私たちは、流れ場内の渦度分布を考える際に有用なさまざまな概念を持っています。最初は、渦度が連続的に分布する典型的な現実的シナリオに適用できる概念に焦点を当てます。
渦度がゼロに等しくない領域では、渦度ベクトルに平行に走る空間曲線として渦線を確立することができます。これは、流線が速度ベクトルとどのように整列するかに似ています。その結果、渦度場の中の渦線は、速度場の中の流線に似ています。流線という概念を流管に拡大したように、渦線という概念を渦管に拡大することができます。
渦チューブの境界を横切る渦度フラックスは、その定義に従って本質的にゼロです。さらに、ベクトル、特に速度（そのカールは渦度を表す）のカールの発散は、ベクトルの恒等式に従ってゼロです。その結果、磁束は長さ方向の位置に関係なく、チューブのどの断面でも一定に保たれます。
渦管内の渦度フラックスが一定であることは、渦の伸張に伴う渦度の大きさの変化を支配します。渦管の断面積が減少すると、それが時間的なものであれ、長さに沿ったものであれ、渦度の強さ（渦度ベクトルの大きさ）は強まるはずです。一定量の流体を含む渦管セグメントの場合、断面積の減少は通常、長さの増加、すなわち伸張を必要とします。この伸張は、質量保存との関連で後述するように、流体密度が一定である場合に特に必要となります。その結果、渦チューブの伸張は、一般に局所的な渦度の大きさを増大させます。
渦チューブ内の渦度フラックスが一定であるため、渦の伸張が起こると渦度の大きさが変化する必要があります。渦管の断面積が減少すると、それが時間的なものであれ、長さ方向のものであれ、渦度の強さ（渦度ベクトルの大きさ）は増大しなければなりません。一定量の流体内で断面積の減少に対応するためには、通常、長さの増加または伸張が必要です。
渦フィラメントは、断面の最大寸法が極めて小さい細長い渦管です。渦フィラメントの断面積も限りなく小さいですが、フィラメントの長さに沿って変化すると仮定され、渦チューブの基準を満たすことができます。渦フィラメントの場合、断面を横切る渦度フラックスは、渦度の大きさと断面積の積に等しく、フィラメントの強度として知られています。この強度の定義が、無限小の面積を通る渦度のフラックスであることは、光ビームの強度のような、単位面積あたりのエネルギーフラックスとして定義される他の馴染みのある強度の概念とは異なることに注意することが重要です。ヘルムホルツの第二定理は、渦フィラメントの強度はその長さに沿って一定であると述べています。この強度保存は、渦フィラメントが流体領域内で終端することはできず、閉ループ（渦ループ）を形成するか、領域の境界で終端しなければならないことを意味します。
境界の特性によって、渦フィラメントや渦線がそこで終端することができる可能な方法に制限が課されます。まず、回転しない流れに囲まれた個々の渦フィラメントのユニークなシナリオを調べてみましょう。流れが一定で、境界が流体が通過できない界面である場合、渦フィラメントは境界と垂直にしか交差できません。
この要件は、フィラメントの近傍で、フィラメント自体に垂直な面内で、主に円形の流れの構成を持つ必要性から生じます。この正常な方向からの逸脱は、境界を通る流れがないという条件に矛盾します。
さらに、境界がすべり止め条件を受ける固定された固体表面である場合、フィラメントに垂直な面内の速度成分は表面で減少し、渦度の大きさはゼロに近づかなければなりません。その結果、孤立した渦フィラメントは、すべり止め条件を特徴とする固体表面で終端することができません。
渦度が分布している場合、渦線はスリップを伴う非貫通流境界と交差することがあり、その交差は法線方向でないことがあります。逆に、スリップのない静止表面では、状況はより制限されます。表面では接線速度がゼロなので、表面に垂直な方向の渦度成分もゼロでなければなりません。したがって、渦度の大きさがゼロでない場合、渦線は表面に接する必要があります。この原理は、表面上の渦度の大きさがゼロである分離または付着の孤立した特異点を除き、静止物体周りの粘性流において一般的に成り立ちます。このような場合、渦線は表面と正常に交差しても、法線渦度成分は交点でゼロに近づかなければなりません。その結果、渦線は孤立した特異点でのみ滑りなし表面と交差することができます。上記の例外を無視して、渦線はすべりなし表面とまったく交差できないというのはよくある誤解です。
滑りのない固体表面に渦が近づくと、孤立した一点を除いて、渦線は表面との交差を防ぐために方向を変えざるを得ないことは明らかです。この方向転換の結果、表面に形成される粘性境界層内の渦度に寄与することになります。
1.ここで、高度に集中した渦度を特徴とする流れを理想化して表現するために考案された理論的構成を探ってみましょう。特定の領域に集中した渦度の存在は、後述する特定の流れの解析において重要な役割を果たします。例えば、第8章では、揚力翼の後流で観察される渦度パターンを掘り下げます。この場合、渦度は当初、薄いせん断層内に集中した形で存在し、最終的には、ほぼ回転しない流れに包まれた、2つの異なる、多かれ少なかれ軸対称の渦へと変化します。
2.このような流れ現象の理論モデルでは、これらの渦構造は数学的に薄い集中として単純化されることが多く、せん断層は渦シートとして、渦は線渦として概念化されます。渦度は断面積ゼロの領域に集中するにもかかわらず、これらの理想化された実体は有限の渦度フラックスを示します。その結果、シートまたはラインの位置における渦度分布は、特異または無限でなければなりません。
3.渦シートを扱う場合、通常、シートの有限の幅を積分して、有限の渦度フラックスを決定します。一方、線渦の場合は、線（基本的には点）を横切る1回の積分で、有限の流束を計算することができます。これらの概念を厳密に扱う数学的な枠組みは存在しますが、基礎となる原理を包括的に理解するためには、この理論を詳しく調べる必要はありません。
線渦と渦フィラメントは、一見似ているように見えますが、重要な違いがあります。まず、線渦の断面積はゼロですが、フィラメントの断面積は限りなく小さいです。さらに、線渦の渦度フラックスは有限ですが、フィラメントのそれは無限小です。渦度の特異な分布を表す線渦と、渦度ベクトルに平行で、渦度が連続的に分布する場によく見られる渦線を混同しないようにすることが重要です。
点渦は、2次元平面の流れにおける線渦としても知られ、2次元平面に垂直な両方向に無限に伸びる直線によって特徴付けられます。この構成は、2D平面内に1つの点があるように見えます。線渦は、セクション3.10で詳しく説明するように、ポテンシャル流理論の解を構築する際に基本的な特異点として利用することができます。しかし、より複雑な流れでは、線渦が曲率を示すことがあり、これがユニークな課題となります。曲率がゼロでない、曲がった線渦に沿った任意の点で、渦に垂直な流体速度は無限大になります。その結果、渦線が流れによって輸送される現実的な速度を決定することは不可能になります。実際の流れでは、渦度は連続的に分布し、有限の大きさを持つため、無限速度は発生しません。
速度場と渦度濃度の関連性
高濃度渦度の概念は、渦シートまたは線渦として単純化されることがよくあります。ストークスの定理を利用することで、これらの理想化された渦度分布に対応するために必要な近傍の速度分布を解析することができます。
上図(a)は、2次元流れにおける渦シートを示しています。シートの短い部分を囲む閉じた輪郭にストークスの定理を適用すると、シートを横切る速度の大きさにジャンプがあることがわかります。このジャンプは、局所的な渦度強度、または渦度ベクトルに垂直な方向のシートに沿った単位距離あたりの渦度に等しいことがわかります。この特定の2Dのケースでは、渦度ベクトルは紙の平面に垂直であり、シートに沿った距離は流れ方向に測定されます。この理想化された渦シートに関連する物理的な流れは、(b)とラベル付けされた図に描かれているように、速度ジャンプが有限の厚さに広がるせん断層です。
3次元流れの場合、渦シートを横切る速度ジャンプは、ベクトル的には渦度ベクトルに対して垂直でなければなりません。空気力学の分野では、速度の大きさはジャンプせず、方向だけがジャンプするシートに遭遇することがよくあります。このような場合、速度ベクトルのジャンプは渦度ベクトルに垂直であり、(c)の図のように、シートの両側の速度ベクトルの平均の方向に平行です。もし渦度ベクトルが2つの速度ベクトルの平均に平行でなければ、速度の大きさにジャンプが生じるはずであることが実証できます。
(c)の図のような渦シートは、3次元ポテンシャル流理論でよくモデル化されます。速度ポテンシャルの定義から明らかなように、速度ベクトルのジャンプは速度ポテンシャルのジャンプを必要とします。
物理的なせん断層が効果的に薄い場合、つまり層を横切る流れの変化が他の方向の変化よりもはるかに速く起こる場合、速度ジャンプはほぼ等しい大きさになり、層を横切る渦度の積分に対して垂直になります。
渦度による速度誘導は誤りですか？
工学部の学生であれば、流体力学であれ古典電磁気学であれ、必然的にBiot-Savartの法則に出会います。この法則は、特定の点におけるベクトル場のカールを理解することで、別の点におけるベクトル場の振る舞いを理解できることを示唆しています。
その最初の魅力にもかかわらず、この概念は一般的に原因と結果の関係に関する曖昧さをもたらすため、欺瞞的である可能性があります。さらに、Navier-Stokes方程式を速度から渦度定式化に変換する能力や、流れに障害物を導入するためのポテンシャル流モデルの利用は、Biot-Savartの原理が示唆するように、渦度が速度を引き起こすという広く信じられている信念をさらに裏付けるものです。
誤りはここにあります。重力や電磁力がない場合、通常の流体の流れには遠方への作用はありません。Biot-Savartの法則のような数学的関係によって、離れた点の速度場に関する定量的、定性的な詳細を推測することができるのは事実ですが、流体力学においては、物理を正確に描写するものではありません。したがって、直接的な因果関係は、古典的な電磁気学における対応関係に比べて、この文脈ではやや誤解を招きやすいと言えます。
Biot-Savartの法則は定量的な計算には有益です。しかし、特定の点における渦度を理解することで、別の点における速度に関する情報を推測できるという定性的な概念は、それ自体の価値を保持しています。この概念は、流れ場を理解するための最も有力なツールの1つです。とはいえ、その強力さとは裏腹に、原因と結果を判断する際にしばしば混乱を招くという諸刃の剣でもあります。
この問題は、渦度が「入力」とみなされる一方で、流速が「出力」とみなされるため、渦度から推定される流速を誘導流速と呼ぶのが一般的であるという事実に起因します。このため、渦度が速度を “決定 “する “原因 “になっていると考えがちです。しかし、この考え方は間違っています。重大な重力や電磁気的な物体力がない場合、通常の流体の流れでは遠距離での作用はありません。重要な力が伝達されるのは、隣り合う流体小片が直接接触する場合だけです。
したがって、点Aでの渦が離れた点Bでの速度を直接「引き起こす」ことはできません。ビオ・サバートは単にベクトル場とそのカールの間の数学的関係であり、流体力学においては、直接的な物理的因果関係を示すものではないことを忘れてはなりません。この点は最も重要ですが、文献ではまだ十分に強調されていません。この問題について、他の著者の視点を探るのは興味深いことです。空力学者は、”誘導速度 “や “誘導 “といった用語を自由に使うことで、混乱を助長してきました。これらの用語は、Biot-Savartの法則が適用され、磁場が電流によって “誘導 “されるとされている古典電磁気学という別の分野に由来しています。電磁気学では、遠距離で真の作用が起こると考えられているため、この用語は適切であり、「誘導」という用語は物理的に適切です。しかし流体力学では、直接的な因果関係はありません。私たちは、渦度は発生し、輸送され、拡散するものだと理解しています。これは、流れ場に渦度が存在する理由を説明するものであり、渦度が発生する原因というよりは、全体的な流れのパターンを示すものとして機能します。
流れのパターンの存在を明らかにするためには、関係する実際の物理学、具体的には、与えられた場所における流体要素内の力の均衡を参照する必要があります。