能量守恒
热力学第一定律（即能量守恒原理）指出，拉格朗日流体包裹中储存的能量变化等于从热量或机械功等外部来源向其添加能量的速度。对于初学热力学的学生来说，这一原理有两个方面可能比较陌生。首先，流体包裹的运动在整个能量平衡中起着重要作用，因此必须将流体包裹的体动能视为储存能量的一种形式。其次，必须认识到，不仅是压力，粘滞力也会导致系统的能量增加机械功。
包裹内的热量传递主要通过两种机制进行：电磁辐射和分子传导。电磁辐射涉及包裹内能量的吸收或发射，而分子传导则是指热量穿过包裹边界的传递。值得注意的是，辐射效应与体积成正比，被称为 “体 “效应，而传导效应则与表面有关。在空气动力学中，表面效应通常比主体效应更重要。对包裹做的机械功与动量守恒中涉及的力相同。在空气动力学中，外部体力通常可以忽略不计，重点是邻近包裹施加的力。
然而，流体内应力对能量守恒的影响比动量守恒更为复杂。动量守恒只考虑包裹上的净力，而能量守恒还考虑包裹质心移动距离上的净力，这些净力会导致包裹体动能的变化。
不过，还需要考虑其他因素。如果包裹发生变形，无论是体积变形还是剪切变形，包裹边界的某些部分都会相对于质量中心发生移动。这种移动会对包裹产生巨大的功。此外，通过压缩或膨胀对包裹施加的压力会产生加热或冷却效果。此外，包裹还会因粘性应力而产生热量，这种现象被称为粘性耗散。
湍流提出了与能量守恒有关的引人深思的问题。湍流通常通过理论模型进行分析，这些模型侧重于时间平均值，有效地平滑了非稳态湍流运动。在时间平均流场中，与湍流相关的动能成为一种需要考虑的重要能量形式。不过，在许多流动情况下，湍流动能（TKE）的产生和耗散在局部大致平衡，因此可以忽略 TKE：
- 能量守恒:热力学第一定律指出，能量不能被创造或毁灭，只能从一种形式转化为另一种形式。这包括考虑包裹内动能、势能和内能的变化。
- 能量的形式:详细介绍了流体包裹中的各种能量形式，包括体动能、内能（受压力和粘性力影响）以及电磁辐射和分子传导等热传递机制。
- 机械功:解释了流体包裹上机械功的作用，指出机械功可以由外力（如压力）和流体内应力共同作用，内应力可能来自相邻包裹或包裹本身的变形。
- 变形和压缩效应:讨论了包裹变形和压力变化对能量平衡的影响，强调了这些因素如何导致包裹做大量的功并影响其热状态。
- 粘性耗散:粘性耗散现象是指由于流体粘性将机械能转化为热能，被认为是影响能量守恒的一个因素。
- 湍流:湍流给能量守恒带来了额外的复杂性，特别是关于湍流动能（TKE）的产生和耗散。虽然湍流动能在湍流中非常重要，但在某些情况下，其产生和耗散率大致平衡，因此可以忽略不计。
总之，我们试图解释热力学原理如何适用于流体包裹，特别是在空气动力学背景下，并强调在分析此类系统的能量守恒时必须考虑的各种因素。
各种物理量与边界条件之间的关系
我们刚刚研究了拉格朗日参照系中的基本守恒定律。无论是在拉格朗日参照系还是欧拉参照系中应用这些定律，都会产生五个方程，我们面临八个未知数。这些未知数包括三个空间坐标（拉格朗日式）或速度分量（欧拉式），以及五个局部材料和热力学属性：压力、密度、温度、分子粘度系数和热导系数。要完全定义系统，还需要三个附加的构成关系。在空气动力学中，这些关系式通常包括理想气体状态方程（将压力、密度和温度联系起来）、萨瑟兰定律（将粘度与温度单独联系起来）和普朗特导热关系式。
全面的纳维-斯托克斯（NS）系统包含了我们分析所需的所有内部流体物理学。说到流域的边界，我们必须应用的特定边界条件取决于相关边界的类型。在流动边界的情况下，由于 NS 方程本身决定了哪些边界条件是允许的，哪些是必须的，这取决于流动情况，因此不需要调用辅助物理学。然而，在处理与另一种材料（通常称为 “壁”）相接的边界时，则需要额外的物理因素来精确定义边界条件。
边界条件规定了系统在其边界或界面上的行为。它们对于求解支配物理现象的微分方程至关重要，通常用于模拟系统内不同材料或区域之间的相互作用。一些常见的边界条件类型包括
- 迪里夏特边界条件:这些条件规定了因变量（如温度、速度）在域边界的值。
- 诺依曼边界条件:这些条件规定了因变量在边界上的梯度或通量，而不是其绝对值。
- 罗宾边界条件:也称为混合边界条件，规定了边界上规定值和梯度的组合。
- 周期性边界条件:用于模拟边界环绕形成周期性区域的系统，如周期性结构或通道中流体流动的模拟。
- 界面条件:在模拟不同材料或相之间的相互作用时，界面条件规定了应力、位移或热通量等量在界面上的关系。
构造关系描述了材料或流体中各种物理量之间的关系。这些关系通常取决于材料特性，并可能根据材料或流体所处的条件而变化。一些常见的构成关系包括
- 应力-应变关系:在固体力学中，这些关系描述了材料内部应力（单位面积的力）与应变（变形）之间的关系。不同的材料表现出不同的应力应变行为，如弹性、塑性或粘弹性反应。
- 流体应力应变关系:对于流体，构成关系通常描述应力（剪应力、法向应力）与应变率（变形率）之间的关系。这些关系可能涉及牛顿流体的粘度等参数，也可能涉及非牛顿流体的更复杂模型。
- 热力学关系:在热力学中，构成关系描述了压力、温度和密度等属性在不同条件下的关系。状态方程，如理想气体定律或实际气体的更复杂公式，都是热力学构成关系的例子。
- 电磁关系:在材料科学和电磁学中，构成关系描述了导电率、介电常数和磁导率与电场和磁场的关系。
方程的数学特性
所提出的方程系统包括五个场 PDE 和三个代数构成关系，共八个未知数。这些方程在空间上表现出双曲/椭圆混合性质，需要边界条件才能在整个域内求解。虽然数值求解可以在时间上向前推进，但空间上的推进并不可行。由于方程的非线性，一般无法通过叠加求解。即使是稳流求解，也需要一种超越单一矩阵反演的方法，如时间行进或迭代过程。这些复杂性将在 CFD 方法中进一步探讨。NS 方程的解并不总是唯一的，尤其是当多个稳流解对应于同一几何体时。虽然理论上存在无湍流解，但它们在高雷诺数时通常动态不稳定，在自然界中也很少观察到。
由于上述挑战，只有在尺寸缩小、流体性质不变的少数简单情况下，才有可能找到 NS 方程的解析解。即使在这些情况下，解法也只适用于某些可以忽略惯性影响的限制条件。例如，二维或圆形横截面的平面管道或管道中稳定、充分发展的流动存在一维解法，在低雷诺数条件下，环绕圆形圆柱体或球体的流动也存在二维解法。在涉及高雷诺数的情况下，可以使用边界层理论获得二维 NS 方程的近似解，这只需要求解一维常微分方程 (ODE)。然而，对于更一般的流动，除非可以做出简化假设，否则数值解法是唯一可行的选择。
欧拉框架
在欧拉框架中，观察的重点是流体在经过指定空间框架内的特定点时的行为。不再像拉格朗日框架那样监测流体固定部分的变化，而是将重点转移到观察集成到空间坐标系中的无限小体积元素内的行为。在欧拉框架中，这些体积元素有连续的流体流过，并流过它们的边界。这种流动反映了在拉格朗日框架中观察到的运动。视角的改变要求在应用守恒定律时对对流过程进行不同的处理。在拉格朗日方法中，对流是通过固定流体包裹的定义来隐含考虑的，由于定义中不存在这种运动，因此守恒方程中没有任何项会考虑包裹边界的对流。与此相反，在欧拉方法中，跨体积元素边界的流体流动很常见，对流过程必须作为附加项明确包含在方程中。
在数学上，当我们将时间导数替换为
拉格朗日方程中的时间导数替换为欧拉方程中的时间导数时，就会产生附加项：
欧拉方程包含考虑对流效应的项，这些项来自右侧的 V -∇ 项。为了说明这一概念，让我们来研究一个拉格朗日包裹的动量 x 分量，其体积为 dV，表示为 ρ udV。通过将上述方程应用于这个特定的量，我们可以进一步理解其含义：
等式右侧第二个项以最基本的形式表示欧拉 x-动量方程中的动量对流。学术著作中经常出现的另一种表示方法是将密度移到导数之外，从而与拉格朗日加速度 Du/Dt 建立更清晰的联系。
为了得到这种替代形式，有必要引用质量守恒原理，该原理在拉格朗日的表述中断言，拉格朗日包裹的质量随时间保持不变。如果我们再次使用实质导数定义，我们可以得出
对流过程详解
现在让我们深入探讨对流过程。一个公认的事实是，对流在两个包裹之间的共同边界上是对等的。这一概念可以类比于力学中的牛顿第三定律，即两个接触物体所受的力必须相等且相反。这种平衡是必要的，因为在界面上没有维持不平衡力的机制。在考虑共用边界的两个流体包裹时，没有任何机制可以改变守恒量的通量，因此离开一个包裹的通量必须等同于进入另一个包裹的通量。在一般的 Navier-Stokes 公式中，我们不需要明确执行这种互易性，因为所有流动变量的连续性本身就维持了这种互易性。然而，在涉及不连续性的专门理论中，例如不粘性解中的冲击建模，则需要额外的方程来确保跨不连续性的守恒关系得以维持。
守恒方程中的对流项有明确的物理解释。当进入体积元素的对流速率与流出的对流速率不平衡时，对流作为守恒量的来源，需要在守恒定律中加以考虑。这些术语表示一个守恒量运入或运出一个体积元素的总速率。在质量守恒的情况下，这种净对流是导致元素内总质量随时间变化的唯一因素，尤其是在稳定流动条件下，进入和流出元素的质量通量必须相等。这一原则不仅适用于局部小块，也适用于较大的体积，例如稳定流动的流管，在这种情况下，通过与流管相交的任何表面的质量通量都必须保持恒定。净对流在保持动量和能量守恒的平衡方面起着至关重要的作用，但也必须考虑作用在流体上的外力（动量和能量）以及热传导的影响。
我们公式中的动量和能量平衡可能会受到外部因素的影响，例如作用在流体上的引力或电磁力，以及通过吸收和发射辐射进行的热传递。这些影响都很容易计算。此外，不直接接触的流体块之间的力或能量交换（称为内部非局部效应）也会影响平衡。然而，在空气动力学中，这些外部效应和内部非局部效应通常被认为是可以忽略不计的。因此，我们的方程中只需表示通过包裹间直接接触传递的效应。这包括由表观内应力代表的包裹间作用力，以及由于传导而在相邻流体包裹间交换的热通量。需要注意的是，这些量与流体材料没有物理联系，也不与流体材料一起对流。它们不受参照系速度变化的影响，在欧拉和拉格朗日参照系中显示相同。
在空气动力学中观察到的典型情况是，流体内力的主要传递发生在相邻流体块之间。同样，欧拉框架中的对流效应也只发生在相邻的欧拉模型之间。因此，在我们的传统空气动力流中，不存在任何形式的 “远距离力 “交换机制，从而排除了远距离 “感应 “或类似效应。尽管比奥特-萨瓦特定律可能暗示存在远距离感应效应，但将某一点的速度视为由另一点的涡度 “感应 “或 “引起 “是错误的。这只是流体力学领域因果关系归因难题的一个例证。
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