두 커패시터 역설은 전기 회로 모델링의 한계를 드러내기 위해 설정된 도발적인 사고 실험으로, 이 역설을 해결하기 위한 다양한 방법이 고안되었습니다. COMSOL 멀티피직스에서 모델링할 수 있는 한 가지 솔루션을 추가해 보겠습니다.® 소프트웨어에서 더 도발적인 질문을 던지고 답을 찾아보세요: 커패시턴스와 인덕턴스가 존재할까요? 시작해 보겠습니다!
두 커패시터의 역설
이 사고 실험은 일반적으로 다음과 같이 제시됩니다: 정전 용량을 가진 두 개의 등가 커패시터로 구성된 장치를 생각해 보겠습니다, C사이에 개방형 스위치로 병렬로 연결됩니다. 모든 전선과 커패시터는 저항이 전혀 없는 이상적인 무손실 재료로 만들어졌습니다. 커패시터 중 하나는 전위로 충전되어 있습니다, V_i이므로 저장된 전하량은 Q = CV_i. 다른 커패시터에는 전위차가 없으므로 저장된 전하가 없습니다. 스위치를 닫으면 어떻게 되나요?
두 커패시터 역설의 도식. 하나의 커패시터에는 플레이트 사이에 전위차가 있습니다. 스위치가 닫히면 어떻게 될까요?
이 사고 실험의 일부 프레젠테이션에서는 첫 번째 커패시터의 전하가 두 번째 커패시터로 흘러들어가 정상 상태에 도달할 때까지 첫 번째 커패시터의 전위차는 감소하고 두 번째 커패시터의 전위차는 증가한다고 주장하며, 이 시점에서 두 커패시터와 절반의 전위차가 동일해집니다. V_i와 같은 요금이 부과됩니다, Q는 이제 두 개의 동등한 커패시터에 분산됩니다. 하지만 이는 곧바로 역설로 이어집니다. 각 커패시터의 에너지가 다음과 같기 때문입니다. W_C = \frac{1}{2} C \Delta V^2. 초기 에너지가 \frac{1}{2} C V_i^2 그리고 최종 에너지는 2 \frac{1}{2} C\left( V_i/2 \right)^2 = \frac{1}{4} C V_i^2그렇다면 나머지 절반의 에너지는 어디로 갔을까요?
양자역학에서 열역학에 이르기까지 모든 것을 불러오는 많은 해결책이 있습니다. 이러한 해법은 교육적 관점에서 모두 타당할 수 있습니다. 그러나 많은 솔루션은 전선과 커패시터에 저항이 있어야 한다거나 인덕턴스가 있어야 한다는 식으로 현실에 암묵적으로 호소하고 있습니다. 하지만 왜 그럴까요? 적어도 사고 실험의 맥락에서는 완벽하게 손실이 없는 재료를 가정하여 저항을 무시하는 것이 합리적일 수 있습니다. 하지만 인덕턴스는 어떨까요? 이 사고 실험의 맥락에서 인덕턴스를 무시할 수 있을까요? 이 질문을 따라가면서 흥미로운 답을 얻을 수 있는지 알아봅시다…
역설에 대한 간단한 해결책
우리 장치는 두 개의 이상적인 무손실 커패시터로 구성되어 있습니다. 하지만 이상적인 커패시터라도 전하를 공간적으로 분리해야 합니다. 즉, 커패시터에는 일정한 크기가 있어야 합니다. 그리고 각 커패시터에 크기가 있는 경우 다른 커패시터와 0이 아닌 거리만큼 떨어져 있어야 합니다. 따라서 다이어그램을 조금만 다시 그려보면 커패시터 두 개와 유한 직경의 무손실 와이어 하프 루프 두 개가 있으며, 이를 따라 시간에 따라 변하는 전류가 흐를 수 있음을 알 수 있습니다. 하지만 이러한 구조를 무엇이라고 부를까요? 인덕터!
이 역설은 유한한 면적의 루프 주위로 전류가 흐르는 구조가 0이 아닌 크기를 가져야 하며, 따라서 인덕터이기도 하다는 사실을 깨달음으로써 해결할 수 있습니다.
우리가 여기서 그린 구조는 유한한 크기를 가져야 하며, 따라서 자유 공간이 자기 투과성을 갖는 우리 우주 내에 존재하는 한 인덕턴스도 가져야 합니다. 따라서 회로에 커패시터가 존재하기 때문에 회로에 인덕터도 존재해야 합니다. 사실, 더 좋은 점이 있습니다: 무손실 인덕터라도 인덕터가 있으면 시간에 따라 변하는 전류가 흐르면 인덕터의 회전 사이에 전기장이 생기므로 이 회로에 추가하는 모든 인덕터도 커패시터 역할을 합니다! 이 논리를 무한히 따라갈 수도 있지만, 여기서는 인덕턴스가 있는 단일 인덕터로 회로를 수정하는 것으로 충분합니다, L.
이제 LC 회로에 전류가 커패시터 사이와 유한 길이의 와이어를 따라 앞뒤로 흐르며 주어진 주파수로 진동한다는 역설을 즉시 해결할 수 있는 분석 솔루션이 있습니다: f=1/\sqrt{2\pi LC}. 정상 상태의 해는 존재하지 않으므로 정전기 에너지만으로는 절대 평가할 수 없습니다. 또한 움직이는 전하로 인한 에너지, 즉 전류의 흐름도 고려해야 합니다, I에 의해 제공됩니다: W_L = \frac{1}{2} L I^2. 이 전기 에너지와 자기 에너지의 합(\frac{1}{2} L I^2 + \frac{1}{2} C V^2)는 시간이 지나도 변하지 않습니다.
COMSOL 멀티피직스에서 검증하기® 소프트웨어
이 상황을 검증하는 모델을 구축하는 것은 COMSOL 멀티피직스를 사용하여 간단합니다.® 및 RF 모듈. 우리는 그렇게 할 것입니다. 전자파, 일시적 인터페이스와 함께 정전기 인터페이스를 사용하여 초기 조건을 계산합니다. 내부에 커패시터와 전선이 있는 완전 진공의 작은 영역을 모델링합니다. 커패시터 플레이트, 전선 및 볼륨 주변의 공간은 모두 완벽한 전기 전도체로 취급되므로 전자기장이 경계를 통과하지 않습니다. 이러한 정전식 방전 모델 설정에 대한 가이드는 학습 센터 문서에서 확인할 수 있습니다: “정전식 방전 모델링하기” 문서를 참조하세요.
이 시간 도메인 모델을 풀고 총 전기 및 자기 에너지를 평가하면 예상되는 진동 동작이 표시됩니다. 모델링 도메인을 여러 영역으로 분할하여 두 커패시터 주변 영역과 주변 공간의 총 에너지를 평가할 수도 있습니다. 이 플롯은 에너지가 시간뿐만 아니라 공간에서 어떻게 진동하는지 보여줍니다.
커패시터 플레이트와 전선 표면의 전류와 그 사이 공간의 자기장을 보여주는 애니메이션.
총 전기 에너지와 자기 에너지는 시간에 따라 진동하지만, 이 무손실 장치에서는 그 합이 변하지 않습니다.
서로 다른 영역의 전기 에너지와 자기 에너지의 총합은 에너지가 시간과 공간에서 진동한다는 것을 보여줍니다.
이 플롯이 시간적으로 순수한 정현파가 아니라는 것을 관찰할 수 있으며, 그 이유를 물어봐야 합니다. 이 고주파 콘텐츠, 즉 시간에 따른 에너지의 파동은 어디에서 오는 것일까요? 그것은 구조에서 발생합니다. 두 개의 플레이트는 잘 정의된 커패시턴스를 가지고 있지만 와이어로 인해 전하가 분리되어 있으며 이 전체 구조는 공진 주파수를 가진 원통형 캐비티 내에 있습니다. 장치의 이러한 다양한 부분은 모두 전자기 거동에 어느 정도 기여합니다. 각각의 기여도는 매우 작을 수 있지만 유한한 크기의 구조를 고려할 때 항상 존재합니다.
추가 질문하기: 커패시턴스와 인덕턴스가 존재하나요?
이제 이(또는 다른) 전자기 장치에 대해 좀 더 도발적인 질문을 해볼 차례입니다: 커패시턴스 또는 인덕턴스가 존재할까요? 우리는 이 특정 장치에 두 가지가 모두 있다는 것을 분명히 보았습니다. 하지만 커패시터 플레이트 사이에 매우 강한 유전체 물질을 추가하여 수정하면 어떨까요? 그러면 커패시턴스는 훨씬 더 커지지만 인덕턴스는 변하지 않을 것입니다. 커패시턴스를 훨씬 더 크게 만들면 인덕턴스는 중요하지 않다고 말할 수 있을까요?
요컨대, 전기 역학 소자를 순전히 정전 용량 또는 순전히 유도 용량으로 생각해서는 안 됩니다. 전기 역학 장치에는 전하의 공간적 분리로 인한 전기 에너지와 전하의 이동으로 인한 자기 에너지가 항상 존재합니다. 때때로 둘 중 하나를 무시할 수 있는 가상의 상황을 구성할 수 있지만, 항상 정신적인 단순화를 하고 있다는 점을 기억해야 합니다.
또한 모든 실제 물질은 유한한 저항을 가지고 있으므로 보다 현실적으로 모든 것을 임피던스가 있다고 말해야 하는데, 여기서 우리는 때때로 더 큰 문제에 빠지게 됩니다. 주파수 도메인 모델을 다룰 때 전기 장치의 임피던스에 대한 매우 익숙한 표현이 있습니다:
Z = R + j\omega L -j\frac{1}{\omega C}
저항입니다, R는 이 식에서 움직이는 전하의 운동 에너지, 즉 전류가 열 에너지로 변환되는 방식을 측정한 값입니다.
이 방정식은 공학 및 물리학에서 가장 많이 연구되는 문제 중 하나인 단일 자유도, 감쇠 고조파 발진기와 관련되어 있음을 즉시 알아볼 수 있습니다. 우리는 이 식을 통해 이러한 발진기의 공진 주파수와 품질 계수를 계산할 수 있으며, 실제 장치에는 기본 공진 및 품질 계수가 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서 이 두 가지를 동일시하여 실제의 유한한 크기의 전기 장치를 하나의 저항, 커패시턴스 및 인덕턴스로 줄이려고 시도할 수 있습니다. 이는 개념적 실수이며 위의 임피던스에 대한 표현은 크기가 무한대인 디바이스에만 적용 가능하기 때문에 결코 유효하지 않습니다.
모든 실제 소자는 크기가 유한하며, 공진 상태에서 작동할 때 전기 에너지와 자기 에너지는 위의 그림에서 보았듯이 공간과 시간에 따라 달라집니다. 따라서 등가 회로 모델에는 최소 3개 이상의 노드가 필요하지만 때로는 더 많은 노드가 필요합니다. 다시 두 커패시터의 물리적 모델로 돌아가서 각 커패시터의 플레이트가 전기 회로에서 노드로 표시된다고 가정하면, 등가 회로 모델은 최소한 아래 그림의 회로만큼 복잡해야 하며 노드는 4개가 필요하다는 것을 알 수 있습니다. 전선을 따라 전하가 분리되어 있으므로 전선의 인덕턴스에 병렬로 작은 커패시턴스가 추가되었음을 알 수 있습니다.
두 개의 유한 크기 무손실 커패시터를 직렬로 연결한 등가 회로 모델입니다.
이 예시를 통해 공진 근처에서 유효한 등가 회로 모델을 구축하려면 물리적 통찰력, 유사한 장치에 대한 충분한 경험, 수치 모델링이 필요하다는 것을 알 수 있습니다.
원래 질문으로 돌아가서 커패시턴스, 인덕턴스, 심지어 저항은 그 자체로는 존재하지 않는 개념이며, 서로 조합해서만 존재한다고 주장할 수 있습니다. 디바이스의 주파수 종속 임피던스를 단일 저항, 커패시턴스 및/또는 인덕턴스로 줄일 수 있지만, 이러한 단순화는 디바이스의 공진 주파수 이하에서만 유효합니다. 이를 염두에 두면 재미있는 두 커패시터의 역설부터 훨씬 더 답답하고 복잡한 실제 문제에 이르기까지 모든 종류의 함정을 피할 수 있습니다.
마무리 발언
여기서는 공진 근처에서 작동하는 전자기 소자의 임피던스가 왜 단일 등가 저항, 커패시턴스 및 인덕턴스로 분해될 수 없는지 이해하기 위해 고전적인 사고 실험을 사용했습니다. 두 커패시터 역설과 같은 사고 실험은 전자기학에 대한 이해를 넓히고 계산 모델의 결과를 해석하는 데 유용합니다.
추가 자료
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