이 포스팅의 목적은 방정식을 수학적으로 도출하는 것이 아니라 방정식의 여러 용어의 의미를 간결하고 직관적으로 설명하는 것입니다. 또한, 흐름의 특성에 관한 방정식에서 추론할 수 있는 몇 가지 중요한 개념을 분석하는 것을 목표로 합니다.
우리가 활용하는 기본 방정식은 질량, 운동량, 에너지의 보존 원리를 표현한 것입니다. 이러한 원리는 시간이 지남에 따라 변하지 않는 유체 소포의 경로와 관련된 움직임을 묘사하는 라그랑지안 참조 프레임 내에서 가장 효과적으로 표현되고 이해됩니다.
그럼에도 불구하고 유체와 무관한 공간 참조 프레임의 점을 통과할 때 흐름을 설명하는 오일러 참조 프레임이 개념적, 정량적 이유로 궁극적으로 선호되는 옵션입니다. 이 맥락에서 제가 채택할 방법은 라그랑주 프레임에서 보존 법칙의 중요성에 대해 간단히 설명한 후 오일러 프레임에서 보존 법칙이 어떻게 표현되는지에 대한 논의로 넘어가는 것입니다.
라그랑지안과 오일러의 관점 모두에서 작은 유체 부피의 거동을 살펴보겠지만, 각각의 경우마다 정의가 다릅니다. 보존 법칙을 편미분 방정식(PDE)으로 유도하려면 유체 소포에 대해 무한히 작은 차원에 접근하는 공식적인 과정이 수반됩니다. 이 담론에서 이 절차의 구체적인 내용은 다루지 않겠지만, 독자는 두 기준 프레임의 유체 소포가 임의로 미세한 것으로 개념화되어야 한다는 점을 염두에 두는 것이 중요합니다.
Lamb(1932)은 고정된 라그랑지안 유체 소포에 대한 정의를 제공했는데, 이는 시간이 지나도 동일한 유체 입자로만 구성된다는 것입니다. 이러한 일관성을 유지하려면 소포의 경계면이 유체 입자가 통과하지 못하도록 유체와 함께 움직여야 합니다. 그러나 이 개념은 개념적 연속체 세계에서만 적용되는 이상화라는 점을 인식하는 것이 중요합니다. 실제로 분자는 이러한 경계를 가로질러 양방향으로 확산될 수밖에 없으며, 우리가 할 수 있는 최선은 경계가 유체의 평균 운동을 따르도록 하여 경계를 가로지르는 물질의 순유속이 발생하지 않도록 하는 것입니다. 어떤 원근법을 사용하든 소포는 항상 같은 양의 물질을 포함하며 경계면을 가로지르는 물질의 순유동은 나타나지 않습니다. 질량 확산을 무시하는 이 접근 방식은 상대 종 농도가 일정하게 유지되는 단일 종 유체 또는 다종 유체의 경우 잘 작동합니다. 그러나 상대 종의 농도가 크게 달라지면 라그랑지안 유체 구획을 정의하는 것이 문제가 됩니다. 당분간은 라그랑지안 설명에 대한 이 사소한 한계를 간과하고 논의를 진행하겠습니다.
앞서 언급했듯이 질량, 운동량, 에너지에 대한 보존 법칙이 확립되어 있습니다. 그 이유는 이러한 양이 물리학 및 열역학에서 기본이 되는 양이기 때문에 보존이 필요하기 때문입니다. 특성 상 보존 법칙이 없는 압력이나 점성 응력과는 다릅니다. 질량, 운동량, 에너지는 유체 물질과 복잡하게 연결되어 있으며 물질과 함께 대류합니다. 이러한 대류된 양은 라그랑지안 유체 소포와 연관되어 있으며, 소포 내의 양 변화는 소포 내부 또는 경계에서의 물리적 과정으로 인해 발생할 수 있습니다. 보존 법칙은 이러한 변화를 정량화하여 라그랑지안 관점에서 질량, 운동량 및 에너지 보존을 이해하기 위한 프레임워크를 제공합니다.
흐름의 연속성 – 질량 보존 법칙
라그랑주 설명에서 유체 소포에 대한 정확한 정의에 따르면, 소포 내의 질량 보존은 본질적으로 보장됩니다. 그럼에도 불구하고 질량 보존을 명시적으로 보장하는 방정식은 추가적인 역할을 수행해야 합니다. 연속성 방정식은 다양한 지점에서의 유체 밀도와 유체가 차지하는 부피 사이의 연결을 설정하여 두 가지 필수 기준을 충족합니다:
- 질량 보존은 소포의 정의된 특성에 따라 모든 라그랑지안 소포의 기본 원칙입니다.
- 라그랑주 소포 사이에는 빈 공간이 없으며, 인접한 소포는 교차하지 않습니다. 전체 유체 체적을 질량 보존을 유지하는 라그랑지안 소포들로 완전히 채워진 것으로 보는 것이 필수적입니다.
라그랑지안 설명의 연속성 방정식은 물리적인 의미에서 쉽게 이해할 수 있습니다: 유체 소포의 부피가 변하면 소포의 질량을 일정하게 유지하기 위해 유체의 밀도도 변해야 합니다.
연속성 방정식의 기초는 물리적이지만(위의 요구 사항 1과 2), 이 방정식이 흐름에 부과하는 요구 사항은 다른 방정식이 부과하는 요구 사항만큼 인과관계가 직접적이지 않습니다. 예를 들어 운동량 보존에서는 힘이 직접 가속도를 유발하고, 에너지 보존에서는 힘이 직접 가속도를 유발합니다.
유체 소포에 대한 힘과 운동량 보존
라그랑주 참조 프레임에서 운동량 보존은 뉴턴의 제2법칙인 F = ma를 통해 명시적으로 시행됩니다. 라그랑주 유체 소포는 일정한 질량을 가지며, 가속도는 소포에 가해지는 힘의 누적 효과에 의해 결정됩니다.
중력 및 전자기력과 같은 외부 물체의 힘이 소포에 작용할 수 있지만, 공기역학에서 이러한 힘은 일반적으로 중요하지 않은 것으로 간주됩니다. 주로 인접한 소포에 의해 소포 표면에 가해지는 힘에 초점을 맞춥니다. 뉴턴의 제3법칙에 따르면, 이러한 표면 힘은 공유 경계에 걸쳐 동일하고 반대 방향이어야 합니다. 이러한 힘을 겉보기 내부 유체 “응력”이라고 합니다. 이러한 응력은 이상적인 연속체 세계에서는 분산 응력으로 볼 수 있지만, 현실에서는 분자 운동으로 인한 운동량 전달로 인해 발생하는 겉보기 응력에 불과하다는 것이 알려져 있습니다. 그럼에도 불구하고 앞으로는 이를 실제 응력으로 취급할 것입니다.
“CFD의 모든 것” – “공기역학의 기초”의 이전 게시물에서 이러한 응력을 텐서로 표현하는 개념을 살펴봤습니다. 이 접근법은 수학적 조작에 있어 유리한 것으로 입증되었습니다. 그러나 물리적인 이해를 위해서는 힘 벡터로 생각하는 것이 더 직관적입니다. 응력 텐서를 소포 사이의 가상의 경계에 대해 법선인 단위 벡터로 수축하면 경계를 가로질러 작용하는 단위 면적당 힘을 나타내는 벡터를 얻을 수 있습니다. 또한 이 벡터를 경계에 수직인 벡터와 경계에 평행한 벡터의 두 가지 구성 요소로 분해할 수 있습니다. NS 방정식의 맥락에서 수직 성분은 종종 정압이라고도 하는 국부 정수압으로 가정합니다. 반면에 평행 성분은 전단 응력으로 알려져 있으며, 이는 점도의 영향으로만 발생합니다.
연속체 유체 역학에서 압력을 직관적으로 이해하는 것은 그 본질적인 특성으로 인해 어려운 과제입니다. 압력은 공간의 특정 지점을 포함하는 가상의 경계에 가해지는 정상적인 응력으로 시각화할 수 있습니다.
스칼라 양임에도 불구하고 특정 지점에서 모든 방향으로 균일하게 힘을 가합니다. 처음에는 이 개념을 이해하기 어려울 수 있습니다. 앤더슨과 에버하르트(2001)와 같은 일부 해설자들은 정압을 “흐름과 평행하게 측정된 압력”으로 잘못 정의하기도 했습니다.
그러나 이러한 설명은 흐름 방향에 영향을 받지 않고 모든 방향으로 균일하게 작용하는 압력의 진정한 본질과 모순됩니다. 압력을 이해하기 위한 보다 직관적인 접근 방식은 작지만 유한한 유체 소포에 미치는 영향을 고려하는 것입니다. 일정한 압력의 필드 내에서 이 소포는 모든 방향에서 주변 유체로부터 동일한 내력을 받습니다.
소포에 가속을 유도하려면 소포의 모든 면에 작용하는 응력의 총합이 0이 아닌 벡터 합이 되어야 하며, 이는 불균형한 힘을 나타냅니다. 소포의 반대편에 작용하는 응력은 반대 방향으로 작용하며 크기가 같으면 서로 상쇄됩니다. 일정한 압력의 필드에서는 정상적인 응력이 서로 상쇄되어 불균형한 힘이 발생하지 않습니다. 불균형한 힘을 가지려면 소포의 반대편에 있는 응력의 크기가 달라야 하므로 불균일 압력 또는 점성 응력이 필요합니다.
결과적으로 불균형 힘은 응력 자체가 아니라 압력의 맥락에서 ∇p로 표시되는 응력 기울기에 따라 결정됩니다. 여기에는 일반적으로 균일하지 않은 유체 흐름이 포함됩니다. 힘이 유체 소포와 인접한 소포의 움직임에 영향을 받는다는 점을 감안하면 응력과 속도 사이의 인과 관계는 원형이 되어 분석에 복잡성을 더합니다. 이 주제는 “공기역학의 기초”에 대한 “CFD의 모든 것” 시리즈의 다음 편에서 자세히 살펴볼 예정입니다.
소포의 가속도는 운동량 방정식의 지배를 받으므로 소포의 속도를 결정하려면 방정식을 적분해야 합니다. 이 시리즈의 다음 섹션에서는 점성 유체의 안정된 흐름에 대한 운동량 방정식을 적분하면 매우 유용한 흐름 관계인 베르누이 방정식이 어떻게 나오는지 설명합니다.