Lignes de courant, lignes de courant, lignes de temps et bien plus encore – Kinematics

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introduction

Dans ce billet, nous explorons la théorie physique complète et précise offerte par les équations de Navier-Stokes. Ces équations nous permettent de prédire un large éventail de phénomènes en aérodynamique, y compris les écoulements de liquides comme l’eau. Nous commencerons par examiner la représentation fondamentale de la physique dans ces équations, les hypothèses nécessaires formulées au cours de leur élaboration et la mesure dans laquelle elles restent valables. Nous nous pencherons ensuite sur les détails complexes de ces équations et éluciderons leur signification.

L’hypothèse du continuum et la portée de sa validité

Dans la formulation NS, le fluide est considéré comme une substance continue, appelée continuum, avec des caractéristiques physiques locales qui peuvent être exprimées par des fonctions continues en termes d’espace et de temps. Ces propriétés du continuum sont influencées par les propriétés des molécules individuelles qui composent le gaz ou le liquide, ainsi que par la physique sous-jacente qui régit leurs mouvements et leurs interactions. Toutefois, les propriétés du continuum ne rendent compte que des effets globaux de la physique sous-jacente, plutôt que des détails spécifiques. Comme le démontrent le post 1 – Guide d’introduction à la compréhension des concepts fondamentaux et des cadres théoriques et le post 2 – L’émergence des flux aérodynamiques à partir du niveau moléculaire, cette approche offre une représentation qui est non seulement suffisante, mais aussi remarquablement précise dans une gamme variée de conditions.

La progression historique initiale de la formulation NS s’est faite de manière spontanée, en supposant dès le départ un comportement continu et en construisant un cadre pour les effets de viscosité par le biais d’expériences dans des scénarios d’écoulement de base. Une part importante des efforts déployés dans cette progression a été consacrée à l’établissement de la structure mathématique nécessaire pour passer d’écoulements simples à des écoulements plus complexes.

Le processus de calcul de la moyenne nous fournit des définitions précises des quantités fondamentales de l’écoulement continu, mais il ne nous conduit pas directement à la formulation de Navier-Stokes (NS). Lorsque nous utilisons le processus de moyennage sur les lois fondamentales de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie, nous rencontrons deux types distincts de termes qui représentent des ensembles de phénomènes différents et nécessitent des hypothèses différentes :

Premièrement, les termes qui comprennent uniquement les moyennes simples définissant la densité, la température et la vitesse du continuum. Aucune hypothèse supplémentaire n’est nécessaire car ces variables constituent déjà la base de la formulation NS. Ces termes décrivent le taux de changement temporel local d’une quantité conservée ou la convection d’une quantité conservée par la vitesse locale du continuum de l’écoulement.

Deuxièmement, les termes qui incorporent les moyennes des produits des vitesses moléculaires ou les produits d’une composante de vitesse et de l’énergie cinétique. Ces termes signifient le transport d’une quantité conservée par rapport au mouvement continu local de l’écoulement. Le transport de l’énergie thermique correspond au flux de chaleur résultant de la conduction moléculaire. Le transport de la quantité de mouvement imite l’effet d’un matériau du continuum subissant des contraintes internes, ce qui donne lieu à la fois à la pression hydrostatique locale du continuum et à des « contraintes » supplémentaires du continuum causées par des effets visqueux. Le processus de calcul de la moyenne à lui seul maintient ces termes dans un état qui repose sur des complexités statistiques des mouvements moléculaires, ce qui nécessite des hypothèses de simplification supplémentaires pour les transformer en expressions basées sur nos variables fondamentales d’écoulement du continuum.

Les équations NS comprennent des termes qui représentent divers phénomènes de transport, et ces termes ont des dépendances fonctionnelles directes sur les propriétés locales du continuum. La pression hydrostatique est déterminée par une relation thermodynamique d’équilibre, tandis que le flux de chaleur et les « contraintes » visqueuses sont décrits par des expressions de gradient-diffusion, où le flux d’une quantité conservée est proportionnel à son gradient. Les fluides qui présentent ce type de comportement pour les contraintes visqueuses, comme décrit dans les équations NS, sont communément appelés fluides newtoniens. Cependant, l’obtention de ces formes simplifiées à partir des expressions plus générales obtenues par le processus de calcul de la moyenne nécessite de faire certaines hypothèses simplificatrices sur la physique impliquée. Dans le cas des gaz, il est nécessaire de supposer que le fluide est dans un état d’équilibre thermodynamique local tout au long du processus. Cela signifie que les fonctions de distribution de probabilité pour la vitesse moléculaire, qui apparaissent dans les expressions de transport complètes, doivent ressembler étroitement à leurs formes d’équilibre. Pour ce faire, des changements significatifs ne peuvent se produire que sur des échelles de longueur et de temps beaucoup plus grandes que le trajet et le temps libres moyens. Lorsque ces conditions sont remplies, c’est-à-dire lorsque les écarts locaux par rapport à l’équilibre sont faibles, les termes liés au transport peuvent être représentés avec précision par les relations simples utilisées dans les équations NS.

Lois de la conversation

Les relations fondamentales trouvées dans les équations NS sont les principes essentiels de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Afin d’établir un ensemble complet d’équations, il est nécessaire d’inclure une équation d’état qui relie la température, la pression et la densité, ainsi que des expressions définissant les autres propriétés du gaz.
Dans le domaine de l’aérodynamique, il est souvent raisonnable de supposer la loi des gaz idéaux, en conjonction avec un rapport fixe des chaleurs spécifiques (γ) et des coefficients de viscosité et de conductivité thermique (μ et k) qui dépendent uniquement de la température. Il peut sembler contre-intuitif que les coefficients de transport μ et k soient considérés comme indépendants de la densité à température constante. Cependant, il existe une explication simple à ce phénomène.
Avec une augmentation de la densité, on pourrait s’attendre à ce que les coefficients de transport augmentent en raison de la masse plus importante par unité de volume qui doit être transportée en termes de quantité de mouvement et d’énergie thermique. Néanmoins, lorsque la densité augmente, le libre parcours moléculaire moyen diminue, ce qui entrave le transport moléculaire. Au niveau de l’approximation du gaz idéal, les effets de l’augmentation de la masse par unité de volume et de la réduction du libre parcours moyen s’annulent mutuellement.
Par conséquent, dans la pratique, l’efficacité du transport moléculaire dépend uniquement de la vitesse moyenne des molécules ou, en d’autres termes, de la température. Dans certaines formulations des équations, la vitesse locale du son (« a ») est un facteur qui, dans le cas d’un gaz idéal, dépend également uniquement de la température.

L’importance des conditions aux limites

Les équations de Navier-Stokes (NS), comme toutes les autres équations de champ, nécessitent des conditions aux limites (CB) pour être correctement résolues. Lorsqu’il s’agit de frontières d’écoulement, où l’écoulement entre ou sort simplement du domaine, les équations NS elles-mêmes dictent les combinaisons possibles de conditions aux limites qui peuvent être imposées et les combinaisons qui sont nécessaires pour « déterminer » la solution de différentes manières. Cependant, lorsqu’il s’agit de frontières qui interfèrent avec d’autres matériaux, comme les interfaces gaz-solide ou gaz-liquide, les équations NS ne suffisent pas à définir complètement la situation. Dans de tels cas, il est nécessaire d’introduire des éléments physiques supplémentaires. Sur la base de modèles théoriques et de preuves expérimentales, il a été observé que l’interaction entre la plupart des surfaces liquides et solides rencontrées dans la pratique de l’ingénierie et l’air dans des conditions ordinaires est telle que la vitesse et la température de l’air s’ajustent presque parfaitement à la vitesse et à la température de la surface. Par conséquent, le fait de supposer qu’il n’y a pas de glissement (pas de mouvement relatif entre le fluide et le solide) et qu’il n’y a pas de saut de température à la « paroi », et d’imposer des BC en conséquence, fournit une approximation extrêmement précise.

Cependant, il est important d’interpréter correctement le BC sans glissement. Dans certaines descriptions, le fluide est décrit comme « collant » ou « adhérant » à la surface. Bien que cette description ne soit pas totalement inappropriée, elle peut être trompeuse, en particulier lorsqu’il s’agit de gaz. Le terme « adhère » implique la présence d’une liaison qui peut résister à la fois à la tension et au cisaillement. Or, les gaz ne peuvent pas être soumis à une tension et ne peuvent pas former de liaisons résistant à la tension avec d’autres substances. Néanmoins, la condition d’absence de glissement suppose qu’il n’y a pas de glissement entre le fluide et le solide, de sorte qu’en termes de cisaillement, le fluide se comporte comme s’il adhérait à la surface.

La condition d’absence de glissement s’applique aussi bien aux liquides qu’aux gaz. L’explication de ce phénomène est plus simple dans le cas des gaz. Bien que certaines molécules de gaz puissent adhérer temporairement à une surface solide ou réagir chimiquement avec elle et rester attachées, la majorité des molécules qui entrent en collision avec la surface rebondissent. La condition d’absence de glissement est le résultat de ces interactions de rebond. Si nous considérons les molécules de gaz comme des sphères lisses rebondissant sur une surface lisse de manière spéculaire sans perdre d’élan tangentiel, il n’y a pas d’échange de force de cisaillement entre la surface et le gaz. Par conséquent, le gaz glisserait facilement le long de la surface et le concept d’absence de glissement n’existerait pas. Cependant, au niveau moléculaire, aucune surface réelle ne se comporte comme une surface parfaitement lisse. Toutes les surfaces réelles sont composées d’atomes dont la taille est similaire à celle des molécules de gaz, ce qui rend même la surface la plus lisse rugueuse à l’échelle d’une molécule de gaz. En outre, la plupart des surfaces réelles présentent une rugosité importante à plus grande échelle. Par conséquent, les molécules de gaz qui entrent en collision avec des surfaces réelles rebondissent dans des directions aléatoires, ce qui entraîne une vitesse tangentielle moyenne très faible des molécules à proximité de la surface. En appliquant la théorie cinétique, on peut estimer la vitesse de glissement effective, ce qui démontre que dans les scénarios pratiques, elle est presque nulle. Cela est vrai même pour les surfaces qui peuvent sembler lisses au toucher, car notre intuition suppose à tort que l’air peut glisser librement sur ces surfaces.

Par conséquent, notre modèle physique complet comprend les équations NS en conjonction avec les conditions aux limites sans glissement et sans saut de température. Le champ d’application de cette formulation est remarquablement étendu, avec seulement un nombre limité d’applications « aérodynamiques » pratiques où elle ne se vérifie pas. Les cas qui s’écartent de cette formulation comprennent les écoulements de gaz à des densités extrêmement faibles, tels que ceux rencontrés à très haute altitude, ainsi que la structure interne complexe des ondes de choc. Même dans les cas où l’ionisation, la dissociation ou les réactions chimiques se produisent dans l’écoulement, elles ne sont généralement pas considérées comme des exceptions, car ces effets peuvent être intégrés dans notre formulation du continuum en incorporant des variables appropriées pour la concentration des espèces, les taux de réaction et les équations d’état. Heureusement, dans le domaine de l’aérodynamique, nous sommes épargnés par les complexités associées aux liquides non newtoniens, qui jouent un rôle important dans les systèmes biologiques et divers processus industriels.

L’incapacité de notre formulation NS à s’appliquer dans des circonstances exceptionnelles ne peut pas être uniquement attribuée aux densités extrêmement faibles à haute altitude ou aux petites échelles de longueur dans les problèmes d’ondes de choc qui font que notre processus de calcul de la moyenne ne converge pas. Bien que cette situation puisse se produire, elle n’est pas toujours la cause première de l' »échec ». Pour obtenir la convergence d’une moyenne spatiale à un moment précis, il faudrait intégrer un volume suffisamment grand qui englobe un nombre significatif de molécules. Les moyennes spatiales instantanées peuvent ne pas rendre compte avec précision de la structure interne d’une onde de choc, par exemple. Cependant, dans de nombreux cas, les flux sont presque stables, ce qui nous permet de définir des moyennes dans de petits volumes spatiaux en calculant la moyenne sur une longue période. La plupart des situations impliquant des vols à des altitudes extrêmes ou une physique détaillée de l’onde de choc peuvent être traitées à l’aide de cette approche. Dans ces cas, l’échec de notre formulation du continuum n’est pas dû à l’incapacité de notre processus de calcul de la moyenne à converger, mais résulte plutôt de la rupture de l’hypothèse d’équilibre thermodynamique local qui sous-tend notre modélisation des effets de « transport » lorsque les gradients d’écoulement deviennent significatifs à l’échelle d’une trajectoire libre moyenne. En outre, les erreurs associées aux conditions limites sans glissement et sans saut de température, qui sont généralement négligeables dans des conditions normales, deviennent des fractions plus importantes des différences de quantités d’écoulement sur le terrain dans des conditions extrêmes, ce qui conduit également à la rupture de ces approximations.

Faisons un peu de mathématiques formelles

Examinons maintenant quelques-uns des défis qui se posent lorsque nous tentons d’exprimer notre compréhension de la physique en termes mathématiques. Notre formulation finale consistera en un ensemble d’équations de champ à dérivées partielles (EDP), accompagnées de certaines relations algébriques auxiliaires. Le choix des variables, ainsi que la détermination des variables indépendantes et dépendantes, dépendent de la manière dont nous choisissons de représenter le flux. Nous avons la possibilité de le décrire en termes de comportement observé en des points fixes dans l’espace et le temps, ce que l’on appelle la description eulérienne, ou nous pouvons au contraire définir les trajectoires suivies par des parcelles fixes de fluide au cours de leur évolution dans le temps, ce que l’on appelle la formulation lagrangienne. Dans la description eulérienne, le temps et les coordonnées dans un cadre de référence spatial, qui peut être inertiel ou non, sont les variables indépendantes, tandis que la vitesse, la pression et d’autres variables d’état du fluide sont considérées comme dépendantes. En revanche, dans la description lagrangienne, les variables indépendantes se rapportent aux parcelles de fluide elles-mêmes, généralement identifiées par leurs coordonnées spatiales à un moment initial, et les variables dépendantes comprennent les coordonnées spatiales de ces parcelles à des moments ultérieurs. Bien que ces deux modes de description soient théoriquement équivalents dans le sens où ils peuvent être utilisés pour modéliser avec précision la même physique, ils diffèrent tellement dans leur approche qu’ils ne sont pas interchangeables dans la pratique.

Le cadre eulérien est généralement préféré pour diverses applications en raison de sa commodité, servant de base à la majorité des études quantitatives en aérodynamique théorique et en dynamique des fluides numérique (CFD). Cette préférence peut être attribuée au fait que la description eulérienne offre une approche plus intuitive pour l’analyse des écoulements réguliers, qui sont la principale préoccupation en aérodynamique. Bien que la description eulérienne soit utilisée dans la modélisation conceptuelle de haut niveau, il y a des cas où la description lagrangienne est également bénéfique pour discuter des principes physiques fondamentaux.

La dérivée lagrangienne, désignée par la majuscule D/Dt, représente le taux de changement temporel de toute quantité physique associée à une parcelle de fluide lagrangien. Cette vitesse de changement est influencée par deux effets dans le cadre eulérien. Premièrement, la quantité peut changer avec le temps aux points de l’espace traversés par la parcelle, ce qui est indiqué par le terme d’écoulement instable ∂/∂t ou le taux de changement eulérien. Deuxièmement, si la parcelle se déplace avec une vitesse V dans un champ non uniforme, elle subit un taux de variation V – ∇ en plus du terme d’écoulement instable. Par conséquent, la dérivée lagrangienne est liée aux dérivées dans le cadre eulérien. D’une manière générale, la dérivée lagrangienne est reliée aux dérivées dans le cadre eulérien par l’équation (pour la vitesse) :

L’application de cette transformation à la vitesse du fluide donne des résultats intrigants, en particulier lorsqu’il s’agit de déterminer l’accélération lagrangienne. Dans le cas d’un écoulement stable 1D, l’application de l’équation susmentionnée à la vitesse se traduit par une réduction :

On peut observer qu’une accélération matérielle spécifique Du/Dt nécessite un gradient spatial important ∂u/∂x lorsque la vitesse u est petite, alors que seule une ∂u/∂x mineure est nécessaire lorsque u est grande. Ce phénomène résulte du mouvement d’une parcelle de fluide lagrangien dans le champ de vitesse.

L’un des défis des mathématiques réside dans la présence de vecteurs et de tenseurs parmi les quantités que nous devons manipuler. La vitesse, par exemple, est un vecteur, et l’équation de conservation de la quantité de mouvement est une équation vectorielle. Dans un espace tridimensionnel, cela conduit à trois variables et trois équations, ce qui est relativement facile à comprendre intuitivement.

La question de la représentation du transfert de forces par « contact » entre des parcelles de fluide voisines n’est pas immédiatement évidente. D’un point de vue physique, ces forces résultent du transfert de la quantité de mouvement à travers les mouvements moléculaires. Cependant, dans la formulation du continuum, les effets cumulés de nombreux mouvements moléculaires sont représentés comme des contraintes internes apparentes dans le fluide ou comme des forces exercées par unité de surface le long de la limite d’une parcelle.

Le défi mathématique que nous rencontrons concerne la question primordiale de la représentation de l’état de contrainte au sein d’un matériau continu. Dans un premier temps, nous devons nous familiariser avec le concept des limites hypothétiques qui séparent les parties voisines du matériau. Ensuite, nous devons visualiser mentalement comment deux parties adjacentes du matériau exercent des contraintes égales et opposées l’une sur l’autre à travers leur surface limite commune. Notre explication doit permettre de déterminer avec précision l’état de contrainte en tout point du fluide, en tenant compte de l’ampleur appropriée des forces opposées, quelle que soit l’orientation de la limite hypothétique. Dans ce contexte, la contrainte fait référence à une quantité vectorielle représentant la force par unité de surface, qui dépend de l’orientation d’une surface de séparation imaginaire. Cette surface de séparation peut être définie par la direction de son vecteur normal.

La contrainte est un tenseurce qui a conduit au développement de l’analyse tensorielle, un domaine des mathématiques consacré à la fourniture de méthodes rigoureuses pour manipuler de telles quantités. Ce cadre mathématique s’applique non seulement à la mécanique des milieux continus, mais aussi à diverses branches de la physique. Parallèlement à l’analyse tensorielle, des notations abrégées ont été conçues pour exprimer efficacement ces manipulations. La notation tensorielle offre l’approche la plus fiable pour traiter les termes de contrainte et de convection dans les équations, en particulier lors de leur transformation dans différents systèmes de coordonnées. Bien qu’il soit possible d’effectuer ces manipulations sans la notation tensorielle, la probabilité d’erreurs augmente considérablement. Indépendamment de l’utilisation de la notation tensorielle, ces manipulations deviennent rapidement des exercices de manipulation de symboles, ce qui rend difficile la compréhension claire de leur signification physique.

Jusqu’à présent, nous avons parlé des équations NS uniquement sous leur forme locale ou différentielle,
qui est la forme la plus directement liée à la plupart de nos discussions ultérieures.
Cependant, dans certaines applications, une vue plus globale du flux suffit et peut être plus facile à mettre en œuvre.
plus facile à traiter. Pour ces situations, nous disposons de la forme contrôle-volume des équations, dans laquelle
les équations ont été intégrées sur un volume et les surfaces délimitant le volume.
Les équations du volume de contrôle sont « exactes » dans le sens où il n’y a pas de perte de précision
par rapport aux équations différentielles, mais elles sont « simplifiées » en ce sens qu’elles permettent de dire à l’utilisateur ce qu’il veut.
seulement ce qu’il advient des quantités intégrées et rien sur la façon dont les quantités locales sont
distribuées sur le volume et les surfaces limitrophes.

Dans les approches conventionnelles des équations NS, toutes les variables de l’écoulement présentent une continuité et une différentiabilité, même en présence de chocs. Cette caractéristique avantageuse nous permet d’exploiter des principes mathématiques importants sans avoir besoin d’incorporer des considérations « physiques ». Par conséquent, cela nous amène à approfondir le sujet de la section suivante.

Cinématique 1 : lignes de courant et lignes de fuite

L’utilisation de descriptions cinématiques est fondamentale pour comprendre les champs d’écoulement. Il est impératif de saisir la structure cinématique d’un écoulement afin d’approfondir les dynamiques fondamentales en jeu. Les caractéristiques de la structure cinématique d’un champ d’écoulement sont intrinsèquement liées à la nature du champ de vitesse en tant que champ vectoriel continu.
Deux concepts cinématiques couramment utilisés sont les lignes de courant et lignes de fuite. Les lignes de courant sont des courbes en 3D qui sont parallèles au vecteur vitesse en tout point. D’autre part, les streaklines sont également des courbes spatiales en 3D, mais elles sont définies par les positions d’une série de parcelles de fluide qui sont toutes passées par un « point d’origine » spécifique situé quelque part en amont dans le champ d’écoulement. Bien que le point d’origine d’une ligne de courant soit généralement considéré comme un point fixe dans l’espace, il peut également être autorisé à se déplacer dans le temps. Il est important de noter qu’une ligne de courant est une construction mathématique qui ne peut être définie qu’en résolvant un problème mathématique, en particulier en construisant une courbe parallèle à un champ de vecteurs donné. En revanche, une streakline peut être observée, au moins dans une certaine mesure, dans les flux réels marqués par un contaminant passif tel que le colorant dans les liquides ou la fumée dans l’air.
Dans le cas d’un écoulement constant, les lignes de courant et les lignes de stries provenant de points spécifiques s’alignent et correspondent aux trajectoires des particules individuelles, connues sous le nom de parcelles lagrangiennes. Malgré la régularité de l’écoulement, le déchiffrage des schémas d’écoulement peut encore présenter des complexités intrigantes.
Chronologie sont les lignes formées par un ensemble de particules fluides qui ont été marquées à un moment antérieur dans le tempscréant ainsi une ligne ou une courbe qui se déplace dans le temps au fur et à mesure que les particules se déplacent.

Dans le cas d’un écoulement instable, la complexité de la situation augmente considérablement, ce qui se traduit par des variations distinctes des lignes de courant, des lignes de stries et des trajectoires des particules. La simple observation du schéma formé par l’un de ces éléments fournit une représentation inadéquate et souvent trompeuse de l’écoulement. Les figures ci-dessous illustrent les apparences contrastées d’un écoulement instable dans le sillage d’un cylindre circulaire lorsqu’il est représenté en termes de streaklines (a) et de streamlines (b). En outre, les lignes de temps (c), qui seront définies prochainement, offrent une perspective entièrement différente.

Cinématique 2 : Tubes de courant, surfaces de courant et fonction de courant

Le concept de streamtube est généralement appliqué exclusivement aux écoulements réguliers. A tube de courant est défini par une courbe fermée dans le champ d’écoulement, avec des lignes de courant régulières ou des lignes de stries passant par tous les points de la courbe. Cette courbe fermée forme la limite d’un tube curviligne, la surface de délimitation étant parallèle au vecteur vitesse. Par conséquent, aucune parcelle de fluide continue ne traverse cette surface. Dans un écoulement régulier, selon le principe de continuité, le flux de masse dans un tube reste constant à n’importe quelle section transversale sur sa longueur. Dans un champ d’écoulement bidimensionnel, nous pouvons encore définir un tube à écoulement de la même manière qu’en trois dimensions, en utilisant une courbe fermée pour établir la limite. Cependant, une définition plus pratique consiste à permettre à la courbe fermée définissant le tube de dégénérer en deux points. Cela transforme le tube à écoulement en une couche d’écoulement bidimensionnelle, définie par une ligne de courant passant par chaque point.

La surface limite d’un tube à écoulement représente un exemple spécifique du concept plus large de surface d’écoulement, typiquement associé aux écoulements réguliers. La courbe dans l’espace qui donne naissance à une surface de courant ne doit pas nécessairement être une courbe fermée, et la surface de courant qui en résulte ne doit pas nécessairement former un tube fermé. Une surface de courant générale est une surface qu’aucune parcelle de fluide continue ne traverse. Dans les écoulements tridimensionnels, les surfaces des cours d’eau qui semblent initialement plates peuvent être fortement déformées au fur et à mesure que l’écoulement progresse vers l’aval. Le concept de fonction d’écoulement ne s’applique qu’aux écoulements bidimensionnels. Si l’on considère deux points A et B dans un écoulement bidimensionnel, le flux de masse à travers toute courbe reliant ces points dépend uniquement des positions des points et du temps, en supposant que l’écoulement est incompressible ou régulier. Par exemple, dans le scénario représenté dans la figure ci-dessous, le flux de masse à travers tout contour reliant les points correspond au flux de masse à l’intérieur de la zone ombrée tube à eau. Par conséquent, si le point A est fixe, le flux de masse calculé de cette manière pour tous les autres points B définit une fonction unique appelée fonction de flux. Par conséquent, la fonction de flux reste constante le long des lignes de flux, et l’écart de sa valeur entre deux lignes de flux équivaut au flux de masse à l’intérieur de la ligne de flux. tube de courant délimités par eux. La fonction de courant était plus couramment utilisée dans le passé qu’elle ne l’est aujourd’hui. Elle était fréquemment utilisée dans les premières discussions théoriques sur les écoulements incompressibles et occasionnellement utilisée dans les techniques numériques pour résoudre les équations de Navier-Stokes en deux dimensions.

Cinématique 3 : Lignes de temps

Les lignes de temps sont un concept cinématique précieux qui trouve son application la plus courante dans les écoulements 2D, bien qu’il puisse être défini dans n’importe quel type d’écoulement, qu’il soit stable ou instable. Le processus de définition d’une ligne de temps commence par le marquage d’une série de parcelles de fluide lagrangien disposées à travers l’écoulement à un moment initial spécifique. Ensuite, une ligne de temps est formée en traçant la trajectoire de ces parcelles à un moment ultérieur. Les chronogrammes s’avèrent particulièrement utiles lorsqu’ils sont établis sous la forme d’une collection de lignes multiples, l’instant initial de chaque ligne étant séparé par des intervalles de temps égaux. Dans la pratique, les lignes temporelles peuvent être approximées par des marqueurs de contaminants passifs, provenant généralement d’un fil fin tendu à travers l’écoulement. Dans le cas des écoulements d’air, le fil est enduit d’huile et un courant électrique pulsé appliqué au fil génère de brèves bouffées de fumée, qui servent de marqueurs pour les lignes transversales qui se déplacent en aval. Dans les écoulements d’eau, les impulsions électriques peuvent générer des lignes composées de petites bulles d’hydrogène ou d’oxygène, qui marquent efficacement l’écoulement.

La figure ci-dessous illustre un exemple de lignes temporelles dans une couche limite turbulente, mettant en évidence une caractéristique cruciale des lignes temporelles dans les écoulements turbulents :

Dans une couche limite entièrement turbulente, l’ampleur des fluctuations de la vitesse turbulente ne représente pas une fraction significative de la vitesse moyenne. Par conséquent, les lignes temporelles les plus jeunes, situées près du bord gauche de l’image, conservent un certain ordre et accumulent progressivement des distorsions, ressemblant à un flux plus lisse par rapport au reste de la photographie. Au fur et à mesure que le flux progresse de gauche à droite, ces distorsions s’accumulent jusqu’à ce que la moitié droite de l’image représente un ensemble chaotique et désordonné de lignes temporelles qui se trouvent entièrement dans la couche limite. Dans cet écoulement totalement turbulent, la représentation de la ligne du temps suggère à tort une intensité croissante des mouvements turbulents de gauche à droite.

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