Conservation de l’énergie, relations constitutives et conditions limites

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Conservation de l’énergie

La première loi de la thermodynamique, connue sous le nom de principe de conservation de l’énergie, stipule que la variation de l’énergie stockée dans une parcelle de fluide lagrangien est égale à la vitesse à laquelle de l’énergie lui est ajoutée à partir de sources externes, telles que la chaleur ou le travail mécanique. Pour un étudiant en thermodynamique élémentaire, deux aspects de ce principe peuvent être nouveaux. Premièrement, le mouvement de la parcelle de fluide joue un rôle important dans le bilan énergétique global, et l’énergie cinétique globale de la parcelle doit donc être considérée comme l’une des formes d’énergie stockée. Deuxièmement, il est important de reconnaître que non seulement la pression, mais aussi les forces visqueuses, peuvent contribuer à l’ajout d’un travail mécanique à l’énergie du système.

Le transfert de chaleur à l’intérieur d’une parcelle peut se faire par deux mécanismes principaux : le rayonnement électromagnétique et la conduction moléculaire. Le rayonnement électromagnétique implique l’absorption ou l’émission d’énergie à l’intérieur de la parcelle, tandis que la conduction moléculaire fait référence au transfert de chaleur à travers les limites de la parcelle. Il est important de noter que les effets du rayonnement sont proportionnels au volume, ce que l’on appelle l’effet « corps », tandis que les effets de la conduction sont liés à la surface. En aérodynamique, les effets de surface sont généralement plus importants que les effets de corps. Le travail mécanique effectué sur la parcelle est réalisé par les mêmes forces que celles impliquées dans la conservation de la quantité de mouvement. En aérodynamique, les forces externes du corps sont souvent négligeables et l’accent est mis sur les forces exercées par les parcelles voisines.
Cependant, l’impact des contraintes internes des fluides sur la conservation de l’énergie est plus complexe que sur la conservation de la quantité de mouvement. Alors que la conservation de la quantité de mouvement ne prend en compte que la force nette exercée sur la parcelle, la conservation de l’énergie tient également compte de la force nette agissant sur la distance parcourue par le centre de masse de la parcelle, contribuant ainsi à modifier son énergie cinétique globale.

Cependant, d’autres facteurs doivent être pris en compte. Si le colis subit une déformation, qu’elle soit volumétrique ou en cisaillement, certaines parties de la limite du colis se déplaceront par rapport à son centre de masse. Ce déplacement peut entraîner un travail important sur la parcelle. En outre, la pression exercée sur la parcelle, par compression ou expansion, peut entraîner des effets de chauffage ou de refroidissement. En outre, la parcelle subit de la chaleur en raison des contraintes visqueuses, un phénomène connu sous le nom de dissipation visqueuse.

La turbulence présente des considérations intrigantes en ce qui concerne la conservation de l’énergie. Les écoulements turbulents sont généralement analysés à l’aide de modèles théoriques qui se concentrent sur les moyennes temporelles, ce qui permet de lisser les mouvements turbulents instables. Dans le champ d’écoulement moyenné dans le temps, l’énergie cinétique associée à la turbulence devient une forme d’énergie importante qui doit être prise en compte. Néanmoins, dans de nombreux scénarios d’écoulement, la génération et la dissipation de l’énergie cinétique de la turbulence (TKE) sont approximativement équilibrées localement, ce qui permet de négliger la TKE :

1. Conservation de l’énergie: La première loi de la thermodynamique, qui stipule que l’énergie ne peut être ni créée ni détruite, mais seulement transformée d’une forme à une autre, est examinée dans le contexte des parcelles fluides. Il s’agit notamment de prendre en compte les changements d’énergie cinétique, d’énergie potentielle et d’énergie interne au sein de la parcelle.
2. Formes d’énergie: Les différentes formes d’énergie à l’intérieur d’une parcelle de fluide sont détaillées, y compris l’énergie cinétique globale, l’énergie interne (affectée par la pression et les forces visqueuses) et les mécanismes de transfert de chaleur tels que le rayonnement électromagnétique et la conduction moléculaire.
3. Travail mécanique: Le rôle du travail mécanique sur une parcelle de fluide est expliqué, en notant qu’il peut être effectué à la fois par des forces externes (telles que la pression) et des contraintes internes au fluide, qui peuvent provenir de parcelles voisines ou de la déformation de la parcelle elle-même.
4. Effets de déformation et de compression: L’impact de la déformation de la parcelle et des changements de pression sur le bilan énergétique est discuté, soulignant comment ces facteurs peuvent conduire à un travail substantiel sur la parcelle et influencer son état thermique.
5. Dissipation visqueuse: Le phénomène de dissipation visqueuse, où l’énergie mécanique est convertie en chaleur en raison de la viscosité du fluide, est mentionné comme un facteur contribuant aux considérations de conservation de l’énergie.
6. Turbulences: Les écoulements turbulents introduisent des complexités supplémentaires dans la conservation de l’énergie, en particulier en ce qui concerne la génération et la dissipation de l’énergie cinétique de la turbulence (TKE). Bien que l’énergie cinétique des turbulences soit importante dans les écoulements turbulents, elle peut être négligée dans certains scénarios où les taux de génération et de dissipation sont à peu près équilibrés.

Dans l’ensemble, nous essayons d’expliquer comment les principes de la thermodynamique s’appliquent aux parcelles de fluide, en particulier dans les contextes aérodynamiques, et de mettre en évidence les différents facteurs qui doivent être pris en compte lors de l’analyse de la conservation de l’énergie dans de tels systèmes.

Relation entre diverses grandeurs physiques et les conditions aux limites

Nous venons d’examiner les lois fondamentales de conservation dans le référentiel lagrangien. Que ces lois soient appliquées dans le cadre lagrangien ou eulérien, elles donnent lieu à cinq équations et nous sommes confrontés à huit inconnues. Ces inconnues consistent en trois coordonnées spatiales (dans le cadre lagrangien) ou composantes de vitesse (dans le cadre eulérien), ainsi que cinq propriétés matérielles et thermodynamiques locales : la pression, la densité, la température et les coefficients de viscosité moléculaire et de conductivité thermique. Pour définir complètement le système, trois relations constitutives supplémentaires sont nécessaires. En aérodynamique, ces relations comprennent généralement l’équation d’état des gaz idéaux, qui met en corrélation la pression, la densité et la température, la loi de Sutherland, qui lie la viscosité à la seule température, et la relation de Prandtl pour la conductivité thermique.

Le système complet de Navier-Stokes (NS) englobe toute la physique des fluides internes nécessaire à notre analyse. En ce qui concerne les limites de notre domaine d’écoulement, les conditions aux limites spécifiques que nous devons appliquer dépendent du type de limite en question. Dans le cas des limites d’écoulement, il n’est pas nécessaire d’invoquer une physique supplémentaire, car les équations NS elles-mêmes dictent les conditions limites autorisées ou obligatoires, en fonction du scénario d’écoulement. Toutefois, lorsqu’il s’agit de frontières qui interfèrent avec un autre matériau, communément appelées « murs », des considérations physiques supplémentaires sont nécessaires pour définir précisément les conditions aux frontières.

Les conditions aux limites spécifient le comportement d’un système à ses limites ou interfaces. Elles sont essentielles pour résoudre les équations différentielles qui régissent les phénomènes physiques et sont souvent utilisées pour modéliser les interactions entre différents matériaux ou régions au sein d’un système. Voici quelques types courants de conditions aux limites :

1. Conditions limites de Dirichlet: Elles spécifient les valeurs des variables dépendantes (par exemple, la température, la vitesse) aux limites d’un domaine.
2. Conditions aux limites de Neumann: Elles spécifient les gradients ou les flux des variables dépendantes aux limites, plutôt que leurs valeurs absolues.
3. Conditions aux limites de Robin: Également connues sous le nom de conditions aux limites mixtes, ces conditions spécifient une combinaison de valeurs prescrites et de gradients aux limites.
4. Conditions aux limites périodiques: Ces conditions sont utilisées pour modéliser des systèmes où les limites s’enroulent pour former un domaine périodique, comme dans les simulations de structures périodiques ou d’écoulements de fluides dans des canaux.
5. Conditions d’interface: Lors de la modélisation de l’interaction entre différents matériaux ou phases, les conditions d’interface spécifient comment des quantités telles que la contrainte, le déplacement ou le flux de chaleur sont liées à travers l’interface.

Les relations constitutives décrivent la relation entre diverses quantités physiques au sein d’un matériau ou d’un fluide. Ces relations dépendent généralement des propriétés du matériau et peuvent varier en fonction des conditions auxquelles le matériau ou le fluide est soumis. Parmi les relations constitutives les plus courantes, on peut citer

1. Relations contrainte-déformation: En mécanique des solides, ces relations décrivent comment la contrainte (force par unité de surface) est liée à la déformation dans un matériau. Des matériaux différents présentent des comportements de contrainte-déformation différents, tels que des réponses élastiques, plastiques ou viscoélastiques.
2. Relations contrainte-déformation des fluides: Pour les fluides, les relations constitutives décrivent souvent comment la contrainte (contrainte de cisaillement, contrainte normale) est liée à la vitesse de déformation. Ces relations peuvent faire intervenir des paramètres tels que la viscosité pour les fluides newtoniens, ou des modèles plus complexes pour les fluides non newtoniens.
3. Relations thermodynamiques: En thermodynamique, les relations constitutives décrivent comment les propriétés telles que la pression, la température et la densité sont liées dans différentes conditions. Les équations d’état, telles que la loi des gaz idéaux ou des formulations plus complexes pour les gaz réels, sont des exemples de relations constitutives thermodynamiques.
4. Relations électromagnétiques: En science des matériaux et en électromagnétisme, les relations constitutives décrivent comment la conductivité électrique, la permittivité et la perméabilité sont liées aux champs électriques et magnétiques.

Les caractéristiques mathématiques des équations

Le système d’équations présenté comprend cinq EDP de champ et trois relations constitutives algébriques, soit un total de huit inconnues. Ces équations présentent une nature mixte hyperbolique/elliptique dans l’espace, ce qui nécessite des conditions aux limites pour une solution sur l’ensemble du domaine. Alors que les solutions numériques peuvent progresser dans le temps, la progression spatiale n’est pas possible. En raison de la non-linéarité des équations, les solutions ne peuvent généralement pas être obtenues par superposition. Même une solution à flux constant nécessite une méthode allant au-delà d’une simple inversion de matrice, telle que la marche temporelle ou les processus itératifs. Ces complexités seront examinées plus en détail dans le contexte des méthodes CFD. Les solutions aux équations NS ne sont pas toujours uniques, en particulier lorsque plusieurs solutions d’écoulement permanent correspondent à la même géométrie de corps. Bien que des solutions sans turbulence existent théoriquement, elles sont souvent dynamiquement instables à des nombres de Reynolds élevés et sont rarement observées dans la nature.

En raison des difficultés susmentionnées, la recherche de solutions analytiques aux équations NS n’est possible que pour un nombre limité de cas simples aux dimensions réduites et aux propriétés de fluide constantes. Même dans ces cas, les solutions ne sont applicables que dans certaines conditions limites où les effets de l’inertie peuvent être ignorés. Par exemple, il existe des solutions unidimensionnelles pour un écoulement stable et entièrement développé dans des conduits ou des tuyaux plans à deux dimensions ou à section circulaire, ainsi que des solutions bidimensionnelles pour un écoulement autour d’un cylindre ou d’une sphère circulaire à des nombres de Reynolds peu élevés. Dans les situations impliquant des nombres de Reynolds élevés, des solutions approximatives aux équations NS bidimensionnelles peuvent être obtenues en utilisant la théorie de la couche limite, qui ne nécessite que la résolution d’une équation différentielle ordinaire (EDE) unidimensionnelle. Cependant, pour des écoulements plus généraux, les solutions numériques sont la seule option viable, à moins que des hypothèses simplificatrices puissent être formulées.

Le cadre eulérien

Dans le cadre eulérien, l’observation se concentre sur le comportement du fluide lorsqu’il passe devant des points spécifiques à l’intérieur d’un cadre spatial désigné. Au lieu de surveiller les changements subis par des portions fixes de fluide, comme c’est le cas dans le cadre lagrangien, l’accent est mis sur l’observation du comportement à l’intérieur d’éléments de volume infinitésimaux intégrés dans le système de coordonnées spatiales. Dans le cadre eulérien, ces éléments de volume sont traversés par un flux continu de fluide qui passe au-dessus de leurs limites. Ce flux reflète le mouvement observé dans le cadre lagrangien. Le changement de perspective nécessite un traitement différent du processus de convection lors de l’application des lois de conservation. Dans l’approche lagrangienne, la convection est implicitement prise en compte par la définition de parcelles de fluide fixes, sans qu’aucun terme des équations de conservation ne tienne compte de la convection à travers les limites des parcelles en raison de l’absence d’un tel mouvement par définition. En revanche, dans l’approche eulérienne, où le flux de fluide à travers les limites des éléments de volume est courant, le processus de convection doit être explicitement inclus dans les équations sous forme de termes supplémentaires.

D’un point de vue mathématique, les termes supplémentaires apparaissent lorsque nous remplaçons les dérivées temporelles dans l’équation de la
équations lagrangiennes par leurs équivalents eulériens, en utilisant l’équation :

Les équations eulériennes intègrent des termes qui tiennent compte des effets de convection, qui découlent du terme V – ∇ du côté droit. Pour illustrer ce concept, examinons la composante x de la quantité de mouvement d’une parcelle lagrangienne d’un volume dV, notée ρ udV. En appliquant l’équation susmentionnée à cette quantité spécifique, nous pouvons mieux comprendre ses implications :

Le terme apparaissant en deuxième position sur le côté droit de l’équation symbolise la convection de la quantité de mouvement dans l’équation eulérienne du moment x sous sa forme la plus élémentaire. Une représentation alternative fréquemment rencontrée dans les ouvrages spécialisés consiste à déplacer la densité à l’extérieur de la dérivée, ce qui permet d’établir un lien plus clair avec l’accélération lagrangienne Du/Dt.

Pour obtenir cette forme alternative, il est nécessaire d’invoquer le principe de conservation de la masse qui, dans sa formulation lagrangienne, affirme que la masse d’une parcelle lagrangienne reste constante dans le temps. Si nous utilisons à nouveau la définition de la dérivée substantielle, nous obtenons :

Le processus de convection en détail

Approfondissons maintenant le processus de convection. C’est un fait bien établi que la convection est réciproque à travers une frontière partagée entre deux parcelles. Ce concept peut être comparé à la troisième loi de Newton en mécanique, qui stipule que les forces exercées par deux corps en contact doivent être égales et opposées. Cet équilibre est nécessaire parce qu’il n’y a pas de mécanisme à l’interface pour soutenir une force déséquilibrée. Lorsque l’on considère deux parcelles de fluide partageant une frontière, il n’existe aucun mécanisme permettant de modifier le flux d’une quantité conservée, de sorte que le flux quittant une parcelle doit être équivalent au flux entrant dans l’autre. Dans notre formulation générale de Navier-Stokes, nous n’avons pas besoin d’imposer explicitement cette réciprocité car elle est intrinsèquement maintenue par la continuité de toutes les variables de l’écoulement. Cependant, dans les théories spécialisées impliquant des discontinuités, telles que la modélisation des chocs dans les solutions inviscides, des équations supplémentaires sont nécessaires pour s’assurer que les relations de conservation sont maintenues à travers la discontinuité.

Les termes de convection dans les équations de conservation ont une interprétation physique claire. Lorsqu’il y a un déséquilibre entre le taux de convection à l’intérieur d’un élément de volume et le taux de convection à l’extérieur, la convection agit comme une source de la quantité conservée et doit être prise en compte dans la loi de conservation. Ces termes indiquent le taux global auquel une quantité conservée est transportée à l’intérieur ou à l’extérieur d’un élément de volume. Dans le cas de la conservation de la masse, cette convection nette est le seul facteur contribuant au changement de la masse totale à l’intérieur de l’élément au fil du temps, en particulier dans des conditions d’écoulement permanent où le flux de masse entrant et sortant de l’élément doit être égal. Ce principe s’étend au-delà des parcelles locales à des volumes plus importants, tels qu’un tube à écoulement régulier, où le flux de masse à travers toute surface coupant le tube doit rester constant. La convection nette joue un rôle crucial dans le maintien de l’équilibre dans la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie, mais il est essentiel de prendre également en compte les effets des forces externes agissant sur le fluide (quantité de mouvement et énergie) et la conduction de la chaleur.

Les bilans de quantité de mouvement et d’énergie dans notre formulation peuvent être influencés par des sources externes, telles que les forces gravitationnelles ou électromagnétiques agissant sur le fluide, ainsi que le transfert de chaleur par absorption et émission de rayonnement. Ces contributions peuvent être facilement prises en compte. En outre, les échanges de force ou d’énergie entre des parcelles de fluide qui ne sont pas en contact direct les unes avec les autres, connus sous le nom d’effets internes non locaux, peuvent également affecter les équilibres. Toutefois, en aérodynamique, ces effets externes et ces effets internes non locaux sont généralement considérés comme négligeables. Par conséquent, les seuls effets qui doivent être représentés dans nos équations sont ceux transmis par le contact direct entre les colis. Cela inclut les forces inter-parcellaires représentées par les contraintes internes apparentes et les flux de chaleur dus à la conduction, qui sont échangés entre les parcelles de fluide adjacentes. Il est important de noter que ces quantités ne sont pas physiquement liées au matériau fluide et ne sont pas transportées avec lui. Elles ne sont pas affectées par les changements de vitesse de notre cadre de référence et apparaissent identiques dans les cadres eulérien et lagrangien.

Dans le scénario typique observé en aérodynamique, la principale transmission des forces à l’intérieur du fluide se fait entre les parcelles de fluide voisines. De même, les effets de convection dans un cadre eulérien opèrent uniquement entre des parcelles eulériennes adjacentes. Par conséquent, dans nos écoulements aérodynamiques conventionnels, il n’existe aucun mécanisme pour une quelconque forme d’échange de « force à distance », ce qui exclut l' »induction » à distance ou des effets similaires. Bien que la loi de Biot-Savart puisse suggérer un effet d’induction à distance, il est erroné de percevoir la vitesse en un point comme étant « induite » ou « causée » par la vorticité en un autre point. Ceci n’est qu’une illustration des défis associés à l’attribution de la cause et de l’effet dans le domaine de la mécanique des fluides.

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