Para analizar la derivada material de integrales de volumen y superficie, empezaremos por definir la derivada material, también conocida como derivada sustancial. Después, examinaremos su aplicación a las integrales de volumen y superficie utilizando notación matemática y conceptos del cálculo vectorial.
La derivada material
La derivada D/Dt, también conocida como la derivada material del tiempo es, de hecho, la derivada temporal de la cantidad B para un punto material fijo. Y los puntos materiales se definen a menudo por el vector de posición inicial en t = 0. El vector de posición del punto material en cualquier tiempo t > 0 viene dado por:
Cualquier variable de flujo definida para un punto de material arbitrario x0 vendrá definida por B(x0,t).
Así, la descripción espacial correspondiente será B[x(x0,t),t].
A partir de la descripción anterior, podemos decir que existen dos tipos de derivadas temporales:
La relación entre las dos derivadas puede obtenerse mediante la aplicación de la regla de la cadena:
Las derivadas temporales en lugares espaciales fijos se denominan derivadas temporales eulerianas, y las tomadas en un punto material fijo se denominan lagrangianas.
Pasemos ahora a la derivada material de las integrales de volumen, es decir, al teorema de transporte de Reynold, que establece que
El teorema anterior no es más que una extensión de la regla de Leibnitz de la diferenciación cuando los límites de la propia integral dependen del tiempo.
Aplicando la definición habitual de derivada como el límite de «delta t» que tiende a 0 a la parte izquierda de la ecuación anterior, obtenemos:
En la ecuación anterior sumamos y restamos ahora el término siguiente:
La ecuación se convierte entonces en
El segundo término es justo:
Y el primer término puede reescribirse como
Lo que demuestra que es la integral de B
Para hallar la integral anterior, cualquier elemento diferencial dAm de Vm
Donde Am
Por lo tanto, la forma final de la Teorema de transporte de Reynolds será:
El paso siguiente se puede dar mediante la aplicación del Teorema de Divergencia de Gauss sobre la integral de área del lado derecho de la ecuación anterior para obtener la forma familiar de la forma diferencial equivalente de la ecuación anterior.
Tomemos el caso de una aplicación sencilla en la que tenemos la densidad ρ(x ,t) en lugar de la variable de flujo B(x, t). Entonces obtenemos por aplicación del Teorema de la divergencia de Gauss como se ha dicho anteriormente a la forma diferencial final de la conservación de la masa:
Derivada material de la integral de superficie:
En esta sección, vamos a aplicar los mismos conceptos desarrollados anteriormente para el caso de la derivada material de las integrales de volumen para obtener las ecuaciones de gobierno de la ecuación de difusión de la concentración de surfactante sobre una interfase de dos medios.
Aquí utilizaremos el principio de conservación de la concentración de tensioactivo sobre una superficie de material suponiendo la ausencia de fuentes o sumideros, ya sea por reacciones químicas o por un flujo hacia o desde los líquidos de la fase masiva circundante. Así, obtendremos
Donde D/Dt es la derivada del material para los puntos de la interfaz y Sm
De nuevo, siguiendo los mismos pasos descritos en la sección anterior del Teorema de transporte de Reynold para el volumen de material y teniendo en cuenta sustituir las integrales de volumen por integrales de superficie y las integrales de superficie por integrales de contorno, podemos obtener una ecuación para la ecuación de difusión de la concentración de tensioactivo sobre una interfase de dos medios:
Donde u = velocidad de las partículas de tensioactivo a lo largo de la superficie de la interfase
Γ = concentración del tensioactivo sobre la interfase
nc = vector unitario normal al contorno del elemento de superficie
nt = vector unitario tangente al contorno del elemento de superficie
n = vector unitario normal a la superficie de la interfaz
Cm
Ahora nc puede reescribirse como nc = nt x n.
Así, el segundo término del lado derecho de la ecuación anterior puede reescribirse como:
Donde dl = vector tangencial elemental a lo largo del contorno del elemento de superficie.
Así podemos ver que el integrando dentro de la integral no es más que esencialmente un triple producto escalar de tres vectores Γu, dl y n que es [Γu dl n].
Utilizando la propiedad del triple producto escalar:
Ahora mediante la aplicación del Teorema de Stokes sobre un contorno cerrado, podemos convertir la integral de contorno en la integral de superficie limitada por el contorno, es decir:
Evaluando el término que contiene el triple producto vectorial, la integral de contorno anterior puede reescribirse como:
Así, podemos definir un nuevo operador en el plano de la interfase como:
Por lo tanto, la integral de contorno del lado derecho de la derivada material de la integral de superficie puede escribirse como:
Por lo tanto, la primera ecuación de esta sección para la ecuación de la derivada material se convierte en:
O bien
Entonces, la forma diferencial será
Donde
Si descomponemos la velocidad del tensioactivo en dos direcciones mutuamente perpendiculares, es decir, a lo largo de la superficie de la interfase y perpendicular a la superficie de la interfase, obtendremos:
De modo que la ecuación diferencial gobernante anterior se convierte en:
Por lo tanto, en ausencia de difusión, podemos ver que hay dos términos que contribuyen al cambio en Γ, uno es la convección simple con la velocidad de interfase nosotros, y el segundo término conocido como término de dilución. Si añadimos una contribución de difusión, considerando el hecho de que el término de difusión surge debido al movimiento browniano y puede expresarse como gradiente de concentración de tensioactivo en analogía con el gradiente de temperatura en caso de conducción de calor difusiva, la forma final de la ecuación de difusión de concentración de tensioactivo con término difusivo será:
Esencialmente, esta ecuación puede utilizarse ahora en diversos casos como la explicación del movimiento de las partículas de alcanfor en la superficie del agua, etc.
Conclusión:
El análisis matemático de la derivada material de las integrales de volumen y superficie permite comprender mejor cómo evolucionan las magnitudes físicas en un fluido en movimiento. Examinando los cambios temporales en las integrales de volumen y superficie de campos escalares o vectoriales, podemos comprender mejor la dinámica y el comportamiento de los sistemas de flujo de fluidos.