Poseemos una serie de conceptos que resultan valiosos a la hora de contemplar la distribución de la vorticidad dentro del campo de flujo. Inicialmente, nos centraremos en aquellos conceptos que son aplicables al típico escenario realista en el que la vorticidad se distribuye de forma continua.
En cualquier región en la que la vorticidad no sea igual a cero, es posible establecer una línea de vórtice como una curva espacial que discurre paralela al vector de vorticidad. Esto es similar a cómo una línea de corriente se alinea con el vector de velocidad. En consecuencia, dentro del campo de vorticidad, una línea de vórtice se asemeja a una línea de corriente dentro del campo de velocidad. Al igual que ampliamos la noción de línea de corriente para abarcar un tubo de corriente, podemos ampliar de forma similar el concepto de línea de vórtice para abarcar un tubo de vórtice.
El flujo de vorticidad a través de la frontera de un tubo de vórtice es intrínsecamente cero según su definición. Además, la divergencia del rizo de un vector, concretamente la velocidad (cuyo rizo representa la vorticidad), es cero según la identidad vectorial. En consecuencia, el flujo permanece constante en cualquier sección transversal del tubo, independientemente de su posición a lo largo de la longitud.
La constancia del flujo de vorticidad dentro de un tubo de vórtice rige las alteraciones en la magnitud de la vorticidad que deben acompañar al estiramiento del vórtice. Cuando el área de la sección transversal de un tubo de vórtice disminuye, ya sea con el tiempo o a lo largo de su longitud, la fuerza de la vorticidad (la magnitud del vector de vorticidad) debe intensificarse. En el caso de un segmento del tubo de vórtice que contenga una cantidad fija de fluido, una reducción del área de la sección transversal suele requerir un aumento de la longitud, o estiramiento. Este estiramiento es especialmente necesario si la densidad del fluido permanece constante, como exploraremos más adelante en relación con la conservación de la masa. En consecuencia, el estiramiento de un tubo de vórtice suele aumentar la magnitud de la vorticidad local.
La constancia del flujo de vorticidad en un tubo de vórtice impone la necesidad de cambios en la magnitud de la vorticidad cuando se produce el estiramiento del vórtice. Cuando el área de la sección transversal de un tubo de vórtice disminuye, ya sea con el tiempo o a lo largo de su longitud, la intensidad de la vorticidad (la magnitud del vector de vorticidad) debe aumentar. Para acomodar un área de sección transversal reducida dentro de una cantidad específica de fluido, suele ser necesario un aumento de la longitud o estiramiento.
Un filamento de vórtice es un tubo de vórtice delgado con una dimensión máxima extremadamente pequeña en su sección transversal. El área de la sección transversal de un filamento de vórtice también es infinitesimalmente pequeña, pero se supone que varía a lo largo de la longitud del filamento, lo que permite que cumpla los criterios de un tubo de vórtice. En el caso de un filamento de vórtice, el flujo de vorticidad a través de una sección transversal es igual al producto de la magnitud de la vorticidad y el área de la sección transversal, lo que se conoce como intensidad del filamento. Es importante señalar que esta definición de intensidad, como el flujo de vorticidad a través de un área infinitesimal, difiere de otros conceptos familiares de intensidad, como la intensidad de un haz de luz, que se define como el flujo de energía por unidad de área. El segundo teorema de Helmholtz afirma que la intensidad de un filamento de vórtice permanece constante a lo largo de su longitud. Esta conservación de la intensidad implica que un filamento de vórtice no puede terminar dentro del dominio del fluido, sino que debe formar un bucle cerrado (bucle de vórtice) o terminar en el límite del dominio.
Dependiendo de las características del límite, se impondrán restricciones a las posibles formas en que los filamentos de vórtice o las líneas de vórtice pueden terminar allí. Examinemos primero el escenario único de un filamento de vórtice individual que está encerrado por un flujo irrotacional. En el caso de que el flujo permanezca constante y la frontera represente una interfaz a través de la cual el fluido no pueda pasar, el filamento de vórtice sólo podrá intersecar la frontera de forma perpendicular.
Este requisito surge de la necesidad de tener una configuración de flujo predominantemente circular en las proximidades del filamento, dentro de planos perpendiculares al propio filamento. Cualquier desviación de esta orientación normal contradiría la condición de ausencia de flujo a través del límite.
Además, si el límite es una superficie sólida fija sujeta a una condición de no deslizamiento, los componentes de velocidad dentro de planos perpendiculares al filamento deben disminuir en la superficie, mientras que la magnitud de la vorticidad debe aproximarse a cero. En consecuencia, un filamento de vórtice aislado es incapaz de terminar en una superficie sólida caracterizada por una condición de no deslizamiento.
En el caso de la vorticidad distribuida, las líneas de vórtice pueden intersectar una frontera sin flujo con deslizamiento, y la intersección puede no producirse en la dirección normal. Por el contrario, en una superficie estacionaria sin deslizamiento, la situación es más restringida. Dado que la velocidad tangencial es cero en la superficie, el componente de vorticidad normal a la superficie también debe ser cero en toda ella. Por lo tanto, si la magnitud de la vorticidad es distinta de cero, las líneas de vórtice deben ser tangentes a la superficie. Este principio se mantiene generalmente en el flujo viscoso alrededor de un objeto estacionario, excepto en puntos singulares aislados de separación o unión en los que la magnitud de vorticidad en la superficie es cero. En tales casos, una línea de vórtice puede intersecar la superficie normalmente, pero la componente de vorticidad normal debe seguir aproximándose a cero en el punto de intersección. En consecuencia, las líneas de vórtice sólo pueden intersecar una superficie sin deslizamiento en puntos singulares aislados. Es un error común creer que las líneas de vórtice no pueden intersecar una superficie sin deslizamiento en absoluto, sin tener en cuenta las excepciones mencionadas anteriormente.
Es evidente que a medida que los vórtices se acercan a una superficie sólida con condiciones de no deslizamiento, excepto en un único punto aislado, las líneas de vórtice se ven obligadas a cambiar de dirección para evitar la intersección con la superficie. Esta redirección suele dar lugar a que los vórtices contribuyan a la vorticidad dentro de una capa límite viscosa formada en la superficie.
1. Exploremos ahora las construcciones teóricas que se han ideado para las representaciones idealizadas de flujos caracterizados por una vorticidad muy concentrada. La presencia de vorticidad concentrada en regiones específicas desempeña un papel crucial en el análisis de ciertos flujos que se discutirán más adelante. Por ejemplo, en el capítulo 8, profundizaremos en los patrones de vorticidad observados en la estela tras un ala de sustentación, donde la vorticidad existe inicialmente de forma concentrada dentro de una fina capa de cizalladura, para acabar transformándose en dos vórtices distintos, más o menos axisimétricos, todos ellos envueltos por un flujo casi irrotacional.
2. En los modelos teóricos de tales fenómenos de flujo, estas estructuras vorticales se simplifican a menudo como concentraciones matemáticamente delgadas, con las capas de cizalladura conceptualizadas como láminas de vórtice y los vórtices como vórtices lineales. A pesar de que la vorticidad se concentra en regiones de área transversal cero, estas entidades idealizadas presentan flujos de vorticidad finitos. En consecuencia, la distribución de vorticidad en la ubicación de la lámina o la línea debe ser singular o infinita.
3. Cuando se trata de una lámina de vórtice, el proceso suele implicar la integración a través de una anchura finita de la lámina para determinar un flujo de vorticidad finito, aunque el área integrada siga siendo cero debido a la naturaleza infinitesimal de la lámina. Por otro lado, para un vórtice lineal, una sola integración a través de la línea (esencialmente un punto) es adecuada para calcular un flujo finito. Aunque existe un marco matemático formal que proporciona un tratamiento riguroso de estos conceptos, no es necesaria una exploración detallada de esta teoría para una comprensión completa de los principios subyacentes.
El vórtice de línea y el filamento de vórtice, aunque puedan parecer similares a primera vista, presentan distinciones significativas. En primer lugar, el vórtice de línea tiene un área de sección transversal nula, mientras que el filamento tiene un área de sección transversal infinitesimalmente pequeña. Además, el flujo de vorticidad de un vórtice de línea es finito, mientras que el de un filamento es infinitesimal. Es importante evitar confundir un vórtice de línea, que representa una distribución singular de vorticidad, con una línea de vórtice, que es meramente paralela al vector de vorticidad y se encuentra típicamente en campos donde la vorticidad se distribuye de forma continua.
Un vórtice puntual, también conocido como vórtice de línea en un flujo plano 2D, se caracteriza por una línea recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones perpendiculares al plano 2D. Esta configuración da la apariencia de un único punto dentro del plano 2D. El vórtice de línea es una de las singularidades fundamentales que pueden utilizarse como componente fundamental en la construcción de soluciones de la teoría del flujo potencial, como se explica en la sección 3.10. Sin embargo, en flujos más complejos, el vórtice de línea puede presentar curvatura, lo que supone un desafío único. En cualquier punto dado a lo largo de un vórtice de línea curvado, donde la curvatura es distinta de cero, la velocidad del fluido perpendicular al vórtice se vuelve infinita. En consecuencia, determinar una velocidad realista a la que la línea del vórtice será transportada por el flujo resulta imposible. En los flujos reales, la vorticidad se distribuye de forma continua y posee una magnitud finita, lo que elimina la aparición de velocidades infinitas.
Asociar el campo de velocidades con las concentraciones de vorticidad
El concepto de vorticidad altamente concentrada se simplifica frecuentemente como una lámina de vórtice o un vórtice lineal. Utilizando el teorema de Stokes, podemos analizar ahora las distribuciones de velocidad en las inmediaciones que se requieren para que se correspondan con estas distribuciones de vorticidad idealizadas.
La figura anterior, etiquetada como (a), ilustra una hoja de vórtice en un flujo 2D. Aplicando el teorema de Stokes a un contorno cerrado que encierra una sección corta de la lámina, resulta evidente que existe un salto en la magnitud de la velocidad a través de la lámina, que es igual a la fuerza de vorticidad local o a la vorticidad por unidad de distancia a lo largo de la lámina en la dirección perpendicular al vector de vorticidad. En este caso particular 2D, el vector de vorticidad es perpendicular al plano del papel, y la distancia a lo largo de la hoja se mide en la dirección del flujo. El flujo físico asociado a esta lámina de vórtices idealizada es una capa de cizalladura en la que el salto de velocidad se extiende a lo largo de un espesor finito, como se representa en la figura etiquetada como (b).
En el caso de un flujo tridimensional, el salto de velocidad a través de una lámina de vórtices, en sentido vectorial, debe seguir siendo perpendicular al vector de vorticidad. En aerodinámica, es frecuente encontrarse con una lámina sin salto en la magnitud de la velocidad, sólo en la dirección. En tales casos, el salto en el vector de velocidad es perpendicular al vector de vorticidad, que es paralelo a la dirección de la media de los vectores de velocidad en los dos lados de la lámina, como se ilustra en la figura etiquetada como (c). Puede demostrarse que si el vector de vorticidad no fuera paralelo a la media de los dos vectores de velocidad, tendría que producirse un salto en la magnitud de la velocidad.
Las láminas de vórtice parecidas a la representada en la figura etiquetada como (c) se modelan con frecuencia en la teoría del flujo potencial tridimensional. De la definición del potencial de velocidad se desprende que el salto en el vector de velocidad requiere también un salto en el potencial de velocidad.
Si una capa de cizalladura física es efectivamente delgada, lo que significa que los cambios de flujo a través de la capa se producen mucho más rápido que los cambios en otras direcciones, el salto de velocidad será aproximadamente igual en magnitud y perpendicular a la integral de la vorticidad a través de la capa.
¿Es la inducción de la velocidad por la vorticidad una falacia?
Todo estudiante de ingeniería se encuentra inevitablemente con la ley de Biot-Savart durante sus estudios universitarios, ya sea en mecánica de fluidos o en electromagnetismo clásico. Esta ley sugiere que la comprensión del rizo de un campo vectorial en un punto específico permite comprender el comportamiento del campo vectorial en un punto diferente.
A pesar de su atractivo inicial, el concepto puede ser engañoso, ya que suele dar lugar a ambigüedades en cuanto a la relación entre causa y efecto. Además, la posibilidad de convertir las ecuaciones de Navier-Stokes de la formulación de velocidad a la de vorticidad y la utilización de modelos de flujo potencial para introducir obstáculos en el flujo apoyan aún más la creencia generalizada de que la vorticidad causa la velocidad, como sugiere el principio de Biot-Savart.
La falacia reside aquí. En ausencia de fuerzas gravitatorias o electromagnéticas, no hay acción a distancia en los flujos de fluidos ordinarios. Expresar las ecuaciones de distintas formas y referirse a la ley de Biot-Savart como una relación de cálculo entre un campo vectorial y su rizo no implica que un vórtice en el punto A pueda inducir una velocidad en un punto distante B. Si bien es cierto que una relación matemática como la ley de Biot-Savart nos permite deducir detalles cuantitativos y cualitativos sobre el campo de velocidades en un punto distante, en mecánica de fluidos no describe con exactitud la física. Por lo tanto, la relación directa de causa y efecto es algo engañosa en este contexto en comparación con su homóloga en electromagnetismo clásico.
La ley de Biot-Savart resulta beneficiosa para los cálculos cuantitativos. Sin embargo, el concepto cualitativo de que comprender la vorticidad en un punto concreto nos permite deducir información sobre la velocidad en otro punto mantiene su propio valor. Este concepto es una de las herramientas más influyentes para comprender los campos de flujo. Sin embargo, a pesar de su potencia, también puede ser un arma de doble filo, ya que a menudo provoca confusión a la hora de determinar la causa y el efecto.
La cuestión surge debido a que la vorticidad se considera la «entrada» mientras que la velocidad se ve como la «salida», lo que lleva a la práctica común de referirse a la velocidad deducida de la vorticidad como velocidad inducida. Esto puede llevar fácilmente a creer que la vorticidad «causa» de algún modo la velocidad que «determina». Sin embargo, esta línea de pensamiento es incorrecta. En ausencia de fuerzas corporales gravitatorias o electromagnéticas significativas, no hay acción a distancia en los flujos de fluidos regulares. Las fuerzas significativas sólo se transmiten a través del contacto directo entre parcelas de fluido vecinas.
Por lo tanto, un vórtice en el punto A no puede «causar» directamente una velocidad en un punto B distante, y términos como «causado por», «inducido» e incluso «debido a» tergiversan la física implicada. Es crucial recordar que Biot-Savart es simplemente una relación matemática entre un campo vectorial y su rizo, y en mecánica de fluidos, no indica una relación física directa de causa y efecto. Este punto es de suma importancia y, sin embargo, no se ha enfatizado lo suficiente en la literatura. Resulta intrigante explorar las perspectivas de otros autores sobre este asunto. Los aerodinamistas han contribuido a la confusión utilizando liberalmente términos como «velocidad inducida» e «inducción». Estos términos tienen su origen en otro campo, la electromagnética clásica, donde se aplica la ley de Biot-Savart y se afirma que el campo magnético es «inducido» por la corriente eléctrica. En electromagnética, esta terminología es adecuada, ya que se cree que se produce una auténtica acción a distancia, lo que hace que el término «inducción» se ajuste físicamente. Sin embargo, en mecánica de fluidos, no existe una conexión causal directa. Entendemos que la vorticidad se genera, se transporta y se difunde, lo que explica por qué existe la vorticidad en nuestros campos de flujo: sirve más como indicación del patrón general de flujo que como causa del mismo.
Para dilucidar la presencia de un patrón de flujo, es necesario hacer referencia a la física real implicada, concretamente al equilibrio de fuerzas dentro de los elementos del fluido en un lugar determinado.