この投稿の目的は、方程式を数学的に導くことではなく、方程式のさまざまな用語の意味を簡潔かつ直感的に説明することです。さらに、流れの特徴に関する方程式から推測できる包括的な概念のいくつかを分析することも目的としています。
私たちが利用する基本方程式は、質量、運動量、エネルギー保存の原理を表現したものです。これらの原理は、ラグランジュ参照枠内で最も効果的に表現され、理解されます。ここでは、時間の経過とともに変化しない流体小片の経路に関連する運動を描きます。
とはいえ、流体とは独立した空間参照枠内の点を通過する流れを記述するオイラー参照枠は、概念的および定量的な理由から、最終的には好ましい選択肢です。この文脈で私が採用する方法は、ラグランジュフレームにおける保存則の重要性を簡単に説明した後、オイラーフレームにおいて保存則がどのように明確化されるかについての議論に移行することです。
ラグランジュとオイラーの両方の観点から、それぞれ異なる定義ではありますが、小さな流体体積の挙動を調べます。偏微分方程式(PDE)として保存則を導出することは、流体区画を限りなく小さな次元に近づける正式なプロセスを伴います。本講演ではこの手順の詳細には触れませんが、読者の皆様には、どちらの参照フレームにおいても流体区画は任意に微小なものとして概念化されるべきであることを覚えておいていただくことが重要です。
Lamb(1932)は固定ラグランジュ流体区画の定義を提供しており、それは時間を通して同じ流体粒子のみで構成されていると述べています。この一貫性を維持するためには、区画の境界面は、流体粒子がその境界面を通過しないように流体とともに移動する必要があります。しかし、この概念は、私たちの概念的な連続体の世界でのみ成り立つ理想化であることを認識することが重要です。現実には、分子は必然的にこのような境界を両方向に拡散します。私たちにできる最善のことは、境界が流体の平均的な動きに従うようにすることであり、その結果、境界を越えて物質が正味で移動することはありません。どのような観点から見ても、小包は常に同じ量の物質を含み、境界面を横切る物質の正味の流出はありません。質量拡散を無視するこのアプローチは、相対的な化学種濃度が一定である単一化学種流体または多種化学種流体の場合に有効です。しかし、相対的な種濃度が大きく変化する場合は、ラグランジュ流体区画の定義が問題になります。当面は、このラグランジュ記述の小さな制限を見過ごして、議論を進めます。
前述のように、質量、運動量、エネルギーには保存則があります。これらの量は物理学と熱力学の基本であり、保存が必要だからです。圧力や粘性応力はその性質上、保存則を持ちません。質量、運動量、エネルギーは流体材料と複雑にリンクしており、流体材料と共に対流します。これらの対流量はラグランジュ流体区画に関連付けられ、区画内の量の変化は区画内またはその境界での物理的プロセスによってのみ発生することを意味します。保存則はこれらの変化を定量化する役割を果たし、ラグランジュの視点における質量、運動量、エネルギーの保存を理解するための枠組みを提供します。
流れの連続性-質量保存則
ラグランジュ記述における流体区画の正確な定義によれば、区画内の質量保存は本質的に保証されています。しかし、質量の保存を明示的に保証する方程式は、さらなる役割を果たす必要があります。連続方程式は、さまざまな点での流体密度とそれが占める体積の間の関係を確立し、それによって2つの本質的な基準を満たします：
- 質量の保存は、すべてのラグランジュ小区画の基本原理であり、小区画の定義された特性に従っています。
- ラグランジュ小区画の間に空白はなく、隣り合う小区画が交差することはありません。流体体積全体が、質量保存を維持するラグランジュ小区画で完全に満たされていると考えることが重要です。
ラグランジュ記述の連続方程式は、物理的な意味で簡単に理解することができます：流体の小包の体積が変化すると、小包の質量を一定に保つために流体の密度も変化しなければなりません。
連続の方程式の基礎は物理的なものですが（上記の要件1と2）、連続の方程式が流れに課す要件は、他の方程式が課す要件ほど直接的な因果関係ではありません。例えば、運動量保存式では、力が直接加速度を引き起こします。
流体粒子の力と運動量保存則
ラグランジュ参照枠では、運動量の保存はニュートンの第2法則、F = maによって明示的に強制されます。私たちのラグランジュ流体小包は一定の質量を持ち、その加速度はその小包に作用する力の累積効果によって決まります。
重力や電磁力などの外力が小包に作用することがありますが、航空力学では通常、これらの力は重要でないと考えられています。主に、隣接する区画が区画の表面に及ぼす力に注目します。ニュートンの第三法則によれば、これらの表面力は共有境界を越えて等しく、かつ反対でなければなりません。これらの力は、見かけ上の内部流体の「応力」と呼ばれます。これらの応力は、理想化された連続体の世界では分布応力と見なすことができますが、実際には分子運動による運動量移動から生じる見かけ上の応力に過ぎないことが認識されています。それでも、今後は実際の応力として扱います。
以前の「CFDのすべて」-「空気力学の基礎」の投稿では、これらの応力をテンソルとして表現する概念を検討しました。このアプローチは、数学的な操作に関しては有利であることが証明されています。しかし、物理的な理解を得るためには、力ベクトルで考える方が直感的です。応力テンソルを区画間の仮想的な境界に垂直な単位ベクトルで縮めることで、境界を横切って作用する単位面積あたりの力を表すベクトルが得られます。さらに、このベクトルを、境界に垂直な成分と平行な成分の2つに分解することができます。NS方程式の文脈では、垂直成分は局所的な静水圧と仮定され、しばしば静水圧と呼ばれます。一方、平行成分はせん断応力と呼ばれ、粘性の影響のみから生じます。
圧力を直感的に理解することは、連続体流体力学に固有の性質であるため困難です。圧力は、空間内の特定の点を包含する仮想的な境界に作用する法線応力として視覚化することができます。
スカラー量であるにもかかわらず、圧力は与えられた点ですべての方向に一様に力を及ぼします。当初、この概念を理解することは難しいかもしれません。Anderson and Eberhardt (2001)などの一部の論者は、静圧を「流れに平行に測定された圧力」と誤って定義しています。
しかし、この記述は、流れの方向に影響されず、あらゆる方向に均一に作用する圧力の本質に反しています。圧力を理解するためのより直感的なアプローチとしては、小さいけれども有限な流体小区画への影響を考えることが挙げられます。圧力が一定の場の中で、この小区画は周囲の流体から全方向に等しい内向きの力を受けます。
小区画に加速度を発生させるには、小区画のすべての面に作用する応力の合計がゼロ以外のベクトル和になる必要があります。小包の反対側の面の応力は反対方向に作用し、その大きさが等しい場合は相殺されます。圧力が一定の場では、法線応力は打ち消し合い、その結果、不均衡な力は生じません。不均衡な力を発生させるには、区画の反対側の応力の大きさが異なる必要があり、不均一な圧力または粘性応力が必要になります。
その結果、不均衡な力は応力そのものに依存するのではなく、応力勾配に依存することになります。これは通常、不均一な流体の流れを伴います。力が流体区画とその隣接区画の運動に影響されることを考えると、応力と速度の因果関係は円形になり、解析が複雑になります。このテーマについては、次回の「CFDのすべて」シリーズの “空気力学の基礎 “でさらに詳しく説明する予定です。
小包の加速度は運動量の方程式によって支配されるため，小包の速度を求めるには方程式を積分する必要があります．このシリーズの後続のセクションでは、非粘性流体の定常的な流れについて運動量の方程式を積分すると、非常に価値のある流れの関係式であるベルヌーイの方程式になることを示します。