Maximiser les fréquences propres grâce à l'optimisation de la forme et de la topologie

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De nombreux composants mécaniques fonctionnent dans des environnements sujets à des vibrations, susceptibles de provoquer une résonance si les composants ont de faibles fréquences propres. Cela peut avoir des effets de gravité variable, qu'il s'agisse d'une légère nuisance pour une garniture automobile, d'erreurs critiques dans une fabrication de haute précision ou d'une défaillance dangereuse dans le génie civil. Cet article de blog montre comment maximiser la fréquence propre la plus basse en utilisant l'optimisation de la forme et de la topologie afin de réduire la probabilité de résonance. La fonctionnalité intégrée du COMSOL Multiphysics^® le logiciel permet de résoudre ces problèmes avec une optimisation basée sur le gradient.

Introduction à la résonance mécanique

Lorsqu'un système mécanique est excité par une force dont le contenu fréquentiel correspond aux fréquences naturelles du système, une résonance mécanique peut se produire, conduisant à des vibrations de forte amplitude. Cet effet peut être exploitées (par exemple dans les montres et les instruments de musique), mais dans cet article de blog, nous nous concentrerons sur les résonances indésirables, qui peuvent provoquer des problèmes de fatigue dans les machines ou des pannes dans le génie civil. Plusieurs mesures peuvent être prises pour atténuer la résonance, comme l'installation de systèmes d'isolation des vibrations actives ou passives ou demander aux utilisateurs d'éviter les comportements induisant une résonance. Par exemple, comme le montre l’image ci-dessous, un célèbre pont de Londres comporte un panneau indiquant aux soldats de franchir le pas lorsqu’ils traversent le pont – de cette façon, le rythme unifié de leur marche ne provoquera pas de résonance mécanique dangereuse.

Une autre stratégie pour éviter la résonance mécanique consiste simplement à augmenter la fréquence naturelle la plus basse. Ici, nous allons explorer comment cela peut être réalisé grâce à l'optimisation.

L'Albert Bridge à Londres comporte un panneau ordonnant aux soldats de briser le pas sur le pont pour éviter les résonances. Image originale de Colin Smith, sous licence CC BY-SA 2.0 via Wikimédia Commons.

Introduction à l'optimisation

Tous les problèmes d'optimisation consistent en certaines variables de conception qui doivent être modifiées par un algorithme d'optimisation afin d'améliorer une certaine quantité – le fonction objectif. Il peut également y avoir des exigences selon lesquelles d'autres variables ne peuvent pas dépasser certaines limites, également appelées contraintes. Dans le contexte de la CAO, l'objectif est souvent calculé par simulation.

Pour l’algorithme d’optimisation, on peut distinguer :

1. Optimisation sans gradient, où l'optimisation utilise uniquement les valeurs de l'objectif et des contraintes pour mettre à jour les variables de conception
2. Optimisation basée sur le gradient, où l'optimisation sait également à quel point l'objectif et les contraintes sont sensibles aux changements dans les variables de conception

L'optimisation basée sur le gradient contient beaucoup plus d'informations à chaque itération et est donc beaucoup plus rapide, en particulier pour les problèmes impliquant de nombreuses variables de conception. L’écart de vitesse est si important que la première approche n’est pas pratique pour la plupart des applications d’optimisation de forme et de topologie. COMSOL Multiphysique^® prend en charge les deux types d'optimisation répertoriés ici, mais cet article de blog se concentrera sur l'optimisation basée sur le dégradé.

Dans les exemples suivants, l'objectif est de maximiser la fréquence propre minimale, mais on pourrait également maximiser la distance par rapport à une fréquence indésirable qui se produit peut-être naturellement dans l'environnement. Un aspect récurrent des problèmes de fréquence propre est que même si une structure contient des symétries de conception, ses modes propres peuvent être non symétriques. Pour cette raison, la structure entière doit être modélisée à chaque itération. Cependant, dans le cas où le design initial est symétrique, alors celui-ci peut être préservé en utilisant le Symétrie miroir fonctionnalité dans le Optimisation de la forme ou Optimisation de la topologie interface.

Optimisation de la forme

Le premier exemple est un modèle de coque fixé à une extrémité. La continuité du vecteur normal est préservée en utilisant une régularisation basée sur une équation aux dérivées partielles (PDE) pour la déformation limite, \mathbf{d}similaire au filtre Helmholtz utilisé pour l'optimisation de la topologie, c'est-à-dire

\mathbf{d} = L_\mathrm{min}^2 \nabla^2 \mathbf{d} + \mathbf{c}, \quad ||\mathbf{c}||\leq d_\mathrm{max},

où d_\mathrm{max} est le déplacement maximum, L_\mathrm{min} est une longueur de filtre, d_\mathrm{max}/L_\mathrm{min} est la pente maximale de la déformation, et \mathbf{c} est le champ de variable de contrôle de la déformation limite. Lors de l'optimisation de la forme des solides, il existe également un PDE pour le lissage des éléments intérieurs, mais en pratique, tout est géré par le Domaine de forme libre, Limite de forme libreet Coquille de forme libre fonctionnalités dans le Optimisation de la forme interface. Ces fonctionnalités permettent uniquement une optimisation basée sur le dégradé. Comme alternatives à la régularisation de forme basée sur la PDE, on peut également utiliser une technique de régularisation polynomiale ou apporter de simples modifications à la géométrie, telles que la translation, la rotation et la mise à l'échelle. (Apprenez-en davantage sur la traduction et la mise à l'échelle dans notre série en deux parties sur l'optimisation de forme en électromagnétisme.) L'animation ci-dessous montre le résultat de l'utilisation de la régularisation basée sur PDE tout en préservant la symétrie de la conception.

Le design du shell est animé tout au long de l’historique d’optimisation.

La commutation de mode est gérée en résolvant toujours les six premières fréquences propres et en utilisant la méthode des asymptotes mobiles (MMA) pour maximiser la fréquence propre minimale.

L'exemple suivant considère un support solide, mais la géométrie du support ressemble quelque peu à une coque, il est donc logique de préserver l'épaisseur des bras du support. Ceci peut être réalisé en combinant un Extrusion générale opérateur avec un Déformation prescrite (voir Bracket — Optimisation de la forme des fréquences propres dans la galerie d'applications pour en savoir plus). Sinon, la configuration est similaire au modèle précédent en termes d’objectif et d’application de la symétrie, mais la conception initiale n’est pas si mauvaise et donc l’amélioration est moins spectaculaire (comme illustré ci-dessous).

Optimisation de la topologie

L'optimisation basée sur le gradient peut également être exploitée lors de l'optimisation de la topologie, en particulier lors de l'utilisation de l'outil Optimisation de la topologie interface dans le logiciel. Une introduction détaillée à l'optimisation de la topologie peut être trouvée dans notre article de blog « Performing Topology Optimization with the Density Method ». L'idée de base est d'introduire un champ de variables de conception variant spatialement, \theta_c, qui est borné entre 0 et 1, correspondant respectivement au matériau vide et solide. Pour la mécanique des structures, on peut alors faire dépendre la densité et le module d'Young (la raideur) de cette variable. La dépendance n'est pas explicite, car il est avantageux de régulariser le problème avec une échelle de longueur minimale, L_\mathrm{min}. Il faut aussi interpoler la densité, \rhod'une manière différente de la rigidité, E, pour empêcher les valeurs intermédiaires de la variable de conception de dominer la conception optimisée en raison de leur bon rapport rigidité/poids. La relation entre le champ de variable de conception et les propriétés du matériau est donnée par :

\theta_f &=& L_\mathrm{min}^2\nabla^2\theta_f+\theta_c \\

\theta &=& \frac{\tanh (\beta[\theta_f-1/2])+\tanh (\beta/2 )}{2\tanh(\beta/2)} \\

\rho &=& \rho_\mathrm{mat}\theta \\

E &=& E_\mathrm{mat}(\theta_\mathrm{min}+(1-\theta_\mathrm{min})\theta^{p_\mathrm{SIMP}}),

où \theta_f est la variable de conception filtrée, \bêta est le paramètre de pente de projection, et p_\mathrm{SIMP} est le paramètre de matériau isotrope solide avec pénalisation (SIMP). Ces paramètres peuvent avoir une forte influence sur la conception optimisée, donc afin d'éviter de mauvais minima locaux, il peut être nécessaire de résoudre le problème d'optimisation pour plusieurs combinaisons de ces deux paramètres. Autrement dit, un balayage paramétrique des problèmes d'optimisation est résolu, comme illustré pour l'exemple de faisceau ci-dessous. La poutre est fixée à gauche et supporte un poids à l'extrémité droite, qui représente 15 % du poids total. La poutre est soumise à une contrainte volumique de 40%. Le problème d'optimisation de la topologie est résolu pour cinq combinaisons de paramètres (p_\mathrm{SIMP}, \beta), égal à (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16) et (5, 32). Une mauvaise connectivité et des niveaux de gris sont attendus pour les optimisations initiales, mais ces conceptions non physiques fournissent de bonnes conceptions initiales pour les optimisations ultérieures.

Lors de l'optimisation de la topologie, il est recommandé d'effectuer une simulation de vérification sur un maillage ajusté au corps. Cela a été fait dans la version Application Gallery de ce modèle, et les résultats montrent de meilleures performances en termes de fréquences propres plus élevées par rapport au résultat d'optimisation brut. Ceci est normal, car la représentation implicite de la conception rend le matériau moins rigide près de l'interface solide-vide.

Enfin, un seul résultat d'optimisation est présenté ici, mais il est facile de générer des conceptions alternatives en utilisant différentes valeurs pour la fraction volumique, la masse ajoutée ou l'échelle de longueur minimale.

Conclusion

Il est possible d'utiliser l'optimisation de forme et de topologie pour effectuer une maximisation des fréquences propres. Les conditions de symétrie ne peuvent souvent pas être imposées à la physique, mais on peut restreindre l'optimisation afin qu'une conception symétrique soit toujours produite. La stratégie max/min utilisée pour gérer la commutation de mode pourrait également être appliquée si l'objectif était de maximiser la distance jusqu'à une certaine fréquence non souhaitée.

Pour acquérir une expérience pratique de la maximisation des fréquences propres, téléchargez les exemples mentionnés dans cet article de blog depuis la galerie d'applications :

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