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多くの機械コンポーネントは振動の影響を受ける環境で動作します。コンポーネントの固有周波数が低い場合、共振が発生する可能性があります。 これは、自動車のトリムに対する軽度の迷惑、高精度製造における重大なエラー、土木工学における危険な故障など、さまざまな重大度の影響を与える可能性があります。 このブログ投稿では、形状とトポロジーの最適化を使用して最低固有周波数を最大化し、共振の可能性を低減する方法を示します。 COMSOL Multiphysics の組み込み機能® ソフトウェアでは、勾配ベースの最適化によってこれらの問題を解決できます。
機械共振の概要
機械システムがその周波数成分がシステムの固有振動数と一致する力によって励起されると、機械的共振が発生し、高振幅の振動が発生する可能性があります。 この効果 できる 時計や楽器などで利用される可能性がありますが、このブログ投稿では、機械の疲労問題や土木工学の故障を引き起こす可能性がある不要な共振に焦点を当てます。 共振を軽減するには、アクティブまたはパッシブ防振システムを設置したり、共振を引き起こす行動を避けるようにユーザーに指示したりするなど、いくつかの対策を講じることができます。 たとえば、下の画像に見られるように、ロンドンの有名な橋には、兵士が橋を渡るときに歩幅を崩すよう指示する標識が設置されています。そうすれば、行進の統一されたリズムによって危険な機械的共鳴が引き起こされなくなります。
機械的共振を回避するためのもう 1 つの戦略は、単純に最低固有振動数を増やすことです。 ここでは、最適化によってこれをどのように達成できるかを検討します。
ロンドンのアルバート橋には、共振を避けるために橋の上で足を踏み外すよう兵士に指示する標識が設置されている。 元の画像は Colin Smith によるもので、以下にライセンスされています CC BY-SA 2.0 経由 ウィキメディア・コモンズ。
最適化の概要
すべての最適化問題は、特定の量を改善するために最適化アルゴリズムによって変更される必要があるいくつかの設計変数で構成されています。 目的関数。 他の変数が特定の境界を超えてはいけないという要件も存在する場合があります。 制約。 CAD のコンテキストでは、目的はシミュレーションを使用して計算されることがよくあります。
最適化アルゴリズムでは、次のものを区別できます。
- 無勾配最適化。最適化では目的と制約の値のみを使用して設計変数を更新します。
- 勾配ベースの最適化。最適化では、設計変数の変化に対する目標と制約の影響度も認識されます。
勾配ベースの最適化では、各反復でより多くの情報が得られるため、特に多くの設計変数を伴う問題の場合、大幅に高速になります。 速度の差異が非常に大きいため、最初のアプローチは形状とトポロジーの最適化のほとんどのアプリケーションでは実用的ではありません。 COMSOL マルチフィジックス® は、ここにリストされている両方の最適化タイプをサポートしていますが、このブログ投稿では勾配ベースの最適化に焦点を当てます。
以下の例では、最小固有周波数を最大化することを目的としていますが、環境内で自然に発生している可能性がある不要な周波数までの距離を最大化することもできます。 固有周波数の問題で繰り返し発生するのは、構造に設計対称性が含まれていても、その固有モードが非対称である可能性があるということです。 このため、繰り返しのたびに構造全体をモデル化する必要があります。 ただし、初期設計が対称である場合は、これを次の方法で維持できます。 ミラー対称性 の機能 形状の最適化 または トポロジーの最適化 インターフェース。
形状の最適化
最初の例は、一端が固定されたシェル モデルです。 法線ベクトルの連続性は、境界変形に偏微分方程式 (PDE) ベースの正則化を使用することで維持されます。 \mathbf{d}、トポロジー最適化に使用されるヘルムホルツ フィルターに似ています。
\mathbf{d} = L_\mathrm{min}^2 \nabla^2 \mathbf{d} + \mathbf{c}, \quad ||\mathbf{c}||\leq d_\mathrm{max},
どこ d_\mathrm{最大} は最大変位、 L_\mathrm{分} はフィルターの長さ、 d_\mathrm{最大}/L_\mathrm{分} は変形の最大勾配であり、 \mathbf{c} は境界変形の制御変数フィールドです。 ソリッドの形状最適化を実行する場合、内部要素のスムージング用の PDE もありますが、実際にはすべてが 自由形状ドメイン、 自由形状境界、 そして フリーシェイプシェル の機能 形状の最適化 インターフェース。 これらの機能では、勾配ベースの最適化のみが可能です。 PDE ベースの形状正則化の代わりに、多項式正則化手法を使用したり、平行移動、回転、スケーリングなどのジオメトリに単純な変更を加えたりすることもできます。 (変換とスケーリングの詳細については、電磁気学における形状最適化に関する 2 部構成のシリーズをご覧ください。) 以下のアニメーションは、設計の対称性を維持しながら PDE ベースの正則化を使用した結果を示しています。
シェルのデザインは、最適化履歴を通じてアニメーション化されます。
モード切り替えは、常に最初の 6 つの固有周波数を解き、移動漸近線 (MMA) 法を使用して最小固有周波数を最大化することによって処理されます。
次の例ではソリッド ブラケットを考慮していますが、ブラケットのジオメトリはややシェル状であるため、ブラケット アームの厚さを維持するのが合理的です。 これは、以下を組み合わせることで実現できます。 一般的な押出成形 オペレーター付き 所定の変形 機能 (詳細については、アプリケーション ギャラリーの「ブラケット — 固有周波数形状の最適化」を参照してください)。 それ以外の点では、セットアップは対称性の目的と強化の点で以前のモデルと似ていますが、初期設計はそれほど悪くないため、改善はそれほど劇的ではありません (以下に示すように)。
トポロジーの最適化
勾配ベースの最適化は、トポロジーの最適化を実行するとき、特に トポロジーの最適化 ソフトウェアのインターフェース。 トポロジ最適化の詳細については、ブログ投稿「密度法によるトポロジ最適化の実行」を参照してください。 基本的なアイデアは、空間的に変化する設計変数フィールドを導入することです。 \シータ_c、これは 0 と 1 の間に境界があり、それぞれボイド材料と固体材料に対応します。 構造力学の場合、密度とヤング率 (剛性) をこの変数に依存させることができます。 最小の長さスケールで問題を正規化することが有利であるため、依存関係は明示的ではありません。 L_\mathrm{分}。 密度を補間する必要もあります。 \rho、コリとは別の意味で、 E、剛性重量比が優れているため、設計変数の中間値が最適化された設計を支配するのを防ぎます。 設計変数フィールドと材料特性の関係は次の式で与えられます。
\theta_f &=& L_\mathrm{min}^2\nabla^2\theta_f+\theta_c \\
\theta &=& \frac{\tanh (\beta[\theta_f-1/2])+\tanh (\beta/2 )}{2\tanh(\beta/2)} \\
\rho &=& \rho_\mathrm{mat}\theta \\
E &=& E_\mathrm{mat}(\theta_\mathrm{min}+(1-\theta_\mathrm{min})\theta^{p_\mathrm{SIMP}}),
どこ \シータ_f はフィルタリングされた設計変数、 \ベータ は投影勾配パラメータであり、 p_\mathrm{SIMP} ペナルティ付き固体等方性材料(SIMP)パラメータです。 これらのパラメータは最適化された設計に強い影響を与える可能性があるため、不正な極小値を回避するには、これら 2 つのパラメータのいくつかの組み合わせについて最適化問題を解くことが必要になる場合があります。 つまり、以下に示すビームの例に示すように、最適化問題のパラメトリック スイープが解決されます。 ビームは左側に固定されており、右端で総重量の 15% の重りを支えます。 ビームには 40% の体積制約が適用されます。 トポロジ最適化問題は、パラメータの 5 つの組み合わせに対して解決されます。 (p_\mathrm{SIMP}, \beta)、(1, 2)、(2, 4)、(3, 8)、(4, 16)、および (5, 32) に等しい。 初期の最適化では接続性とグレースケールが不十分になることが予想されますが、これらの非物理的なデザインは、後の最適化では良好な初期デザインを提供します。
トポロジーの最適化を実行するときは、ボディにフィットしたメッシュで検証シミュレーションを実行することをお勧めします。 これは、このモデルのアプリケーション ギャラリー バージョンで実行されており、結果は、生の最適化結果と比較して、より高い固有周波数の点でパフォーマンスが向上していることを示しています。 暗黙の設計表現により、固体とボイドの界面近くで材料の剛性が低下するため、これは予想されることです。
最後に、ここでは 1 つの最適化結果を示していますが、体積分率、追加質量、または最小長スケールに異なる値を使用することで、代替設計を簡単に生成できます。
結論
形状とトポロジの最適化を使用して固有周波数の最大化を実行できます。 多くの場合、対称条件を物理学に課すことはできませんが、最適化を制限して対称設計が生成されるようにすることはできます。 目的が特定の望ましくない周波数までの距離を最大化することである場合、モード切り替えの処理に使用される最大/最小戦略も適用できます。
固有周波数の最大化を実際に体験するには、このブログ投稿で説明されている例をアプリケーション ギャラリーからダウンロードしてください。
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