エネルギー保存
エネルギー保存の原理として知られる熱力学の第一法則は、ラグランジュ流体区画内に保存されるエネルギーの変化は、熱や機械的仕事などの外部ソースからエネルギーが追加される割合に等しいことを述べています。初歩的な熱力学を学ぶ学生にとって、この原則には新しい側面が2つあります。第一に、流体区画の運動は全体的なエネルギーバランスにおいて重要な役割を果たすため、区画のバルク運動エネルギーは蓄積エネルギーの形態の一つとして考慮されなければなりません。第二に、圧力だけでなく粘性力もまた、系のエネルギーに機械的な仕事を加えることに寄与しうることを認識することが重要です。
小包内の熱伝達は、電磁放射と分子伝導という2つの主なメカニズムによって起こります。電磁放射は、小包内でのエネルギーの吸収または放出を伴い、分子伝導は、小包の境界を越えた熱の移動を指します。輻射効果は体積に比例し、「体」効果として知られ、伝導効果は表面に関係することに注意することが重要です。空気力学では、通常、表面効果の方が本体効果よりも重要です。小包で行われる機械的な仕事は、運動量保存に関係するのと同じ力によって行われます。空気力学では、体外力は無視できる場合が多く、隣接する区画が及ぼす力に焦点が置かれます。
しかし、内部流体応力がエネルギー保存に与える影響は、運動量保存よりも複雑です。運動量保存が小包にかかる正味の力のみを考慮するのに対し、エネルギー保存は小包の質量中心が移動する距離にわたって作用する正味の力も考慮し、小包のバルク運動エネルギーの変化に寄与します。
しかし、さらに考慮すべき要素があります。小包が変形する場合、それが体積変形であろうとせん断変形であろうと、小包の境界のある部分はその質量中心に対して移動します。この移動により、小包に大きな力がかかります。さらに、圧縮または膨張によって小包にかかる圧力は、加熱または冷却効果につながります。さらに、粘性散逸として知られる現象である粘性応力により、小包は熱を持ちます。
乱流は、エネルギー保存との関連において興味深い考察をもたらします。乱流は通常、非定常な乱流運動を効果的に平滑化する時間平均に注目した理論モデルによって解析されます。時間平均化された流れ場では、乱流に関連する運動エネルギーが、考慮が必要な重要なエネルギー形態になります。しかし、多くの流れのシナリオでは、乱流運動エネルギー（TKE）の発生と消滅が局所的にほぼ均衡しているため、TKEを無視することができます：
- エネルギー保存:エネルギーは創造も破壊もできないが、ある形態から別の形態に変換されるだけである、という熱力学の第一法則を流体小包の文脈で論じます。この法則は、運動エネルギー、位置エネルギー、および小包内の内部エネルギーの変化を考慮することを含みます。
- エネルギーの形:バルクの運動エネルギー、内部エネルギー（圧力や粘性力の影響）、電磁放射や分子伝導などの熱伝達メカニズムなど、流体区画内のさまざまなエネルギー形態について詳しく説明します。
- 機械的仕事:流体区画に対する力学的仕事の役割について説明します。力学的仕事は、外力（圧力など）と内部流体応力（隣接する区画や区画自体の変形から発生する可能性がある）の両方によって行われる可能性があることに注目します。
- 変形と圧縮効果:小包の変形と圧力の変化がエネルギー収支に与える影響について議論し、これらの要因が小包に大きな仕事をさせ、その熱的状態に影響を与える可能性があることを強調します。
- 粘性散逸:流体の粘性によって力学的エネルギーが熱に変換される粘性散逸現象は、エネルギー保存を考慮する要因として言及されています。
- 乱流:乱流は、特に乱流運動エネルギー（TKE）の発生と散逸に関して、エネルギー保存にさらなる複雑さをもたらします。乱流においてTKEは重要ですが、発生と消滅の速度がほぼ均衡している特定のシナリオでは無視されることがあります。
全体として、熱力学の原理が、特に空気力学的な文脈で流体小片にどのように適用されるかを説明し、そのような系におけるエネルギー保存を解析する際に考慮しなければならないさまざまな要因を強調することを試みています。
様々な物理量と境界条件の関係
ラグランジュ参照枠における基本的な保存則を調べました。これらの法則がラグランジュでもオイラーでも、5つの方程式が成り立ち、8つの未知数に直面します。これらの未知数は、3つの空間座標（ラグランジュ）または速度成分（オイラー）、そして5つの局所的な物質と熱力学的特性（圧力、密度、温度、分子粘性と熱伝導率の係数）から構成されます。システムを完全に定義するには、さらに3つの構成関係が必要です。空気力学では通常、圧力、密度、温度を関連付ける理想気体の状態方程式、粘度を温度だけに関連付けるサザランドの法則、熱伝導率に関するプランドルの関係などがこれらの関係に含まれます。
包括的なナビエ・ストークス（NS）系は，解析に必要なすべての内部流体物理を包含しています．流体領域の境界に関しては、問題の境界の種類によって適用する境界条件が異なります。流れの境界の場合、NS方程式自体が、流れのシナリオに応じて、どの境界条件が許容されるか、または義務付けられるかを規定しているため、補足的な物理を呼び出す必要はありません。しかし、一般に「壁」と呼ばれる別の材料との境界を扱う場合には、境界条件を正確に定義するために追加の物理的考察が必要になります。
境界条件は、境界または界面におけるシステムの挙動を指定します。境界条件は、物理現象を支配する微分方程式を解くために不可欠であり、システム内の異なる材料または領域間の相互作用をモデル化するためによく使用されます。一般的な境界条件には次のようなものがあります：
- ディリクレ境界条件:領域の境界における従属変数（例：温度、速度）の値を指定します。
- ノイマン境界条件:これらは、境界における従属変数の絶対値ではなく、勾配またはフラックスを指定します。
- ロビン境界条件:混合境界条件とも呼ばれ、境界における規定値と勾配の組み合わせを指定します。
- 周期境界条件:周期的な構造物や流路内の流体の流れのシミュレーションのように、境界が周期的な領域を形成するように取り囲むようなシステムのモデルに使用されます。
- 界面条件:異なる材料または相間の相互作用をモデル化する場合、界面条件は、応力、変位、熱流束などの量が界面全体でどのように関連するかを指定します。
構成関係は、材料または流体内のさまざまな物理量間の関係を記述します。これらの関係は一般的に材料特性に依存し、材料や流体が受ける条件によって異なる場合があります。一般的な構成関係には次のようなものがあります：
- 応力-ひずみ関係:固体力学において、応力（単位面積当たりの力）とひずみ（変形）が材料内でどのように関係しているかを表す関係。材料によって弾性、塑性、粘弾性など応力-ひずみ挙動が異なります。
- 流体の応力-ひずみ関係:流体では、応力（せん断応力、法線応力）とひずみ速度（変形速度）の関係を表す構成関係がよく用いられます。これらの関係には、ニュートン流体では粘度などのパラメータが、非ニュートン流体ではより複雑なモデルが関係します。
- 熱力学関係:熱力学では、圧力、温度、密度などの性質が異なる条件下でどのように関係するかを構成関係で表します。理想気体の法則や実際の気体に対するより複雑な定式化などの状態方程式は、熱力学的構成関係の例です。
- 電磁気的関係:材料科学と電磁気学において、電気伝導率、誘電率、透磁率が電界と磁界にどのように関係するかを説明するのが構成関係。
方程式の数学的特性
提示された方程式系は、5つのフィールドPDEと3つの代数的構成関係からなり、合計8つの未知数です。これらの方程式は、空間において双曲線と楕円の混合した性質を示し、領域全体にわたる解のための境界条件が必要となります。数値解法は時間的に前進できますが、空間的な前進は不可能です。方程式の非線形性により、一般的に重ね合わせによる解は得られません。定常流の解でさえ、時間マーチングや反復処理など、単一の行列反転を超える方法が必要です。このような複雑さについては、CFD の手法との関連でさらに検討する予定です。特に，複数の定常流解が同じ物体形状に対応する場合，NS 方程式の解が一意であるとは限りません．乱流のない解は理論的には存在しますが，高レイノルズ数では力学的に不安定であることが多く，自然界で観測されることはほとんどありません．
前述の課題により、NS方程式の解析解を求めることができるのは、次元が小さく、流体特性が一定である限られた単純なケースに限られます。このような場合であっても、解は慣性の影響を無視できる特定の限定条件下でのみ適用可能です。例えば、平面 2 次元または円形断面のダクトやパイプ内の定常、完全発達流に対する 1 次元解や、低レイノルズ数での円柱や球の周りの流れに対する 2 次元解があります。高レイノルズ数の状況では，境界層理論を用いて，2 次元 NS 方程式の近似解を得ることができます．しかし、より一般的な流れでは、単純化できる仮定がない限り、数値解法が唯一の実行可能な選択肢となります。
オイラーフレーム
オイラーフレームでは、流体が指定された空間フレームワーク内の特定のポイントを通過するときの流体の挙動に焦点を当てて観察します。ラグランジアンフレームワークのように流体の固定された部分が経験する変化をモニターする代わりに、空間座標系に統合された無限小の体積要素内の挙動を観察することに焦点が移ります。オイラー式フレームワークにおけるこれらの体積要素には、それらを通過し境界を越える流体の連続的な流れがあります。この流れは、ラグランジュの枠組みで観察される運動を反映しています。このように視点を変えることで、保存則を適用する際の対流過程の扱いを変える必要があります。ラグランジアンアプローチでは、対流は固定された流体区画の定義によって暗黙のうちに考慮され、保存方程式には区画境界を越える対流を考慮する項はありません。これとは対照的に、オイラー型アプローチでは、体積要素の境界を横切る流体のフラックスが一般的であるため、対流過程は方程式に追加項として明示的に含まれなければなりません。
数学的に, この追加項は
ラグランジュ方程式をオイラー方程式に置き換えると、追加項が発生します：
オイラー方程式は右辺のV – ∇項に由来する対流効果を考慮した項を含んでいます。この概念を説明するために、dVの体積を持つラグランジュ小包の運動量のx成分を見てみましょう。この特定の量に前述の方程式を適用することで、その意味をさらに理解することができます：
式の右辺の 2 番目に現れる項はオイラー方程式における運動量対流を最も基本的な形で象徴しています.学術的な研究でよく見られる別の表現では、密度を微分の外側に移動させることで、ラグランジュの加速度Du/Dtとの関係をより明確にしています。
この代替形式を得るためには、質量保存の原理を呼び出す必要があります。質量保存の原理は、ラグランジュの定式化において、ラグランジュの小包の質量が時間とともに一定であることを主張します。再び実質的な微分の定義を利用すると、次のようになります：
対流過程の詳細
対流の過程を詳しく見てみましょう.対流は2つの区画の境界を共有することで相互に作用するというのはよく知られた事実です.この概念は力学におけるニュートンの第3法則に例えることができ、接触している2つの物体が及ぼす力は等しく、かつ反対でなければならないと規定しています。この平衡が必要なのは、不均衡な力を維持するメカニズムが界面に存在しないからです。境界を共有する2つの流体区画を考える場合、保存量の流束を変化させるメカニズムは存在しないため、一方の区画から流出する流束は他方の区画に流入する流束と等しくなければなりません。一般的なNavier-Stokes定式化では、すべての流れ変数の連続性によってこの相互性が本質的に維持されているため、この相互性を明示的に強制する必要はありません。しかし、不連続を含む特殊な理論、例えば非粘性解における衝撃モデリングなどでは、不連続を越えて保存関係が維持されることを保証するために追加の方程式が必要になります。
保存方程式の対流項には明確な物理的解釈があります.対流がある体積要素に流入する速度と流出する速度の間に不均衡がある場合, 対流は保存量の源として働き, 保存則の中で考慮される必要があります.これらの項は保存量が体積要素に輸送される、あるいは体積要素から輸送される全体的な速度を示しています。質量保存の場合、この正味の対流が、時間の経過に伴う要素内の全質量の変化に寄与する唯一の要因であり、特に要素内への質量流束と要素からの質量流束が等しくなければならない定常流の条件下では重要です。この原理は、局所的な小区画だけでなく、定常流の流管のような大きな体積にまで及びます。正味対流は運動量とエネルギーの保存のバランスを保つ上で重要な役割を果たしますが、流体に作用する外力（運動量とエネルギー）と熱伝導の影響も考慮することが不可欠です。
我々の定式化における運動量とエネルギーのバランスは、流体に作用する重力や電磁力、輻射の吸収と放射による熱伝達などの外部要因の影響を受けることがあります。これらの影響は簡単に説明することができます。さらに、内部非局所効果として知られる、互いに直接接 触していない流体区画間の力やエネルギーの交換も、 バランスに影響を与える可能性があります。しかし、空気力学では、これらの外部効果と内部非局所効果は通常無視できると考えられています。したがって、我々の方程式で表現する必要があるのは、小包と小包の直接接触によって伝達される効果だけです。これには、見かけの内部応力によって表される区画間力や、隣接する流体区画間で交換される伝導による熱流束が含まれます。これらの量は流体材料と物理的に結びついておらず、流体材料とともに対流するものではないことに注意することが重要です。これらの量は参照フレームの速度の変化には影響されず、オイラーフレームでもラグランジュフレームでも同じように見えます。
空気力学で見られる典型的なシナリオでは、流体内の力の主要な伝達は隣接する流体区画間で起こります。同様に、オイラーフレームにおける対流効果も、隣接するオイラー区画間でのみ作用します。したがって、従来の空気力学的な流れでは、「距離による力の伝達」のメカニズムは存在せず、遠隔の「誘導」または類似の効果は除外されます。Biot-Savartの法則は遠隔誘導効果を示唆しているかもしれませんが、ある点の速度が別の点の渦度によって「誘導」または「引き起こされる」と認識するのは誤りです。これは、流体力学の領域における原因と結果の帰属に関連する難題のほんの一例です。
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