Analyse mathématique de la dérivée matérielle des intégrales de volume et de surface

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Pour analyser la dérivée matérielle des intégrales de volume et de surface, nous commencerons par définir la dérivée matérielle, également appelée dérivée substantielle. Ensuite, nous examinerons son application aux intégrales de volume et de surface en utilisant la notation mathématique et les concepts du calcul vectoriel.

La dérivée matérielle

La dérivée D/Dt, également connue sous le nom de dérivée matérielle du temps, est en fait la dérivée temporelle de la quantité B pour un point matériel fixe. Les points matériels sont souvent définis par le vecteur position initial à t = 0. Le vecteur position du point matériel à tout moment t &gt ; 0 est donné par :

Toute variable d’écoulement définie pour un point matériel arbitraire x0 sera définie par B(x₀,t).
La description spatiale correspondante sera donc B[x(x₀,t),t].
D’après la description ci-dessus, nous pouvons dire qu’il existe deux types de dérivées temporelles :

La relation entre les deux dérivées peut être obtenue par l’application de la règle de la chaîne :

Les dérivées temporelles à des emplacements spatiaux fixes sont appelées dérivées temporelles eulériennes, et celles prises en un point matériel fixe sont appelées dérivées lagrangiennes.

Passons maintenant à la dérivée matérielle des intégrales de volume, c’est-à-dire au théorème de transport de Reynold, qui stipule que :

Le théorème ci-dessus n’est rien d’autre qu’une extension de la règle de différenciation de Leibnitz lorsque les limites de l’intégrale elle-même dépendent du temps.

En appliquant la définition habituelle de la dérivée comme la limite du « delta t » tendant vers 0 au côté gauche de l’équation ci-dessus, nous obtenons :

Dans l’équation ci-dessus, nous ajoutons et soustrayons le terme ci-dessous :

L’équation devient alors :

Le deuxième terme est juste :

Et le premier mandat peut être réécrit comme suit :

Ce qui montre qu’il s’agit de l’intégrale de B

Pour trouver l’intégrale ci-dessus, tout élément différentiel dA_m de V_m

Où A_m

Par conséquent, la forme finale de l’équation Théorème de transport de Reynolds sera :

L’étape suivante peut être franchie en appliquant le théorème de la divergence de Gauss à l’intégrale de l’aire du côté droit de l’équation ci-dessus pour obtenir la forme familière de la forme différentielle équivalente de l’équation ci-dessus.

Prenons le cas d’une application simple où nous avons la densité ρ(x ,t) au lieu de la variable d’écoulement B(x, t). Nous obtenons alors, par application du théorème de la divergence de Gauss, la forme différentielle finale de la conservation de la masse :

Dérivée matérielle de l’intégrale de surface :

Dans cette section, nous allons appliquer les mêmes concepts que ceux développés ci-dessus pour le cas de la dérivée matérielle des intégrales de volume afin d’obtenir les équations régissant l’équation de diffusion de la concentration de surfactant à l’interface de deux milieux.
Nous utiliserons ici le principe de conservation de la concentration en agents de surface sur une surface matérielle en supposant l’absence de sources ou de puits, que ce soit en raison de réactions chimiques ou d’un flux vers ou depuis les liquides environnants en phase de masse. Nous obtiendrons donc

Où D/Dt est la dérivée du matériau pour les points de l’interface et S_m

De nouveau, en suivant les mêmes étapes que celles décrites dans la section ci-dessus du théorème de transport de Reynold pour le volume de matière et en gardant à l’esprit de remplacer les intégrales de volume par des intégrales de surface et les intégrales de surface par des intégrales de contour, nous pouvons obtenir une équation de diffusion de la concentration de surfactant sur une interface de deux milieux :

Où u = vitesse des particules de surfactant le long de la surface de l’interface
Γ = concentration de l’agent de surface sur l’interface
n_c = vecteur unitaire normal au contour de l’élément de surface
n_t = vecteur unitaire tangent au contour de l’élément de surface
n = vecteur unitaire normal à la surface de l’interface
C_m

Maintenant n_c peut être réécrite comme n_c = n_t x n.

Ainsi, le deuxième terme du côté droit de l’équation ci-dessus peut être réécrit comme suit :

Où dl = vecteur tangentiel élémentaire le long du contour de l’élément de surface.

Nous pouvons donc voir que l’intégrande à l’intérieur de l’intégrale n’est rien d’autre qu’un triple produit scalaire de trois vecteurs Γu, dl et n qui est [Γu dl n].

En utilisant la propriété du triple produit scalaire :

En appliquant le théorème de Stokes sur un contour fermé, nous pouvons convertir l’intégrale de contour en intégrale de surface délimitée par le contour, c’est-à-dire :

En évaluant le terme contenant le triple produit vectoriel, l’intégrale de contour ci-dessus peut être réécrite comme suit :

Nous pouvons donc définir un nouvel opérateur dans le plan de l’interface comme suit :

Par conséquent, l’intégrale de contour du côté droit de la dérivée matérielle de l’intégrale de surface peut être écrite comme suit :

Par conséquent, la toute première équation de cette section pour l’équation de la dérivée matérielle devient :

Ou,

Ainsi, la forme différentielle sera :

Où :

Si nous décomposons la vitesse de l’agent de surface en deux directions mutuellement perpendiculaires, c’est-à-dire le long de la surface de l’interface et perpendiculairement à la surface de l’interface, nous obtenons :

L’équation différentielle ci-dessus devient donc

Par conséquent, en l’absence de diffusion, nous pouvons voir qu’il y a deux termes contribuant au changement de Γ, l’un est la convection simple avec la vitesse de l’interface us, et le second terme connu sous le nom de terme de dilution. Si nous ajoutons une contribution à la diffusion, compte tenu du fait que le terme de diffusion est dû au mouvement brownien et peut être exprimé comme un gradient de concentration de surfactant par analogie avec le gradient de température dans le cas d’une conduction thermique diffusive, la forme finale de l’équation de diffusion de la concentration de surfactant avec le terme diffusif sera la suivante :

Essentiellement, cette équation peut maintenant être utilisée dans une variété de cas comme l’explication du mouvement des particules de camphre à la surface de l’eau, etc.

Conclusion :

L’analyse mathématique de la dérivée matérielle des intégrales de volume et de surface permet de mieux comprendre l’évolution des grandeurs physiques dans un fluide en mouvement. En examinant les changements temporels des intégrales de volume et de surface des champs scalaires ou vectoriels, nous pouvons mieux comprendre la dynamique et le comportement des systèmes d’écoulement des fluides.

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