第二个项称为稀释项。如果我们增加一个扩散项，考虑到扩散项是由布朗运动引起的，并且可以表示为表面活性剂浓度梯度，类似于扩散热传导情况下的温度梯度，那么带有扩散项的表面活性剂浓度扩散方程的最终形式将变为
从本质上讲，这个方程现在可以用于多种情况，如解释樟脑颗粒在水面上的运动等。
结论：
通过对体积积分和表面积分的物质导数进行数学分析，可以更深入地了解物理量在运动流体中的演变过程。通过研究标量或矢量场的体积和表面积分的时间变化，我们可以深入了解流体流动系统的动力学和行为。