기계적 충격의 해부학 – 1부

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요약

이 토론 시리즈의 첫 번째 파트에서는 수작업 계산과 단단한 표면에 낙하하는 물체의 시간 의존적 응답 사이의 관계와 해당 충격 기간 동안 발생하는 처짐 및 응력 사이의 관계를 탐색하고 검증합니다. 아래에서 설명하는 개념은 ANSYS Mechanical을 사용하여 과도 구조 해석을 설정하고 해결하는 방법을 이해하는 데 필수적인 개념입니다.

그림 1: 충격 중 철근(과장된 처짐 스케일 포함).

그림 1은 낙하 후의 바를 예로 들어 충격이 가해지는 동안 어떤 일이 일어나는지 보여줍니다. 이 문서의 나머지 본문에서는 이러한 유형의 시스템을 설정하고 분석하는 방법을 살펴보고 일반적인 수작업 계산과 진행 상황을 비교합니다.

다음은 이 논의에서 다루는 주제 목록입니다(등장하는 순서대로):

• 잠재 에너지
• 탄성 에너지
• 방향 강성
• 정적 구조 분석
• 평균 압축력
• 운동 에너지
• 충격 속도
• 영향 기간
• 자연 주파수
• 모달 유효 질량
• 과도 구조 분석
• 분석 기간
• 시간-단계 빈도
• 복잡한 과도 변위 및 응력 결과
• 평균 압축 응력

세부 정보

저는 수작업 계산과 한 물체가 다른 물체에 충격을 가하는 등의 동적 이벤트에서 발생하는 최대 처짐 및 응력 결과 사이의 관계를 탐구하기 시작했습니다. 저는 가정을 검증하고 이러한 동적 이벤트에 대해 더 자세한 정보를 제공하기 위한 수단으로 ANSYS Mechanical을 사용했습니다. 저는 유한 요소법에 대한 믿음을 가지고 있으며 그 결과를 여러분과 공유할 수 있기를 기대합니다.

저는 원통형 막대를 딱딱한 표면에 떨어뜨리는 간단한 예제로 탐구를 시작했습니다. 이 시나리오와 이 논의와 관련된 모든 시나리오에서는 탄성 재료의 거동이 있고 어떤 하중도 가소성이나 손상을 일으키지 않는다고 가정합니다. 이는 지오메트리 내에 에너지 보존이 있다는 것을 의미합니다.

이 과정에서 저는 일련의 가정을 세우고 유한 요소 분석을 수행하여 이러한 가정을 검증하거나 이의를 제기했습니다. 이 과정에서 더 많은 질문을 하고, 분석하고, 더 많은 답을 얻게 되었습니다. 결국 저는 이 역동적인 사건의 여러 측면을 자신 있게 설명할 수 있게 되었고, 이 모든 것을 가능한 한 간결하게 제시할 것입니다.

가장 간단한 아이디어부터 시작하겠습니다.

이 첫 번째 예는 원통형 막대를 딱딱한 표면에 떨어뜨리는 것을 살펴봅니다. 막대의 지름은 25.4mm, 길이는 254mm, 질량 밀도는 7.85e-06입니다. [kg/mm³]. 이 막대는 바닥면에서 1미터 떨어진 곳에서 떨어집니다.

그림 2: 원통형 바

이 상황에서 위치 에너지는 탄성 에너지와 같아야 합니다.
포텐셜 에너지:

탄성 에너지:

떨어지는 원통의 포텐셜 에너지와 탄성 에너지를 동일시하여 처짐을 정확하게 예측할 수 있는지 알아봅시다.

막대가 음의 Y 방향으로 이동하도록 떨어뜨린다고 가정해 봅시다. 따라서 첫 번째 단계는 Y 방향에서 지오메트리의 강성을 결정하는 것입니다.

우리 모델의 경우, 이 강성은 이론적으로 도출할 수 있을 뿐만 아니라 유한 요소법을 사용하여 알려진 하중을 가하고 이 하중을 계산된 Y 방향 처짐으로 나누는 방법으로도 도출할 수 있습니다. 이를 통해 유한 요소 추정 결과를 이론적으로 도출된 값과 비교하고 방법론에 대한 신뢰도를 높일 수 있습니다.

이론적 강성을 도출해 봅시다. Y 방향의 경우 다음 공식이 적용됩니다:

이제 두 가지 다른 방법으로 유한 요소 해석을 통해 지오메트리 강성을 계산하여 다양한 유형의 하중과 관련된 다양한 고려 사항을 이해해 보겠습니다.

여기서는 원통의 원위 끝에 힘을 가하면서 받침대의 반력이 원통 위에 가해진 힘과 크기가 같고 부호가 반대인 고정 받침대를 고려합니다. 재료 특성이 선형이고 지오메트리 비선형성(큰 변형)을 고려하지 않는 한 이 압축 하중의 크기는 중요하지 않습니다.

그림 3: 상단에서 하중을 받고 하단에서 지지되는 막대의 정적 구조 분석.

이 시나리오에서는 상단 표면에 9.9079N의 하중이 가해지고 하단 표면은 Y 변위로부터 고정됩니다. 이 하중의 크기는 나중에 더 명확해질 것입니다.

그림 4: 정적 구조 처짐 결과

정적 구조 해석을 풀면 압축 처짐의 최대 크기가 2.4833e-5mm로 나타납니다. 9.9079N의 하중을 기준으로 다음과 같은 평균 강성을 계산할 수 있습니다.

유한 요소 접근 방식이 이론적 접근 방식과 0.00125%의 차이밖에 나지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 우리를 기분 좋게 만듭니다 😊

다음으로 중력 하중과 같은 다른 유형의 하중을 고려해 보겠습니다. 여기에서는 위쪽 표면에서 힘이 제거되었지만 아래쪽 표면은 구속된 상태로 유지되고 중력은 9806.6mm/sec^2로 적용됩니다. 바닥면의 반력은 9.9079N이지만 윗면에 작용하는 힘은 거의 확실하게 0입니다. 처짐 결과는 1.2421e-5mm의 다른 처짐 크기를 보여줍니다.

그림 5: 정적 구조 분석 처짐 결과

위와 같은 형태의 방정식으로 강성을 계산하려고 하면 지오메트리를 통해 작용하는 평균 압축력을 고려하지 않기 때문에 잘못된 값에 도달하게 됩니다. 이 경우 지오메트리의 단면적이 일정하기 때문에 평균 압축력을 쉽게 추정할 수 있으며, 다음과 같이 평균 강성을 계산할 수 있습니다.

이 추정치는 이론적으로 계산한 값과 0.0348%의 차이를 보여줍니다. 따라서 두 가지 다른 로딩 방법을 통해 지오메트리 방향 강성을 자신 있게 추정할 수 있습니다.

추정된 방향 강성을 모델 및 재료 특성과 함께 대입하면 아래의 최대 처짐을 추정할 수 있습니다.

약 0.223mm입니다. 이제 원통형 막대가 지면과 충돌할 때와 그 이후의 처짐을 시뮬레이션하기 위한 과도 구조 모델이 필요합니다.

그림 6: 과도 구조 분석 모델 및 제약 조건

이 모델에서는 바가 음의 Y 방향으로 초당 4428mm로 움직인다고 가정합니다. 이는 이 막대를 1m 떨어뜨렸을 때 도달할 수 있는 속도입니다. 샤프트의 위치 에너지와 충격 순간의 운동 에너지를 동일시하여 이 속도를 계산할 수 있습니다.

운동 에너지:

따라서

지오메트리의 수직 높이를 유지하기 위해 제약 조건이 추가되고, 압축 전용 서포트가 베이스에 추가됩니다. 분석 기간은 결과 수집을 위한 빈번한 캡처 속도와 함께 정의됩니다(자세한 내용은 나중에 설명).

충격 후 바의 상단이 아래쪽으로 휘어지면서 압축 전용 지지대와 관련된 강성으로 인해 바의 하단이 약간 압축될 수 있기 때문에 분석 결과가 복잡해집니다. 바의 전체 압축을 설명하는 것은 이 두 표면 사이의 처짐 차이입니다.

그림 7: 과도 구조 처짐 결과

파란색 선의 평평한 주기인 ‘충격 영역에서의 막대 변형’은 베이스에서 접촉이 발생하는 기간 또는 충격과 관련된 체류 시간을 나타냅니다. 이 기간에 초점을 맞춰 데이터를 다시 플롯하면 몇 가지 관찰을 더 쉽게 할 수 있습니다.

그림 8: 과도 구조 압축 변형 결과

막대 상단과 하단 표면 처짐의 차이를 나타내는 녹색 선을 추가하여 시간의 함수로서 막대의 총 압축을 나타냈습니다. 두 개의 수직 점선은 주황색 및 녹색 선의 최소 결과와 관련된 시간 간격을 나타냅니다. 막대의 최소 압축은 막대 상단의 최소 압축과 동시에 발생한다는 것을 알 수 있습니다. 이를 통해 막대의 최대 압축을 0.216mm로 추정할 수 있으며, 이는 예상 최대 처짐인 0.223mm보다 3% 미만으로 작습니다.

그러나 이 예와 그 결과에서 탐구하고 배워야 할 것이 더 많습니다.

이제 과도 구조 분석을 설정하는 측면을 살펴보고, 이벤트와 관련된 기간을 구체적으로 다루고 지오메트리에 대해 이 기간을 어떻게 추정할 수 있는지 알아봅시다.

파란색 선이 음의 변위에서 양의 변위로 교차하는 시간(0.00010026 초)을 살펴보면 샤프트의 압축과 관련된 기간과 동일합니다.

샤프트는 튀어 오르는 스프링으로 간주할 수 있습니다. 충격 지속 시간은 압축 방향의 고유 진동수 주기의 ½을 반영합니다. 따라서 다음이 사실이어야 합니다.

이제 이 이론을 뒷받침할 수 있는지, 그리고 이에 대한 고유 진동수를 추정하는 방법과 향후 분석하고자 하는 지오메트리를 살펴 보겠습니다.

위의 테스트 모델에 적용된 “압축 전용” 서포트를 변경하여 동일한 표면에 Y 방향 제약 조건을 적용하고 ANSYS에서 세로 진동 주파수를 직접 풀 수 있습니다.

그림 9: 모달 분석 기본 주파수

여기서 세로 진동 주파수가 4967.4Hz임을 알 수 있습니다. 이는 과도 구조 변위 결과를 기반으로 한 고유 진동수 추정이 0.4% 이내로 정확했음을 보여줍니다. 이 결과는 충돌하는 두 물체 중 더 부드러운 물체에 대한 충격 지속 시간이 기본 주파수 주기의 ½과 같다는 이론을 확인시켜 줍니다.

그림 10: 충격 주기

예제 분석에서는 부품이 하나뿐이고 압축된 수직 지지대만 다른 매우 단단한 물체를 나타낸다고 가정합니다. 따라서 이 두 충격 파트너 중 샤프트가 더 유연합니다. 과도 구조 분석은 이 고유 진동수의 주기와 동일한 분석 기간을 갖도록 정의되었으며, 이 기간의 첫 절반 동안 충격이 발생할 것으로 예상합니다.

하지만 과도 구조 분석을 설정하는 경우 이 고유 진동수를 어떻게 계산할 수 있을까요?

방금 설명한 대로 지오메트리의 모달 분석을 수행하면서 제약 조건을 사용하여 충격 자세를 유지하고 충격 압축의 모드 모양을 직접 해결할 수 있습니다. 하지만 동일한 작업을 수행할 수 있는 분석적 방법이 있을까요?

이를 탐색하려면 충격 방향에 대한 지오메트리의 고유 진동수를 계산해야 하며, 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

방향 강성을 추정하는 방법을 이미 살펴봤지만 이제 모달 유효 질량을 더 잘 이해하기 위해 몇 가지 예를 살펴봅시다.

우리 시스템의 총 질량은 다음과 같습니다:

지오메트리의 한쪽 끝이 제약되어 있으므로 시스템의 유효 질량은 총 질량보다 작을 것입니다. 지오메트리의 복잡성과 지오메트리를 고정하는 데 사용되는 제약 조건에 따라 참여할 질량의 양을 추정하기 어려울 수 있습니다. 우리의 경우 지오메트리가 단순하고 한쪽 끝이 고정된 돌출 단면의 경우 유효 질량은 종종 시스템 전체 질량의 1/3에 해당하는 것으로 도출됩니다. 이 경우 다음이 기본 주파수가 됩니다:

더 잘 알아볼 수 있는 표현은 다음과 같습니다:

이 값(5478Hz)은 유한 요소법으로 계산한 고유 진동수(4967.4Hz)보다 10% 이상 큰데… 그 이유는 무엇일까요?

답은 모달 유효 질량 추정과 관련이 있습니다. 종방향 강성 계산에 자신감이 있다면(…) 모델 설정을 변경하여 기본 주파수 계산을 더 쉽게 검증할 수 있습니다.

모델의 재료 질량 밀도를 0으로 설정한 다음 지오메트리의 원위 끝에 1.01031kg의 질량을 추가하면 다음과 같은 고유 진동수가 생성됩니다.

유한 요소 분석을 실행한 결과, 기본 종방향 주파수가 3154.6Hz임을 알 수 있습니다.

그림 11: 모달 분석 기본 주파수

이는 수작업 계산과 0.27%의 차이를 반영합니다. 따라서 유한 요소법에 대한 신뢰도를 높이고 지오메트리 전체에 분산된 질량을 활용하여 수작업 계산에 사용된 유효 질량 추정에 약점이 있음을 확인했습니다.

방정식을 다시 정리하면 다음과 같이 분산 질량을 고려하면서 ANSYS에서 계산한 고유 진동수를 고려하여 이 유효 질량을 구할 수 있습니다:

이 유효 질량은 시스템 전체 질량의 0.405입니다.

따라서 다른 복잡한 지오메트리의 경우 이 질량 분율은 이론적으로 도출하기 어렵고 유한 요소법을 사용하여 고유 진동수를 안정적으로 풀 수 있을 것으로 예상할 수 있습니다.

이제 주어진 지오메트리의 고유 진동수를 결정하는 방법을 이해했으므로 과도 해석 중에 어떤 주파수로 해석 결과를 수집해야 하는지 결정해야 합니다.

이를 위해 분석 단계 크기가 분석에 미치는 영향을 두 가지 관점에서 고려해야 합니다. 한 가지 관점은 사인파와 같은 비선형 응답의 단편적인 선형 특성화를 사용하여 무엇을 기대할 수 있는지에 대한 관점입니다. 다른 관점은 캡처율 주파수의 변화에 따라 실제 분석 결과가 어떻게 변화하는지에 관한 것입니다. 충격 문제를 고려하고 있고 충격 주기가 유연한 구성 요소의 기본 진동과 관련이 있다고 가정했기 때문에 스텝 크기와 사인 곡선을 나타내는 정확도에 미치는 영향 사이의 관계를 탐색하는 것이 합리적입니다.

이 관계를 평가하기 위해 정현파 곡선의 전반부에 대한 크기의 가중 평균을 동일한 스팬의 이론적 평균과 비교해 보겠습니다:

이제 다른 단계 수를 사용하여 이 사인 곡선을 얼마나 정확하게 표현하는지 살펴본 다음 사다리꼴 규칙을 사용하여 전반부의 곡선 아래 면적을 계산한 다음 그 면적을 해당 스팬의 주기로 나눕니다.

그림 12: 4단계, 예상 가중 평균=0.5, 21.46% 차이

그림 13: 8단계; 예상 가중 평균=0.60536; 5.19% 차이

그림 14: 16단계, 예상 가중 평균=0.6284, 1.29% 차이[그림14:16단계예상가중평균=06284129%차이

그림 15: 32단계, 예상 가중 평균=0.6346, 0.32% 차이[그림15:32단계예상가중평균=06346032%차이

그림 16: 512단계, 예상 가중 평균=0.6366, 0.001% 차이[그림16:512단계예상가중평균=063660001%차이

실제로 이론값과 완벽하게 일치하는 것은 불가능하며, 아래 그림과 같이 시간 단계 수가 증가함에 따라 이 정확도가 어떻게 변하는지를 플로팅할 수 있습니다.

그림 17: 예상 평균 크기 수렴 플롯

이 조사에서 근사치의 단계 수를 늘릴수록 정확도가 빠르게 증가한다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 이는 시간 단계 수가 증가함에 따라 결과가 어떻게 전개되는지는 고려하지 않았습니다.

분석 결과에 미치는 영향을 살펴보기 위해 솔루션에 정의된 다양한 시간 단계 수를 고려하면서 최대 막대 압축 결과를 시간에 따른 함수로 플롯해 보겠습니다.

그림 18: 4개의 시간 단계를 고려한 로드 변위.

그림 19: 8개의 시간 단계를 고려한 로드 변위.

그림 20: 16개의 시간 단계를 사용하면 로드 압축 변위가 더 커지는 것을 볼 수 있습니다.

그림 21: 32개 시간 단계를 사용한 과도 최대 로드 처짐.

평균 정현파 크기를 계산한 이전 분석에 따르면 32단계를 고려하면 이론 결과와 최대 0.32%의 차이를 예상해야 한다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 이전 시간 단계 탐색에 비해 막대 압축 변위 응답이 여전히 형성되고 있음을 알 수 있습니다. 시간 단계를 추가로 고려하면 어떻게 될까요?

그림 22: 64개의 시간 단계를 사용한 과도 최대 로드 처짐.

64 시간 단계는 약간 더 크지만 대부분 비슷한 최대 압축 막대 편향을 생성하지만 막대가 반동하는 동안 더 높은 주파수 진동이 발생하는 징후가 있습니다.

그림 23: 128개 시간 단계를 사용한 과도 최대 로드 처짐.

128개의 타임 스텝을 고려하면 더 적은 수의 타임 스텝에 비해 샤프트의 최대 압축이 더 큽니다. 최대 압축 처짐은 32개의 시간 단계를 고려할 때보다 6% 더 큽니다.

그림 24: 최대 512개의 시간 단계를 사용한 과도 최대 로드 처짐.

256개의 시간 단계 분석 결과와 512개의 시간 단계를 고려한 결과를 비교하면 더 많은 시간 단계를 고려할수록 동적 응답의 해상도를 더 높일 수 있음을 알 수 있습니다. 다음 차트는 과도 구조 해석에서 고려하는 시간 단계의 수에 따라 최대 압축 막대 처짐이 어떻게 변할 것으로 예상할 수 있는지 보여줍니다.

그림 25: 최대 로드 압축 변위와 해석 시간 단계 수 비교

결국, 주어진 메시 크기에 대해 분석 시간이 길어지고 결과 파일이 커지는 데 드는 노력이 결과 크기의 큰 변화로 정당화되지 않는 수익 감소 지점에 도달하게 됩니다.

이 두 가지 고려 사항을 바탕으로 32개의 시간 단계를 사용하면 최대 0.32% 차이의 사인 곡선을 특성화할 수 있지만 512개의 시간 단계를 사용한 동일한 분석에 비해 94% 정확도의 변위 결과만 생성할 수 있으며 이론적 최대 처짐과 비교하면 91% 이내의 정확도만 얻을 수 있음을 알 수 있습니다. 아래 그림에서 최대 막대 압축 결과가 이론적으로 추정된 최대값과 어떻게 비교되는지 확인할 수 있습니다.

그림 26: 최대 로드 압축 변위와 분석 시간 단계 비교

시간 단계의 수가 증가할수록 유한 요소 해석 결과와 이론적으로 도출된 값 간의 일치도가 증가합니다.

그림 27: 이론적 최대 처짐과의 백분율 차이

이 그림에서 시간 단계 수가 64~128 사이일 때 수렴을 향해 급격히 개선되지만 시간 단계 수가 늘어날수록 변화가 거의 없는 것을 볼 수 있습니다.

그렇다면 스트레스와 같은 다른 결과와 관련하여 이 모든 것이 무엇을 의미할까요?

아래에서는 몇 가지 분석 시나리오에 대한 시간당 최대 폰 미제스 스트레스를 플롯해 보겠습니다.

그림 28: 32개의 시간 단계를 푸는 동안의 폰 미제스 스트레스

그림 29: 64개 시간 단계를 푸는 동안의 폰 미제스 스트레스

그림 30: 128개 시간 단계를 푸는 동안의 폰 미제스 스트레스

그림 31: 256개 시간 단계를 푸는 동안의 폰 미제스 스트레스

그림 32: 512 시간 단계를 푸는 동안의 폰 미제스 스트레스

요약하면, 스트레스를 볼 때 보이는 것은 다음과 같습니다:

그림 33: 최대 로드 압축 변위와 분석 시간 단계 비교

시간 단계의 수가 증가함에 따라 최대 충격 응력이 커지고 충격이 시작될 때 가장 큰 값을 나타내며 이벤트 전반에 걸쳐 작아지는 것을 볼 수 있습니다. 막대의 평균 응력은 0에서 최대 압축 시 피크까지 상승했다가 충격이 끝난 후 다시 0으로 떨어집니다. 아래에서 이러한 최대 평균 응력을 플롯할 수 있습니다.

그림 34: 최대 로드 압축 변위와 분석 시간 단계 비교

이러한 최대 평균 응력을 원근법으로 계산하기 위해 다음과 같이 로드에 대한 이론적 최대 평균 응력을 계산할 수 있습니다:

최대 평균 응력을 이론적으로 계산한 최대 평균과 비교하여 다시 플롯하면 다음과 같이 % 차이를 요약할 수 있습니다:

그림 35: 최대 로드 압축 변위와 분석 시간 단계 비교

다시 한 번 처짐과 마찬가지로, 이벤트에 대해 64~128개의 시간 단계를 고려하는 동안 이론적으로 계산된 최대 평균 응력과 비교한 최대 평균 응력의 백분율 차이가 크게 개선되었음을 인정합니다. 그러나 더 많은 시간 단계를 사용해도 결과의 정확도는 거의 개선되지 않았습니다.

결론

탄성 물체를 딱딱한 표면에 떨어뜨리는 것과 같은 동적 이벤트의 최대 처짐과 평균 응력을 추정하는 데 사용되는 에너지 방법이 합리적인 결과를 얻을 수 있으며, 충격 방향에 대해 계산된 충격 물체의 고유 진동수와 동일한 주기의 이벤트에 대해 64에서 128 시간 단계를 고려하는 동안 정확도가 가장 크게 향상된다는 것을 확인했습니다. 또한 이 고유 진동수를 근사화하는 가장 좋은 방법은 수작업 계산이 아니라 유한 요소법을 사용하여 모달 분석을 수행하는 것인데, 특히 참여하는 모달 유효 질량의 양을 쉽게 구할 수 없기 때문이라는 사실을 발견했습니다.

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