La interpretación de las ecuaciones del movimiento en física

Únase al foro de diseñadores!

Su experiencia es vital para la comunidad. Únase a nosotros y aporte sus conocimientos.

Comparta, aprenda y crezca con los mejores profesionales del sector.

El objetivo de este post no es derivar matemáticamente las ecuaciones, sino ofrecer explicaciones concisas e intuitivas del significado de los distintos términos de las ecuaciones. Además, pretendemos analizar algunos de los conceptos generales que pueden deducirse de las ecuaciones en relación con las características de los flujos.

Las ecuaciones fundamentales que utilizamos son representaciones de los principios de conservación de la masa, el momento y la energía. Estos principios se articulan y comprenden de forma más eficaz dentro del marco de referencia lagrangiano, en el que representamos el movimiento en relación con las trayectorias de parcelas de fluido inmutables a medida que avanzan en el tiempo.

Sin embargo, el marco de referencia euleriano, que implica describir el flujo a su paso por puntos de un marco de referencia espacial independiente del fluido, es en última instancia la opción preferida por razones tanto conceptuales como cuantitativas. El método que adoptaré en este contexto consiste en ofrecer una breve explicación del significado de las leyes de conservación en el marco lagrangiano antes de pasar a una discusión sobre cómo se articulan en el marco euleriano.

Tanto en la perspectiva lagrangiana como en la euleriana, examinaremos el comportamiento de pequeños volúmenes de fluido, aunque con definiciones distintas en cada caso. La derivación de nuestras leyes de conservación como ecuaciones diferenciales parciales (EDP) conlleva un proceso formal de aproximación a dimensiones infinitesimales para nuestras parcelas de fluido. Aunque no profundizaremos en los detalles de este procedimiento en este discurso, es importante que el lector tenga en cuenta que las parcelas de fluido en cualquiera de los marcos de referencia deben conceptualizarse como arbitrariamente diminutas.

Lamb (1932) proporciona una definición para una parcela lagrangiana fija de fluido, afirmando que está formada únicamente por las mismas partículas de fluido a lo largo del tiempo. Para mantener esta consistencia, la superficie delimitadora de la parcela debe moverse con el fluido de forma que impida que cualquier partícula de fluido la atraviese. Sin embargo, es importante reconocer que este concepto es una idealización que sólo se mantiene en nuestro mundo conceptual continuo. En la realidad, las moléculas se difundirán inevitablemente a través de un límite de este tipo en ambas direcciones, y lo mejor que podemos hacer es asegurarnos de que el límite sigue el movimiento medio del fluido, con lo que no se produce un flujo neto de material a través de él. Independientemente de la perspectiva que se adopte, la parcela contendrá siempre la misma cantidad de material y no presentará ningún flujo neto de material a través de su superficie límite. Este enfoque de no tener en cuenta la difusión de masa sirve bien en el caso de fluidos monoespecíficos o multiespecíficos en los que las concentraciones relativas de las especies permanecen constantes. Sin embargo, si las concentraciones relativas de las especies varían significativamente, la definición de una parcela de fluido lagrangiano se vuelve problemática. Por el momento, pasaremos por alto esta limitación menor de la descripción lagrangiana y proseguiremos con nuestra discusión.

Como se ha mencionado anteriormente, se establecen leyes de conservación para la masa, el momento y la energía. La razón de ello es que estas cantidades son fundamentales en la física y la termodinámica, lo que hace necesaria su conservación. A diferencia de la presión o las tensiones viscosas, que no tienen leyes de conservación debido a su naturaleza. La masa, el momento y la energía están intrínsecamente ligados al material fluido y se convectan junto con él. Estas cantidades convectadas están asociadas a parcelas de fluido lagrangiano, lo que significa que cualquier cambio en la cantidad dentro de una parcela sólo puede producirse debido a procesos físicos dentro de la parcela o en sus límites. Las leyes de conservación sirven para cuantificar estos cambios, proporcionando un marco para comprender la conservación de la masa, el momento y la energía dentro de la perspectiva lagrangiana.

Continuidad del flujo – nuestra conservación de la masa

De acuerdo con nuestra definición precisa de una parcela de fluido en la descripción lagrangiana, la conservación de la masa dentro de la parcela está inherentemente garantizada. Sin embargo, la ecuación responsable de garantizar explícitamente la conservación de la masa debe cumplir funciones adicionales. La ecuación de continuidad establece una conexión entre la densidad del fluido en varios puntos y el volumen que ocupa, cumpliendo así dos criterios esenciales:

1. La conservación de la masa es un principio fundamental dentro de cada parcela lagrangiana, de acuerdo con las características definidas de la parcela.
   
2. No hay espacios vacíos entre las parcelas lagrangianas, y las parcelas vecinas no se cruzan. Es esencial considerar que todo el volumen de fluido está completamente lleno de parcelas lagrangianas que mantienen la conservación de la masa.

La ecuación de continuidad en la descripción lagrangiana puede entenderse fácilmente en un sentido físico: Cuando el volumen de una parcela de fluido cambia, la densidad del fluido también debe cambiar para mantener la masa constante de la parcela.

Aunque la base de la ecuación de continuidad es física (requisitos 1 y 2 anteriores), los requisitos que impone al flujo no son tan directos en un sentido de causa y efecto como los que imponen otras ecuaciones. Por ejemplo, en la conservación del momento. las fuerzas causan directamente las aceleraciones; y en la conservación de la energía.

Fuerzas sobre las partículas de fluido y conservación del momento

En el sistema de referencia lagrangiano, la conservación del momento se cumple explícitamente mediante la segunda ley de Newton, F = ma. Nuestra parcela de fluido lagrangiano posee una masa constante, y su aceleración viene determinada por el efecto acumulativo de las fuerzas ejercidas sobre ella.

Las fuerzas externas al cuerpo, como las fuerzas gravitatorias y electromagnéticas, pueden actuar sobre una parcela, pero en aerodinámica, estas fuerzas suelen considerarse insignificantes. La atención se centra principalmente en las fuerzas ejercidas sobre la superficie de la parcela por las parcelas vecinas. Según la tercera ley de Newton, estas fuerzas superficiales deben ser iguales y opuestas a través del límite compartido. Estas fuerzas se denominan «tensiones» internas aparentes del fluido. Se reconoce que estas tensiones pueden verse como tensiones distribuidas en el mundo idealizado del continuo, mientras que en realidad, son meramente tensiones aparentes resultantes de la transferencia de momento debida al movimiento molecular. No obstante, de cara al futuro, las trataremos como tensiones reales.

En entradas anteriores de «Todo sobre CFD» – «Fundamentos de la aerodinámica» Durante nuestra discusión, exploramos el concepto de representar estas tensiones como un tensor. Este enfoque resulta ventajoso cuando se trata de manipulación matemática. Sin embargo, a efectos de obtener una comprensión física, resulta más intuitivo pensar en términos de vectores de fuerza. Contrayendo el tensor de esfuerzos con el vector unitario que es normal a la hipotética frontera entre parcelas, obtenemos un vector que representa la fuerza por unidad de superficie que actúa a través de la frontera. Además, podemos descomponer este vector en dos componentes: uno perpendicular a la frontera y otro paralelo a ella. En el contexto de las ecuaciones NS, se supone que la componente perpendicular es la presión hidrostática local, a menudo denominada presión estática. Por otro lado, la componente paralela se conoce como el esfuerzo cortante, que surge únicamente de los efectos de la viscosidad.

Comprender la presión de forma intuitiva presenta desafíos debido a su naturaleza inherente en la mecánica de fluidos del continuo. La presión puede visualizarse como la tensión normal ejercida sobre unos límites hipotéticos que abarcan un punto específico en el espacio.
A pesar de ser una cantidad escalar, ejerce una fuerza uniforme en todas las direcciones en un punto determinado. Inicialmente, la comprensión de este concepto puede resultar difícil. Algunos comentaristas, como Anderson y Eberhardt (2001), han definido erróneamente la presión estática como «la presión medida paralelamente al flujo».
Sin embargo, esta descripción contradice la verdadera esencia de la presión, que no se ve afectada por la dirección del flujo y actúa uniformemente en todas las direcciones. Un enfoque más intuitivo para comprender la presión implica considerar su impacto sobre una parcela de fluido pequeña pero finita. Dentro de un campo de presión constante, esta parcela encuentra fuerzas interiores iguales del fluido circundante en todas las direcciones.

Para inducir cualquier aceleración en la parcela, las tensiones totales que actúan en todas las caras de la parcela deben dar como resultado una suma vectorial distinta de cero, lo que indica una fuerza desequilibrada. Las tensiones en las caras opuestas de la parcela actúan en direcciones opuestas y se anulan entre sí si sus magnitudes son iguales. En un campo de presión constante, las tensiones normales se anulan entre sí, por lo que no hay fuerza desequilibrada. Para tener una fuerza desequilibrada, las magnitudes de las tensiones en lados opuestos de la parcela deben diferir, lo que requiere una presión no uniforme o una tensión viscosa.
onsecuentemente, la fuerza desequilibrada no depende de la tensión per se sino del gradiente de tensión, que se simboliza por ∇p en el contexto de la presión. Esto implica típicamente un flujo de fluido no uniforme. Dado que las fuerzas se ven influidas por el movimiento de la parcela de fluido y sus parcelas vecinas, la relación causa-efecto entre tensiones y velocidades se vuelve circular, lo que añade complejidad a nuestro análisis. Este tema se explorará más a fondo en una próxima edición de nuestra serie «Todo sobre CFD» sobre los «Fundamentos de la aerodinámica».

La aceleración de una parcela se rige por la ecuación del momento, por lo que, para determinar la velocidad de la parcela, hay que integrar la ecuación. En secciones posteriores de la serie se demostrará cómo la integración de la ecuación del momento para el flujo estacionario de un fluido no viscoso da como resultado la ecuación de Bernoulli, una relación de flujo muy valiosa.

Únase al foro de diseñadores!

Su experiencia es vital para la comunidad. Únase a nosotros y aporte sus conocimientos.

Comparta, aprenda y crezca con los mejores profesionales del sector.