Les complexités du champ de vorticité

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Nous disposons d’une série de concepts qui s’avèrent utiles pour étudier la distribution de la vorticité dans le champ d’écoulement. Dans un premier temps, nous nous concentrerons sur les concepts applicables au scénario réaliste typique dans lequel la vorticité est distribuée de manière continue.
Dans toute région où la vorticité n’est pas égale à zéro, il est possible d’établir une ligne de tourbillon comme une courbe spatiale parallèle au vecteur de vorticité. Cela s’apparente à la façon dont une ligne de courant s’aligne sur le vecteur vitesse. Par conséquent, dans le champ de vorticité, une ligne de vortex ressemble à une ligne de courant dans le champ de vitesse. Tout comme nous avons élargi la notion de ligne de courant pour englober un tube de courant, nous pouvons également élargir le concept de ligne de vortex pour englober un tube de vortex.

Le flux de vorticité à travers la frontière d’un tube tourbillonnaire est intrinsèquement nul, conformément à sa définition. De plus, la divergence de la courbure d’un vecteur, en particulier la vitesse (dont la courbure représente la vorticité), est nulle en vertu de l’identité vectorielle. Par conséquent, le flux reste constant sur toute section transversale du tube, quelle que soit sa position sur la longueur.

La constance du flux de vorticité à l’intérieur d’un tube tourbillonnaire régit les modifications de l’ampleur de la vorticité qui doivent accompagner l’étirement du tourbillon. Lorsque la section transversale d’un tube tourbillonnaire diminue, que ce soit au fil du temps ou sur sa longueur, la force de la vorticité (l’ampleur du vecteur de vorticité) doit s’intensifier. Dans le cas d’un segment du tube tourbillonnaire contenant une quantité fixe de fluide, une réduction de la section transversale nécessite généralement une augmentation de la longueur, ou un étirement. Cet étirement est particulièrement nécessaire si la densité du fluide reste constante, comme nous le verrons plus loin en relation avec la conservation de la masse. Par conséquent, l’étirement d’un tube tourbillonnaire augmente généralement l’ampleur de la vorticité locale.

La constance du flux de vorticité dans un tube tourbillonnaire impose la nécessité de modifier l’ampleur de la vorticité lorsque le tourbillon s’étire. Lorsque la section transversale d’un tube tourbillonnaire diminue, que ce soit au fil du temps ou sur sa longueur, l’intensité de la vorticité (l’ampleur du vecteur de vorticité) doit augmenter. Afin d’accommoder une section transversale réduite dans une quantité spécifique de fluide, une augmentation de la longueur ou un étirement est généralement nécessaire.

Un filament tourbillonnaire est un tube tourbillonnaire mince dont la dimension maximale de la section transversale est extrêmement petite. La surface de la section transversale d’un filament tourbillonnaire est également infiniment petite, mais on suppose qu’elle varie sur la longueur du filament, ce qui lui permet de répondre aux critères d’un tube tourbillonnaire. Dans le cas d’un filament tourbillonnaire, le flux de vorticité à travers une section transversale est égal au produit de l’amplitude de la vorticité et de la surface de la section transversale, connu sous le nom d’intensité du filament. Il est important de noter que cette définition de l’intensité, en tant que flux de vorticité à travers une surface infinitésimale, diffère d’autres concepts familiers d’intensité, tels que l’intensité d’un faisceau lumineux, qui est définie comme le flux d’énergie par unité de surface. Le deuxième théorème de Helmholtz stipule que l’intensité d’un filament tourbillonnaire reste constante sur toute sa longueur. Cette conservation de l’intensité implique qu’un filament tourbillonnaire ne peut pas se terminer à l’intérieur du domaine fluide, mais doit soit former une boucle fermée (boucle tourbillonnaire), soit se terminer à la limite du domaine.

En fonction des caractéristiques de la frontière, des restrictions seront imposées sur les manières possibles dont les filaments de tourbillon ou les lignes de tourbillon peuvent se terminer à cet endroit. Examinons d’abord le scénario unique d’un filament tourbillonnaire individuel enfermé dans un écoulement irrotationnel. Si l’écoulement reste constant et que la frontière représente une interface à travers laquelle le fluide ne peut pas passer, le filament tourbillonnaire ne peut que couper la frontière de manière perpendiculaire.
Cette exigence découle de la nécessité d’avoir une configuration d’écoulement principalement circulaire à proximité du filament, dans des plans perpendiculaires au filament lui-même. Tout écart par rapport à cette orientation normale contredirait la condition d’absence d’écoulement à travers la frontière.
En outre, si la frontière est une surface solide fixe soumise à une condition de non-glissement, les composantes de la vitesse dans les plans perpendiculaires au filament doivent diminuer à la surface, tandis que l’ampleur de la vorticité doit s’approcher de zéro. Par conséquent, un filament tourbillonnaire isolé est incapable de se terminer sur une surface solide caractérisée par une condition de non-glissement.

Dans le cas d’une vorticité distribuée, les lignes tourbillonnaires peuvent croiser une frontière sans écoulement avec glissement, et l’intersection peut ne pas se faire dans la direction normale. Inversement, sur une surface stationnaire sans glissement, la situation est plus restreinte. Comme la vitesse tangentielle est nulle à la surface, la composante de vorticité normale à la surface doit également être nulle partout. Par conséquent, si l’amplitude de la vorticité n’est pas nulle, les lignes tourbillonnaires doivent être tangentes à la surface. Ce principe s’applique généralement à l’écoulement visqueux autour d’un objet stationnaire, à l’exception des points singuliers isolés de séparation ou d’attache où l’amplitude de la vorticité sur la surface est nulle. Dans ce cas, une ligne de tourbillon peut couper la surface normalement, mais la composante normale de la vorticité doit toujours s’approcher de zéro au point d’intersection. Par conséquent, les lignes de tourbillon ne peuvent couper une surface sans glissement qu’en des points singuliers isolés. On croit souvent à tort que les lignes de tourbillon ne peuvent pas du tout couper une surface sans glissement, sans tenir compte des exceptions mentionnées ci-dessus.

Il est évident que lorsque les tourbillons s’approchent d’une surface solide sans glissement, sauf en un seul point isolé, les lignes de tourbillon sont obligées de changer de direction pour éviter l’intersection avec la surface. Cette redirection a souvent pour conséquence que les tourbillons contribuent à la vorticité au sein d’une couche limite visqueuse formée sur la surface.

1. Explorons maintenant les constructions théoriques qui ont été conçues pour des représentations idéalisées d’écoulements caractérisés par une vorticité très concentrée. La présence de vorticité concentrée dans des régions spécifiques joue un rôle crucial dans l’analyse de certains écoulements qui seront examinés ultérieurement. Par exemple, au chapitre 8, nous étudierons les modèles de vorticité observés dans le sillage d’une aile de sustentation, où la vorticité existe initialement sous une forme concentrée au sein d’une fine couche de cisaillement, puis se transforme en deux tourbillons distincts, plus ou moins axisymétriques, tous enveloppés d’un écoulement pratiquement irrotationnel.

2. Dans les modèles théoriques de ces phénomènes d’écoulement, ces structures tourbillonnaires sont souvent simplifiées comme des concentrations mathématiquement minces, les couches de cisaillement étant considérées comme des nappes de tourbillons et les tourbillons comme des tourbillons linéaires. Bien que la vorticité soit concentrée dans des régions de section transversale nulle, ces entités idéalisées présentent des flux de vorticité finis. Par conséquent, la distribution de la vorticité à l’emplacement de la feuille ou de la ligne doit être singulière ou infinie.

3. Dans le cas d’une nappe de tourbillons, le processus implique généralement une intégration sur une largeur finie de la nappe afin de déterminer un flux de vorticité fini, même si la surface intégrée reste nulle en raison de la nature infiniment fine de la nappe. En revanche, pour un tourbillon linéaire, une seule intégration sur la ligne (essentiellement un point) suffit pour calculer un flux fini. Bien qu’il existe un cadre mathématique formel qui fournit un traitement rigoureux de ces concepts, une exploration détaillée de cette théorie n’est pas nécessaire pour une compréhension complète des principes sous-jacents.

Le tourbillon linéaire et le filament tourbillonnaire, bien qu’ils semblent similaires à première vue, présentent des différences significatives. Tout d’abord, la section transversale du tourbillon linéaire est nulle, alors que celle du filament est infiniment petite. En outre, le flux de vorticité d’un tourbillon linéaire est fini, alors que celui d’un filament est infinitésimal. Il est important de ne pas confondre un tourbillon linéaire, qui représente une distribution singulière de vorticité, avec une ligne de tourbillon, qui est simplement parallèle au vecteur de vorticité et que l’on trouve généralement dans les champs où la vorticité est distribuée de manière continue.

Un tourbillon ponctuel, également appelé tourbillon linéaire dans un écoulement plan en 2D, est caractérisé par une ligne droite qui s’étend à l’infini dans les deux directions perpendiculaires au plan en 2D. Cette configuration donne l’impression d’un point unique dans le plan 2D. Le tourbillon linéaire est l’une des singularités fondamentales qui peut être utilisée comme élément fondamental dans la construction des solutions de la théorie de l’écoulement potentiel, comme indiqué à la section 3.10. Cependant, dans les écoulements plus complexes, le tourbillon linéaire peut présenter une courbure, ce qui constitue un défi unique. En tout point d’un tourbillon linéaire courbe, où la courbure n’est pas nulle, la vitesse du fluide perpendiculaire au tourbillon devient infinie. Par conséquent, il est impossible de déterminer une vitesse réaliste à laquelle la ligne de vortex sera transportée par l’écoulement. Dans les écoulements réels, la vorticité est distribuée de manière continue et possède une magnitude finie, ce qui élimine l’apparition de vitesses infinies.

Associer le champ de vitesse aux concentrations de vorticité

Le concept de vorticité fortement concentrée est souvent simplifié sous la forme d’une nappe de tourbillons ou d’un tourbillon linéaire. En utilisant le théorème de Stokes, nous pouvons maintenant analyser les distributions de vitesse dans le voisinage immédiat qui doivent correspondre à ces distributions de vorticité idéalisées.

La figure ci-dessus, intitulée (a), illustre une nappe de tourbillons dans un écoulement en 2D. En appliquant le théorème de Stokes à un contour fermé qui entoure une courte section de la nappe, il devient évident qu’il y a un saut dans la magnitude de la vitesse à travers la nappe, qui est égale à la force de vorticité locale ou à la vorticité par unité de distance le long de la nappe dans la direction perpendiculaire au vecteur de vorticité. Dans ce cas particulier en 2D, le vecteur de vorticité est perpendiculaire au plan du papier et la distance le long de la feuille est mesurée dans la direction de l’écoulement. L’écoulement physique associé à cette nappe de tourbillons idéalisée est une couche de cisaillement où le saut de vitesse est réparti sur une épaisseur finie, comme le montre la figure intitulée (b).

Dans le cas d’un écoulement tridimensionnel, le saut de vitesse à travers une nappe de tourbillons, au sens vectoriel, doit toujours être perpendiculaire au vecteur de vorticité. En aérodynamique, il est courant de rencontrer une nappe sans saut de vitesse, mais seulement en direction. Dans ce cas, le saut du vecteur vitesse est perpendiculaire au vecteur vorticité, qui est parallèle à la direction de la moyenne des vecteurs vitesse sur les deux côtés de la feuille, comme illustré dans la figure intitulée (c). On peut démontrer que si le vecteur vorticité n’était pas parallèle à la moyenne des deux vecteurs vitesse, il devrait y avoir un saut dans la magnitude de la vitesse.

Les nappes de tourbillons ressemblant à celle représentée sur la figure (c) sont fréquemment modélisées dans la théorie de l’écoulement potentiel en 3D. La définition du potentiel de vitesse montre clairement que le saut dans le vecteur de vitesse nécessite également un saut dans le potentiel de vitesse.

Si une couche de cisaillement physique est effectivement mince, ce qui signifie que les changements d’écoulement à travers la couche se produisent beaucoup plus rapidement que les changements dans d’autres directions, le saut de vitesse sera approximativement égal en magnitude et perpendiculaire à l’intégrale de la vorticité à travers la couche.

L’induction de la vitesse par la vorticité est-elle une erreur ?

Tous les étudiants en ingénierie rencontrent inévitablement la loi de Biot-Savart au cours de leurs études de premier cycle, qu’il s’agisse de mécanique des fluides ou d’électromagnétisme classique. Cette loi suggère que la compréhension de la courbure d’un champ de vecteurs en un point spécifique permet de comprendre le comportement du champ de vecteurs en un autre point.

Malgré son attrait initial, le concept peut être trompeur car il entraîne souvent une ambiguïté quant à la relation entre la cause et l’effet. En outre, la possibilité de convertir les équations de Navier-Stokes de la formulation de la vitesse à celle de la vorticité et l’utilisation de modèles d’écoulement potentiel pour introduire des obstacles à l’écoulement renforcent la croyance largement répandue selon laquelle la vorticité entraîne la vitesse, comme le suggère le principe de Biot-Savart.

C’est là que réside l’erreur. En l’absence de forces gravitationnelles ou électromagnétiques, il n’y a pas d’action à distance dans les écoulements fluides ordinaires. Exprimer les équations sous différentes formes et se référer à la loi de Biot-Savart comme à une relation de calcul entre un champ de vecteurs et sa courbure n’implique pas qu’un tourbillon au point A puisse induire une vitesse à un point B éloigné. S’il est vrai qu’une relation mathématique comme la loi de Biot-Savart nous permet de déduire des détails quantitatifs et qualitatifs sur le champ de vitesse à un point éloigné, en mécanique des fluides, elle ne décrit pas précisément la physique. Par conséquent, la relation directe de cause à effet est quelque peu trompeuse dans ce contexte par rapport à son équivalent en électromagnétisme classique.

La loi de Biot-Savart s’avère bénéfique pour les calculs quantitatifs. Cependant, le concept qualitatif selon lequel la compréhension de la vorticité en un point spécifique nous permet de déduire des informations sur la vitesse en un autre point a sa propre valeur. Ce concept est l’un des outils les plus influents pour comprendre les champs d’écoulement. Néanmoins, malgré sa puissance, il peut aussi être une arme à double tranchant, car il est souvent source de confusion lorsqu’il s’agit de déterminer la cause et l’effet.

Le problème vient du fait que la vorticité est considérée comme l' »entrée » alors que la vitesse est considérée comme la « sortie », ce qui conduit à la pratique courante de désigner la vitesse déduite de la vorticité par le terme de vitesse induite. Cela peut facilement conduire à penser que la vorticité est en quelque sorte « à l’origine » de la vitesse qu’elle « détermine ». Ce raisonnement est toutefois erroné. En l’absence de forces gravitationnelles ou électromagnétiques significatives, il n’y a pas d’action à distance dans les écoulements fluides réguliers. Les forces significatives ne sont transmises que par contact direct entre des parcelles de fluide voisines.

Par conséquent, un tourbillon au point A ne peut pas directement « causer » une vitesse à un point B éloigné, et des termes tels que « causé par », « induit » et même « dû à » dénaturent la physique impliquée. Il est essentiel de se rappeler que Biot-Savart est simplement une relation mathématique entre un champ vectoriel et sa courbure, et qu’en mécanique des fluides, elle n’indique pas une relation physique directe de cause à effet. Ce point est de la plus haute importance et n’a pourtant pas été suffisamment souligné dans la littérature. Il est intéressant d’explorer les points de vue d’autres auteurs sur cette question. Les aérodynamiciens ont contribué à la confusion en utilisant librement des termes tels que « vitesse induite » et « induction ». Ces termes proviennent d’un autre domaine, l’électromagnétisme classique, où la loi de Biot-Savart est applicable et où il est dit que le champ magnétique est « induit » par le courant électrique. En électromagnétisme, cette terminologie est appropriée car on pense qu’il y a une véritable action à distance, ce qui fait que le terme « induction » est physiquement approprié. Toutefois, en mécanique des fluides, il n’y a pas de lien de causalité direct. Nous savons que la vorticité est générée, transportée et diffusée, ce qui explique l’existence de la vorticité dans nos champs d’écoulement : elle sert davantage d’indication du schéma d’écoulement global que de cause.
Afin d’élucider la présence d’une configuration d’écoulement, il est nécessaire de se référer à la physique réelle impliquée, en particulier l’équilibre des forces au sein des éléments fluides à un endroit donné.

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