Conservación de la energía
La primera ley de la termodinámica, conocida como principio de conservación de la energía, establece que el cambio en la energía almacenada dentro de una parcela de fluido lagrangiano es igual a la velocidad a la que se le añade energía procedente de fuentes externas, como el calor o el trabajo mecánico. Para un estudiante de termodinámica elemental, hay dos aspectos de este principio que pueden resultar nuevos. En primer lugar, el movimiento de la parcela de fluido desempeña un papel importante en el balance energético global, por lo que la energía cinética aparente de la parcela debe considerarse como una de las formas de energía almacenada. En segundo lugar, es importante reconocer que no sólo la presión, sino también las fuerzas viscosas, pueden contribuir a añadir trabajo mecánico a la energía del sistema.
La transferencia de calor dentro de una parcela puede producirse a través de dos mecanismos principales: la radiación electromagnética y la conducción molecular. La radiación electromagnética implica la absorción o emisión de energía dentro de la parcela, mientras que la conducción molecular se refiere a la transferencia de calor a través de los límites de la parcela. Es importante señalar que los efectos de la radiación son proporcionales al volumen, lo que se conoce como efecto «cuerpo», mientras que los efectos de la conducción son superficiales. En aerodinámica, los efectos de superficie suelen ser más significativos que los de cuerpo. El trabajo mecánico realizado sobre la parcela se lleva a cabo por las mismas fuerzas que intervienen en la conservación del momento. En aerodinámica, las fuerzas externas del cuerpo son a menudo insignificantes, y la atención se centra en las fuerzas ejercidas por las parcelas vecinas.
Sin embargo, el impacto de las tensiones internas del fluido en la conservación de la energía es más complejo que en la conservación del momento. Mientras que la conservación del momento sólo considera la fuerza neta sobre la parcela, la conservación de la energía también tiene en cuenta la fuerza neta que actúa sobre la distancia recorrida por el centro de masa de la parcela, contribuyendo a los cambios en su energía cinética aparente.
Sin embargo, hay factores adicionales a tener en cuenta. En caso de que la parcela sufra una deformación, ya sea volumétrica o por cizallamiento, ciertas partes del límite de la parcela se desplazarán en relación con su centro de masa. Este movimiento puede dar lugar a un trabajo sustancial sobre la parcela. Además, la presión ejercida sobre la parcela, a través de la compresión o la expansión, puede provocar efectos de calentamiento o enfriamiento. Además, la parcela experimenta calor debido a tensiones viscosas, un fenómeno conocido como disipación viscosa.
La turbulencia presenta consideraciones intrigantes en relación con la conservación de la energía. Los flujos turbulentos suelen analizarse mediante modelos teóricos que se centran en promedios temporales, suavizando de forma eficaz los movimientos turbulentos no estacionarios. Dentro del campo de flujo promediado en el tiempo, la energía cinética asociada a la turbulencia se convierte en una forma significativa de energía que requiere consideración. Sin embargo, en numerosos escenarios de flujo, la generación y disipación de la energía cinética de la turbulencia (TKE) están aproximadamente equilibradas localmente, lo que permite despreciar la TKE:
- Conservación de la energía: La primera ley de la termodinámica, que establece que la energía no puede crearse ni destruirse, sino sólo transformarse de una forma a otra, se analiza en el contexto de las parcelas fluidas. Esto incluye considerar los cambios en la energía cinética, la energía potencial y la energía interna dentro del paquete.
- Formas de energía: Se detallan las distintas formas de energía dentro de una parcela de fluido, incluida la energía cinética del volumen, la energía interna (afectada por la presión y las fuerzas viscosas) y los mecanismos de transferencia de calor como la radiación electromagnética y la conducción molecular.
- Trabajo mecánico: Se explica el papel del trabajo mecánico sobre una parcela de fluido, señalando que puede ser realizado tanto por fuerzas externas (como la presión) como por tensiones internas del fluido, que pueden surgir de las parcelas vecinas o de la deformación de la propia parcela.
- Efectos de deformación y compresión: Se analiza el impacto de la deformación de la parcela y los cambios de presión en el balance energético, destacando cómo estos factores pueden provocar un trabajo sustancial en la parcela e influir en su estado térmico.
- Disipación viscosa: El fenómeno de la disipación viscosa, en el que la energía mecánica se convierte en calor debido a la viscosidad del fluido, se menciona como un factor que contribuye a las consideraciones de conservación de la energía.
- Turbulencia: Los flujos turbulentos introducen complejidades adicionales a la conservación de la energía, en particular en lo que respecta a la generación y disipación de la energía cinética de turbulencia (TKE). Aunque la TKE es significativa en los flujos turbulentos, puede despreciarse en ciertos escenarios en los que las tasas de generación y disipación están aproximadamente equilibradas.
En general, intentamos ofrecer una explicación de cómo se aplican los principios de la termodinámica a los paquetes de fluidos, en particular en contextos aerodinámicos, y destacar los diversos factores que deben tenerse en cuenta al analizar la conservación de la energía en tales sistemas.
Relación entre diversas magnitudes físicas y las condiciones límite
Acabamos de examinar las leyes fundamentales de conservación en el sistema de referencia lagrangiano. Tanto si estas leyes se aplican en el marco lagrangiano como en el euleriano, dan lugar a cinco ecuaciones y nos enfrentamos a ocho incógnitas. Estas incógnitas consisten en tres coordenadas espaciales (en el lagrangiano) o componentes de velocidad (en el euleriano), así como cinco propiedades materiales y termodinámicas locales: presión, densidad, temperatura y los coeficientes de viscosidad molecular y conductividad térmica. Para definir completamente el sistema, se requieren tres relaciones constitutivas adicionales. En aerodinámica, estas relaciones suelen incluir la ecuación de estado del gas ideal, que correlaciona la presión, la densidad y la temperatura; la ley de Sutherland, que relaciona la viscosidad únicamente con la temperatura; y la relación de Prandtl para la conductividad térmica.
El sistema integral de Navier-Stokes (NS) engloba toda la física interna de los fluidos necesaria para nuestro análisis. Cuando se trata de los límites de nuestro dominio de flujo, las condiciones de contorno específicas que debemos aplicar dependen del tipo de límite de que se trate. En el caso de los límites de flujo, no es necesario invocar ninguna física suplementaria, ya que las propias ecuaciones NS dictan qué condiciones de contorno son admisibles u obligatorias, en función del escenario de flujo. Sin embargo, cuando se trata de límites que hacen interfaz con otro material, comúnmente denominados «paredes», se requieren consideraciones físicas adicionales para definir con precisión las condiciones límite.
Las condiciones límite especifican el comportamiento de un sistema en sus límites o interfaces. Son esenciales para resolver las ecuaciones diferenciales que gobiernan los fenómenos físicos y se utilizan a menudo para modelar las interacciones entre diferentes materiales o regiones dentro de un sistema. Algunos tipos comunes de condiciones límite incluyen:
- Condiciones límite de Dirichlet: Especifican los valores de las variables dependientes (por ejemplo, temperatura, velocidad) en los límites de un dominio.
- Condiciones límite de Neumann: Especifican los gradientes o flujos de las variables dependientes en las fronteras, en lugar de sus valores absolutos.
- Condiciones de contorno Robin: También conocidas como condiciones de contorno mixtas, especifican una combinación de valores prescritos y gradientes en los límites.
- Condiciones de contorno periódicas: Se utilizan para modelar sistemas en los que los límites se envuelven para formar un dominio periódico, como en las simulaciones de estructuras periódicas o flujos de fluidos en canales.
- Condiciones de interfaz: Cuando se modela la interacción entre diferentes materiales o fases, las condiciones de interfaz especifican cómo se relacionan cantidades como la tensión, el desplazamiento o el flujo de calor a través de la interfaz.
Las relaciones constitutivas describen la relación entre diversas magnitudes físicas dentro de un material o fluido. Estas relaciones suelen depender de las propiedades del material y pueden variar en función de las condiciones a las que esté sometido el material o el fluido. Algunas relaciones constitutivas comunes incluyen:
- Relaciones tensión-deformación: En mecánica de sólidos, estas relaciones describen cómo se relaciona la tensión (fuerza por unidad de superficie) con la deformación (deformación) dentro de un material. Los distintos materiales presentan diferentes comportamientos tensión-deformación, como respuestas elásticas, plásticas o viscoelásticas.
- Relaciones tensión-deformación de los fluidos: En el caso de los fluidos, las relaciones constitutivas suelen describir cómo se relaciona la tensión (tensión de cizallamiento, tensión normal) con la velocidad de deformación (velocidad de deformación). Estas relaciones pueden implicar parámetros como la viscosidad para los fluidos newtonianos, o modelos más complejos para los fluidos no newtonianos.
- Relaciones termodinámicas: En termodinámica, las relaciones constitutivas describen cómo se relacionan propiedades como la presión, la temperatura y la densidad en diferentes condiciones. Las ecuaciones de estado, como la ley de los gases ideales o formulaciones más complejas para gases reales, son ejemplos de relaciones constitutivas termodinámicas.
- Relaciones electromagnéticas: En la ciencia de los materiales y el electromagnetismo, las relaciones constitutivas describen cómo se relacionan la conductividad eléctrica, la permitividad y la permeabilidad con los campos eléctrico y magnético.
Las características matemáticas de las ecuaciones
El sistema de ecuaciones presentado comprende cinco EDP de campo y tres relaciones constitutivas algebraicas, que suman un total de ocho incógnitas. Estas ecuaciones presentan una naturaleza mixta hiperbólica/elíptica en el espacio, lo que requiere condiciones de contorno para una solución en todo el dominio. Aunque las soluciones numéricas pueden avanzar en el tiempo, la progresión espacial no es factible. Debido a la no linealidad de las ecuaciones, las soluciones no pueden alcanzarse generalmente mediante superposición. Incluso una solución de flujo estacionario requiere un método que vaya más allá de una simple inversión matricial, como la progresión temporal o los procesos iterativos. Estas complejidades se estudiarán más a fondo en el contexto de los métodos CFD. Las soluciones a las ecuaciones NS pueden no ser siempre únicas, sobre todo cuando múltiples soluciones de flujo estacionario corresponden a la misma geometría del cuerpo. Aunque teóricamente existen soluciones sin turbulencias, suelen ser dinámicamente inestables a números de Reynolds elevados y rara vez se observan en la naturaleza.
Debido a los retos mencionados, encontrar soluciones analíticas a las ecuaciones NS sólo es posible para un número limitado de casos sencillos con dimensiones reducidas y propiedades constantes de los fluidos. Incluso en estos casos, las soluciones sólo son aplicables en determinadas condiciones límite en las que pueden despreciarse los efectos de la inercia. Por ejemplo, existen soluciones unidimensionales para un flujo constante y completamente desarrollado en conductos o tuberías planas bidimensionales o de sección transversal circular, así como soluciones bidimensionales para el flujo alrededor de un cilindro circular o una esfera con números de Reynolds bajos. En situaciones con números de Reynolds elevados, pueden obtenerse soluciones aproximadas a las ecuaciones NS bidimensionales utilizando la teoría de la capa límite, que sólo requiere resolver una ecuación diferencial ordinaria (EDO) unidimensional. Sin embargo, para flujos más generales, las soluciones numéricas son la única opción viable, a menos que puedan hacerse suposiciones simplificadoras.
El marco euleriano
En el marco euleriano, la observación se centra en el comportamiento del fluido a medida que pasa por puntos específicos dentro de un marco espacial designado. En lugar de supervisar los cambios experimentados por porciones fijas de fluido, como se hace en el marco lagrangiano, el enfoque se desplaza a la observación del comportamiento dentro de elementos de volumen infinitesimales integrados en el sistema de coordenadas espaciales. Estos elementos de volumen en el marco euleriano tienen un flujo continuo de fluido que pasa a través de ellos y sobre sus límites. Este flujo refleja el movimiento observado en el marco lagrangiano. El cambio de perspectiva requiere un tratamiento diferente del proceso de convección al aplicar las leyes de conservación. En el enfoque lagrangiano, la convección se considera implícitamente a través de la definición de parcelas de fluido fijas, sin términos en las ecuaciones de conservación que den cuenta de la convección a través de los límites de las parcelas debido a la ausencia de tal movimiento por definición. En cambio, en el enfoque euleriano, en el que el flujo de fluidos a través de los límites de los elementos de volumen es habitual, el proceso de convección debe incluirse explícitamente en las ecuaciones como términos adicionales.
Matemáticamente, los términos adicionales surgen cuando sustituimos las derivadas temporales en el
ecuaciones lagrangianas por sus equivalentes eulerianos, utilizando la ecuación
Las ecuaciones eulerianas incorporan términos que tienen en cuenta los efectos de convección, que se derivan del término V – ∇ del lado derecho. Para ilustrar este concepto, examinemos la componente x del momento de una parcela lagrangiana con un volumen de dV, denotado como ρ udV. Aplicando la ecuación mencionada a esta cantidad específica, podemos comprender mejor sus implicaciones:
El término que aparece en segundo lugar en el lado derecho de la ecuación simboliza el momento de convección en la ecuación euleriana del momento x en su forma más básica. Una representación alternativa que se encuentra con frecuencia en los trabajos académicos implica desplazar la densidad fuera de la derivada, lo que resulta en una conexión más clara con la aceleración lagrangiana Du/Dt.
Para obtener esta forma alternativa, es necesario invocar el principio de conservación de la masa, que, en su formulación lagrangiana, afirma que la masa de una parcela lagrangiana permanece constante en el tiempo. Si volvemos a hacer uso de la definición de derivada sustancial, llegamos a:
El proceso de convección en detalle
Profundicemos ahora en el proceso de convección. Es un hecho bien establecido que la convección es recíproca a través de un límite compartido entre dos parcelas. Este concepto puede compararse con la tercera ley de Newton en mecánica, que dicta que las fuerzas ejercidas por dos cuerpos en contacto deben ser iguales y opuestas. Este equilibrio es necesario porque no existe ningún mecanismo en la interfaz para sostener una fuerza desequilibrada. Al considerar dos parcelas de fluido que comparten una frontera, no existe ningún mecanismo para alterar el flujo de una cantidad conservada, por lo que el flujo que sale de una parcela debe ser equivalente al que entra en la otra. En nuestra formulación general de Navier-Stokes, no necesitamos hacer cumplir explícitamente esta reciprocidad, ya que se mantiene de forma inherente por la continuidad de todas las variables de flujo. Sin embargo, en teorías especializadas que implican discontinuidades, como el modelado de choques en soluciones no viscosas, se requieren ecuaciones adicionales para garantizar que las relaciones de conservación se mantienen a través de la discontinuidad.
Los términos de convección en las ecuaciones de conservación tienen una interpretación física clara. Cuando existe un desequilibrio entre la tasa de convección hacia el interior de un elemento de volumen y la tasa de convección hacia el exterior, la convección actúa como fuente de la cantidad conservada y debe tenerse en cuenta en la ley de conservación. Estos términos indican la tasa global a la que una cantidad conservada está siendo transportada dentro o fuera de un elemento de volumen. En el caso de la conservación de la masa, esta convección neta es el único factor que contribuye al cambio de la masa total dentro del elemento a lo largo del tiempo, especialmente en condiciones de flujo estacionario en las que el flujo de masa que entra y sale del elemento debe ser igual. Este principio se extiende más allá de las parcelas locales a volúmenes mayores, como un tubo de corriente de flujo constante, donde el flujo de masa a través de cualquier superficie que intersecte el tubo debe permanecer constante. La convección neta desempeña un papel crucial en el mantenimiento del equilibrio en la conservación del momento y la energía, pero es esencial considerar también los efectos de las fuerzas externas que actúan sobre el fluido (momento y energía) y la conducción del calor.
Los balances de momento y energía de nuestra formulación pueden verse influidos por fuentes externas, como las fuerzas gravitatorias o electromagnéticas que actúan sobre el fluido, así como por la transferencia de calor a través de la absorción y emisión de radiación. Estas contribuciones pueden contabilizarse fácilmente. Además, los intercambios de fuerza o energía entre parcelas de fluido que no están en contacto directo entre sí, conocidos como efectos internos no locales, también pueden afectar a los equilibrios. Sin embargo, en aerodinámica, estos efectos externos y los efectos no locales internos suelen considerarse despreciables. Por lo tanto, los únicos efectos que deben representarse en nuestras ecuaciones son los que se transmiten a través del contacto directo entre parcelas. Esto incluye las fuerzas interparcelarias representadas por las tensiones internas aparentes y los flujos de calor debidos a la conducción, que se intercambian entre parcelas de fluido adyacentes. Es importante señalar que estas cantidades no están físicamente ligadas al material fluido y no se convectan con él. No se ven afectadas por los cambios en la velocidad de nuestro marco de referencia y aparecen igual tanto en el marco euleriano como en el lagrangiano.
En el escenario típico observado en aerodinámica, la transmisión primaria de fuerzas dentro del fluido se produce entre parcelas de fluido vecinas. Del mismo modo, los efectos de convección en un marco euleriano también operan únicamente entre parcelas eulerianas adyacentes. Por consiguiente, en nuestros flujos aerodinámicos convencionales, no existe ningún mecanismo para ninguna forma de intercambio de «fuerza a distancia», descartando así la «inducción» a distancia o efectos similares. Aunque la ley de Biot-Savart pueda sugerir un efecto de inducción a distancia, es erróneo percibir la velocidad en un punto como «inducida» o «causada» por la vorticidad en otro punto. Esto sirve sólo como ilustración de los retos asociados a la atribución de causa y efecto en el ámbito de la mecánica de fluidos.
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