体積積分と表面積分の材料微分の数学的解析

体積積分と表面積分の物質微分を分析するために，まず物質微分（実質微分とも呼ばれる）の定義から始めます．そして，数学的表記法とベクトル微積分の概念を使用して，体積積分と曲面積分への適用を検討します．

物質微分

物質時間微分としても知られる微分D/Dtは、実際には、固定された物質点に対する量Bの時間微分です。材料点はt = 0の初期位置ベクトルで定義されることが多く、任意の時間t > 0における材料点の位置ベクトルは次式で与えられます：

任意の材料点 x0 に対して定義されたフロー変数は、B(x₀,t).
したがって、対応する空間記述は B[x(x₀,t),t].
以上の説明から、時間微分には2種類あると言えます：

この2つの導関数の関係は、連鎖律の適用によって求めることができます：

固定された空間位置での時間微分をオイラー時間微分、固定された物質点での時間微分をラグランジュ時間微分と呼びます。

ここで、体積積分の物質微分、すなわちレイノルズの輸送定理について説明します：

上記の定理は、積分自体の極限が時間に依存する場合の微分のライプニッツの法則を拡張したものにすぎません。

微分の通常の定義である「デルタt」が0になる極限を上式の左辺に適用すると、次のようになります：

上の式に次の項を加減します：

方程式は次のようになります：

第2項は

そして 前期 は次のように書き換えることができます：

これは、微分体積要素上のB

上記の積分を求めるために、任意の微分要素dA_m Vの_m

ここでA_m

したがって レイノルズ輸送定理 が成り立ちます：

さらに、上式の右辺の面積積分にガウスの発散定理を適用すると、上式の等価微分形が得られます。

流れ変数B(x, t)の代わりに密度ρ(x ,t)がある簡単な応用の場合を考えてみましょう。すると、質量保存の最終微分形には、前述のガウスの発散定理が適用されます：

表面積分の物質微分：

このセクションでは、体積積分の物質微分の場合に開発したのと同じ概念を適用して、2つの媒体の界面上の界面活性剤濃度拡散方程式の支配方程式を求めます。
ここでは、化学反応または周囲のバルク相液体との間のフラックスによるソースまたはシンクがないと仮定して、材料表面積上の界面活性剤濃度の保存の原理を使用します。そこで

ここで D/Dt は界面上の点の材料微分であり、S_m

ここでも、物質体積に対するレイノルズ輸送定理のセクションで説明したのと同じ手順に従って、体積積分を表面積分に、表面積分を等高線積分に置き換えることに留意すれば、2つの媒体の界面上の界面活性剤濃度拡散方程式を得ることができます：

ここで、u = 界面表面に沿った界面活性剤粒子の速度
Γ＝界面上の界面活性剤の濃度
n_c = サーフェス要素の輪郭に垂直な単位ベクトル
n_t = 表面要素の輪郭に接する単位ベクトル
n = 界面の表面に垂直な単位ベクトル
C_m

ここでn_c は n_c = n_t x n.

ということで、上式の右辺の第2項は次のように書き換えることができます：

ここで、dl = 表面要素の輪郭に沿った要素接線ベクトル。

従って、積分の中の積分は本質的に3つのベクトルΓu、dl、nのスカラー三重積に他ならないことがわかります。 [Γu dl n].

スカラー三重積の性質を利用：

ここで、閉じた輪郭上のストークスの定理を適用することにより、輪郭積分を輪郭に囲まれた曲面積分に変換することができます：

ベクトルの三重積を含む項を評価すると、上記の輪郭積分は次のように書き直すことができます：

そこで、界面の平面上で新しい演算子を次のように定義することができます：

したがって、表面積分の物質微分の右辺の輪郭積分は次のように書くことができます：

したがって、物質微分方程式のこのセクションの最初の方程式は次のようになります：

または

つまり、微分形は

ここで

界面活性剤の速度を2つの互いに垂直な方向、すなわち界面表面に沿った方向と界面表面に垂直な方向に分解すると、次のようになります：

したがって、上記の支配微分方程式は次のようになります：

したがって、拡散がない場合、Γの変化に寄与する2つの項があることがわかります。1つは界面速度の単純対流で、もう1つは希釈項として知られています。拡散項がブラウン運動により発生し、拡散性熱伝導の場合の温度勾配と同様に界面活性剤濃度の勾配として表現できることを考慮し、拡散の寄与を加えると、拡散項を含む界面活性剤濃度拡散方程式の最終形は次のようになります：

本来、この式は、水面上での樟脳粒子の移動の説明など、さまざまなケースで使用することができます。

結論

体積積分と表面積分の物質微分を数学的に解析することで、運動する流体において物理量がどのように変化するかをより深く理解することができます。スカラーまたはベクトル場の体積積分と表面積分の時間的変化を調べることで、流体流れシステムの力学と挙動に関する洞察を得ることができます。