에너지 절약
에너지 보존의 원리로 알려진 열역학 제1법칙은 라그랑지안 유체 소포 내에 저장된 에너지의 변화는 열이나 기계적 작업과 같은 외부에서 에너지가 추가되는 속도와 같다고 말합니다. 초등 열역학 학생에게는 이 원리에서 두 가지 측면이 새로울 수 있습니다. 첫째, 유체 소포의 운동은 전체 에너지 균형에서 중요한 역할을 하므로 소포의 벌크 운동 에너지는 저장된 에너지의 한 형태로 간주되어야 합니다. 둘째, 압력뿐만 아니라 점성력도 시스템의 에너지에 기계적 작업을 추가하는 데 기여할 수 있다는 점을 인식하는 것이 중요합니다.
소포 내 열 전달은 전자기 복사와 분자 전도의 두 가지 주요 메커니즘을 통해 발생할 수 있습니다. 전자기 복사는 소포 내에서 에너지의 흡수 또는 방출을 포함하며, 분자 전도는 소포의 경계를 가로질러 열이 전달되는 것을 말합니다. 복사 효과는 “몸체” 효과로 알려진 부피에 비례하는 반면, 전도 효과는 표면과 관련이 있다는 점에 유의해야 합니다. 공기역학에서는 일반적으로 표면 효과가 몸체 효과보다 더 중요합니다. 소포에서 수행되는 기계적 작업은 운동량 보존과 관련된 동일한 힘에 의해 수행됩니다. 공기역학에서 외부 물체의 힘은 무시할 수 있는 경우가 많으며, 인접한 소포가 가하는 힘에 초점을 맞춥니다.
그러나 내부 유체 응력이 에너지 보존에 미치는 영향은 운동량 보존보다 더 복잡합니다. 운동량 보존은 소포에 가해지는 순력만 고려하지만, 에너지 보존은 소포의 질량 중심이 이동하는 거리에 걸쳐 작용하는 순력도 고려하여 벌크 운동 에너지의 변화에 기여합니다.
그러나 고려해야 할 추가 요소가 있습니다. 소포가 체적 변형이든 전단 변형이든 변형을 겪는 경우, 소포 경계의 특정 부분이 질량 중심과 관련하여 이동합니다. 이러한 움직임으로 인해 소포에 상당한 작업이 수행될 수 있습니다. 또한 압축 또는 팽창을 통해 소포에 가해지는 압력은 가열 또는 냉각 효과로 이어질 수 있습니다. 또한 소포는 점성 응력으로 인해 열이 발생하는데, 이를 점성 소산 현상이라고 합니다.
난류는 에너지 보존과 관련하여 흥미로운 고려 사항을 제시합니다. 난류 흐름은 일반적으로 시간 평균에 초점을 맞춘 이론적 모델을 통해 분석되어 불안정한 난류 운동을 효과적으로 부드럽게 합니다. 시간 평균 유동장 내에서 난류와 관련된 운동 에너지는 고려해야 할 중요한 형태의 에너지가 됩니다. 그럼에도 불구하고 수많은 유동 시나리오에서 난류 운동 에너지(TKE)의 생성 및 소멸은 국부적으로 거의 균형을 이루므로 TKE를 무시할 수 있습니다:
- 에너지 절약: 에너지는 생성되거나 파괴될 수 없고 한 형태에서 다른 형태로 변환될 뿐이라는 열역학 제1법칙을 유체 소포의 맥락에서 논의합니다. 여기에는 소포 내의 운동 에너지, 위치 에너지 및 내부 에너지의 변화를 고려하는 것이 포함됩니다.
- 에너지의 형태: 벌크 운동 에너지, 내부 에너지(압력 및 점력의 영향), 전자기 복사 및 분자 전도와 같은 열 전달 메커니즘 등 유체 소포 내의 다양한 형태의 에너지에 대해 자세히 설명합니다.
- 기계 작업: 유체 소포에 대한 기계적 작업의 역할이 설명되어 있으며, 인접한 소포 또는 소포 자체의 변형으로 인해 발생할 수 있는 외부 힘(예: 압력)과 내부 유체 응력 모두에 의해 수행될 수 있음을 지적합니다.
- 변형 및 압축 효과: 소포 변형과 압력 변화가 에너지 균형에 미치는 영향에 대해 설명하며, 이러한 요소가 어떻게 소포에서 상당한 작업이 수행되고 열 상태에 영향을 미칠 수 있는지를 강조합니다.
- 점성 손실: 유체의 점성으로 인해 기계적 에너지가 열로 변환되는 점성 손실 현상은 에너지 절약에 기여하는 요인으로 언급됩니다.
- 난류: 난류는 특히 난류 운동 에너지(TKE)의 생성 및 소멸과 관련하여 에너지 절약에 추가적인 복잡성을 야기합니다. 난류 흐름에서 TKE는 중요하지만, 생성 및 소멸 속도가 거의 균형을 이루는 특정 시나리오에서는 무시될 수 있습니다.
전반적으로 열역학 원리가 특히 공기역학적 맥락에서 유체 소포에 어떻게 적용되는지에 대한 설명을 제공하고, 이러한 시스템에서 에너지 보존을 분석할 때 고려해야 할 다양한 요소를 강조하고자 합니다.
다양한 물리량과 경계 조건 간의 관계
지금까지 라그랑지안 참조 프레임의 기본 보존 법칙에 대해 살펴보았습니다. 이 법칙을 라그랑지안 프레임에 적용하든 오일러 프레임에 적용하든, 5개의 방정식을 도출하고 8개의 미지수를 마주하게 됩니다. 이러한 미지수는 세 가지 공간 좌표(라그랑지안) 또는 속도 성분(오일러안)과 압력, 밀도, 온도, 분자 점도 및 열전도율 계수 등 다섯 가지 국부적인 물질 및 열역학적 특성으로 구성됩니다. 시스템을 완전히 정의하려면 세 가지 구성 관계가 추가로 필요합니다. 공기역학에서 이러한 관계에는 일반적으로 압력, 밀도, 온도를 상호 연관시키는 이상 기체 상태 방정식, 점도를 온도에만 연관시키는 서덜랜드 법칙, 열전도도에 대한 프랜틀의 관계 등이 포함됩니다.
포괄적인 나비에-스토크스(NS) 시스템은 분석에 필요한 모든 내부 유체 물리학을 포괄합니다. 유동 영역의 경계와 관련하여 적용해야 하는 특정 경계 조건은 해당 경계의 유형에 따라 달라집니다. 유동 경계의 경우, 유동 시나리오에 따라 어떤 경계 조건이 허용되거나 필수적인지 NS 방정식 자체가 지시하기 때문에 보조 물리학을 호출할 필요가 없습니다. 그러나 일반적으로 ‘벽’이라고 하는 다른 재료와 접하는 경계를 다룰 때는 경계 조건을 정확하게 정의하기 위해 추가적인 물리적 고려 사항이 필요합니다.
경계 조건은 경계 또는 인터페이스에서 시스템의 동작을 지정합니다. 경계 조건은 물리적 현상을 설명하는 미분 방정식을 푸는 데 필수적이며 시스템 내의 서로 다른 재료 또는 영역 간의 상호 작용을 모델링하는 데 자주 사용됩니다. 몇 가지 일반적인 유형의 경계 조건은 다음과 같습니다:
- 디리클레 경계 조건: 도메인 경계에서 종속 변수(예: 온도, 속도)의 값을 지정합니다.
- 노이만 경계 조건: 절대값이 아닌 경계에서 종속 변수의 기울기 또는 플럭스를 지정합니다.
- 로빈 경계 조건: 혼합 경계 조건이라고도 하며, 경계에 지정된 값과 경사도의 조합을 지정합니다.
- 주기적 경계 조건: 주기적 구조 또는 채널의 유체 흐름 시뮬레이션과 같이 경계가 주기적 영역을 형성하기 위해 둘러싸는 시스템을 모델링하는 데 사용됩니다.
- 인터페이스 조건: 서로 다른 재료 또는 상 간의 상호작용을 모델링할 때 인터페이스 조건은 응력, 변위 또는 열유속과 같은 수량이 인터페이스 전반에 걸쳐 어떻게 연관되는지를 지정합니다.
구성 관계는 재료 또는 유체 내의 다양한 물리량 간의 관계를 설명합니다. 이러한 관계는 일반적으로 재료 특성에 따라 달라지며 재료 또는 유체가 처한 조건에 따라 달라질 수 있습니다. 몇 가지 일반적인 구성 관계는 다음과 같습니다:
- 응력-변형률 관계: 고체 역학에서 이러한 관계는 응력(단위 면적당 힘)이 재료 내의 변형(변형)과 어떻게 관련되어 있는지를 설명합니다. 재료마다 탄성, 소성 또는 점탄성 응답과 같은 응력-변형률 거동이 다르게 나타납니다.
- 유체 응력-변형률 관계: 유체의 경우 구성 관계는 응력(전단 응력, 정상 응력)이 변형률(변형률)과 어떻게 관련되어 있는지를 설명하는 경우가 많습니다. 이러한 관계에는 뉴턴 유체의 경우 점도와 같은 매개변수가 포함될 수 있고, 뉴턴이 아닌 유체의 경우 더 복잡한 모델이 포함될 수 있습니다.
- 열역학 관계: 열역학에서 구성 관계는 압력, 온도, 밀도 등의 특성이 서로 다른 조건에서 어떻게 관련되어 있는지를 설명합니다. 이상 기체 법칙이나 실제 기체에 대한 더 복잡한 공식과 같은 상태 방정식은 열역학적 구성 관계의 예입니다.
- 전자기 관계: 재료 과학 및 전자기학에서 구성 관계는 전기 전도도, 유전율 및 투자율이 전기장 및 자기장과 어떻게 관련되는지를 설명합니다.
방정식의 수학적 특성
제시된 방정식 체계는 5개의 필드 PDE와 3개의 대수적 구성 관계, 총 8개의 미지수로 구성됩니다. 이러한 방정식은 공간에서 쌍곡선/타원이 혼합된 특성을 나타내므로 전체 영역에 걸쳐 해를 구하기 위한 경계 조건이 필요합니다. 수치적 해법은 시간적으로 진행할 수 있지만 공간적 진행은 불가능합니다. 방정식의 비선형성 때문에 일반적으로 중첩을 통해 해를 구할 수 없습니다. 정상 흐름 해법도 시간 행렬 반전이나 반복 프로세스와 같은 단일 행렬 반전 이상의 방법이 필요합니다. 이러한 복잡성은 CFD 방법의 맥락에서 더 자세히 살펴볼 것입니다. 특히 여러 개의 정상 유동 해가 동일한 바디 형상에 해당하는 경우, NS 방정식에 대한 해가 항상 고유하지는 않을 수 있습니다. 난류가 없는 해는 이론적으로 존재하지만, 높은 레이놀즈 수에서 동적으로 불안정한 경우가 많으며 실제에서는 거의 관찰되지 않습니다.
앞서 언급한 어려움으로 인해 NS 방정식에 대한 해석적 해를 구하는 것은 치수가 줄어들고 유체 특성이 일정한 제한된 수의 간단한 경우에만 가능합니다. 이러한 경우에도 솔루션은 관성의 영향을 무시할 수 있는 특정 제한 조건에서만 적용할 수 있습니다. 예를 들어, 평면 2차원 또는 원형 단면의 덕트 또는 파이프에서 안정적으로 완전히 발달된 흐름에 대한 1차원 솔루션과 낮은 레이놀즈 수에서 원형 원통 또는 구 주변의 흐름에 대한 2차원 솔루션이 존재합니다. 레이놀즈 수가 높은 상황에서는 1차원 편미분 방정식(ODE)만 풀면 되는 경계층 이론을 사용하여 2차원 NS 방정식에 대한 근사 해를 구할 수 있습니다. 그러나 보다 일반적인 흐름의 경우, 가정을 단순화할 수 없는 한 수치 해법만이 유일한 실행 가능한 옵션입니다.
오일러 프레임
오일러 프레임에서는 지정된 공간 프레임워크 내의 특정 지점을 지나갈 때 유체의 거동에 초점을 맞춰 관찰합니다. 라그랑지안 프레임워크에서처럼 유체의 고정된 부분에서 발생하는 변화를 모니터링하는 대신, 공간 좌표계에 통합된 무한대 체적 요소 내의 거동을 관찰하는 것으로 초점이 이동합니다. 오일러 프레임워크에서 이러한 체적 요소는 그 경계를 통과하는 유체의 연속적인 흐름을 갖습니다. 이 흐름은 라그랑지안 프레임워크에서 관찰되는 움직임을 반영합니다. 관점의 변화로 인해 보존 법칙을 적용할 때 대류 과정을 다르게 처리해야 합니다. 라그랑주 접근법에서는 대류가 고정된 유체 구획의 정의를 통해 암시적으로 고려되며, 정의상 이러한 움직임이 없기 때문에 보존 방정식에는 구획 경계를 가로지르는 대류를 설명하는 용어가 없습니다. 반면 체적 요소 경계를 가로지르는 유체 플럭스가 일반적인 오일러 접근법에서는 대류 과정이 방정식에 추가 항으로 명시적으로 포함되어야 합니다.
수학적으로 추가 항은 다음 방정식에서 시간 도함수를 대체할 때 발생합니다.
라그랑지안 방정식을 오일러 방정식으로 대체하면 추가 항이 발생합니다:
오일러 방정식에는 대류 효과를 설명하는 항이 포함되어 있으며, 이는 오른쪽의 V – ∇ 항에서 비롯됩니다. 이 개념을 설명하기 위해 부피가 dV인 라그랑지안 소포의 운동량의 x 성분을 ρ udV로 표시해 보겠습니다. 앞서 언급한 방정식을 이 특정 양에 적용하면 그 의미를 더 이해할 수 있습니다:
방정식의 오른쪽에 두 번째로 나타나는 항은 가장 기본적인 형태의 오일러 X-모멘텀 방정식에서 운동량 대류를 상징합니다. 학계에서 자주 접하는 다른 표현은 밀도를 미분 밖으로 이동하여 라그랑지안 가속도 Du/Dt와 더 명확하게 연결하는 것입니다.
이 대체 형태를 얻으려면 라그랑지안 공식에서 라그랑지안 소포의 질량이 시간에 따라 일정하게 유지된다는 질량 보존 원리를 호출해야 합니다. 다시 실질적인 파생 정의를 활용하면 다음과 같은 결론에 도달하게 됩니다:
대류 과정 자세히 보기
이제 대류 과정에 대해 자세히 알아보겠습니다. 대류가 두 소포 사이의 공유 경계를 가로질러 상호 작용한다는 것은 잘 알려진 사실입니다. 이 개념은 접촉하는 두 물체가 가하는 힘은 서로 같고 반대여야 한다는 뉴턴의 역학 제 3법칙에 비유할 수 있습니다. 이러한 평형이 필요한 이유는 인터페이스에는 불균형한 힘을 유지할 수 있는 메커니즘이 없기 때문입니다. 경계를 공유하는 두 개의 유체 소포를 고려할 때 보존된 양의 플럭스를 변경하는 메커니즘이 없으므로 한 소포에서 나가는 플럭스는 다른 소포로 들어오는 플럭스와 같아야 합니다. 일반적인 나비에-스토크스 공식에서는 모든 흐름 변수의 연속성에 의해 본질적으로 유지되므로 이러한 상호성을 명시적으로 강제할 필요가 없습니다. 그러나 불연속성을 포함하는 특수 이론(예: 불연속 해의 충격 모델링)에서는 불연속성 전체에서 보존 관계를 유지하기 위해 추가 방정식이 필요합니다.
보존 방정식의 대류 항은 물리적으로 명확하게 해석할 수 있습니다. 부피 요소로 대류하는 속도와 대류하는 속도 사이에 불균형이 있을 때 대류는 보존되는 양의 원천으로 작용하며 보존 법칙에서 고려해야 합니다. 이 용어는 보존된 양이 부피 요소로 유입되거나 유출되는 전체 속도를 나타냅니다. 질량 보존의 경우, 이 순 대류는 시간에 따른 요소 내의 총 질량 변화에 기여하는 유일한 요인이며, 특히 요소 안팎의 질량 플럭스가 같아야 하는 안정된 흐름 조건에서 더욱 그렇습니다. 이 원리는 국부적인 소포를 넘어 튜브를 교차하는 표면을 통과하는 질량 플럭스가 일정하게 유지되어야 하는 정상 흐름 스트림튜브와 같은 더 큰 부피로 확장됩니다. 순대류는 운동량과 에너지 보존의 균형을 유지하는 데 중요한 역할을 하지만 유체에 작용하는 외부 힘(운동량과 에너지)과 열전도의 영향도 고려해야 합니다.
공식의 운동량과 에너지 균형은 유체에 작용하는 중력이나 전자기력, 복사의 흡수 및 방출을 통한 열 전달과 같은 외부 소스에 의해 영향을 받을 수 있습니다. 이러한 기여는 쉽게 설명할 수 있습니다. 또한 내부 비국소 효과로 알려진 서로 직접 접촉하지 않는 유체 소포 사이의 힘 또는 에너지 교환도 균형에 영향을 줄 수 있습니다. 그러나 공기역학에서 이러한 외부 효과와 내부 비국소 효과는 일반적으로 무시할 수 있는 수준으로 간주됩니다. 따라서 방정식에 표현해야 하는 효과는 소포 간 직접 접촉을 통해 전달되는 효과뿐입니다. 여기에는 인접한 유체 소포 간에 교환되는 겉보기 내부 응력으로 표현되는 소포 간 힘과 전도로 인한 열 플럭스가 포함됩니다. 이러한 양은 유체 재료에 물리적으로 묶여 있지 않으며 대류하지 않는다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 이러한 양은 기준 프레임의 속도 변화에 영향을 받지 않으며 오일러 프레임과 라그랑지안 프레임 모두에서 동일하게 나타납니다.
공기역학에서 관찰되는 일반적인 시나리오에서 유체 내 힘의 일차적인 전달은 인접한 유체 소포 사이에서 발생합니다. 마찬가지로 오일러 프레임의 대류 효과도 인접한 오일러 소포 사이에서만 작동합니다. 따라서 기존의 공기 역학적 흐름에서는 어떤 형태의 ‘원거리 힘’ 교환 메커니즘도 없으므로 원격 ‘유도’ 또는 유사한 효과를 배제할 수 있습니다. 비오트-사바트 법칙이 원격 유도 효과를 암시할 수는 있지만, 한 지점의 속도가 다른 지점의 와류에 의해 “유도”되거나 “유발”되는 것으로 인식하는 것은 잘못된 것입니다. 이는 유체 역학의 영역에서 원인과 결과를 귀속시키는 것과 관련된 어려움을 보여주는 한 가지 예시일 뿐입니다.
동기 항공 엔지니어의 역할은 최근 몇 년 동안 큰 변화를 겪어 왔으며 앞으로도 계속 진화할 것입니다. 첨단 계산 도구의 출현으로 다양한 유형의 비행체 설계 프로세스에 혁명을 일으켜 전례 없는 수준의 설계 기술을 달성할 수 있게 되었습니다. 성능 목표가 더욱 까다로워짐에 따라 엔지니어의 역할은 …
전산 유체 역학(CFD) 해석의 영역에서 레이놀즈 평균 나비에 스토크(RANS) 방법은 전통적으로 실제 엔지니어링 시나리오에서 난류 흐름을 연구하는 데 주로 사용되어 왔습니다. RANS 기반 기법은 난류 계산 방법 스펙트럼의 한쪽 끝에 속하며, 난류 유체 역학 효과를 난류 모델로 대체합니다. 그 반대편에는…
동기 물체를 둘러싼 운동을 각각 단순화된 방정식에 의해 지배되는 외부 점성 운동과 내부 점성 운동으로 분할하는 개념은 1904년 프랜틀에 의해 처음 소개되었습니다. 그 이후로 이 개념은 광범위한 발전을 거쳐 점성 운동의 정량적 예측을 위한 주요 접근법으로 널리 사용되고 있습니다.
동기 기계 학습은 전산 유체 역학 분야를 발전시킬 수 있는 많은 기회를 제공하며 과학 컴퓨팅의 기본 도구로 빠르게 부상하고 있습니다. 이러한 관점에서 난류 폐쇄 모델링 향상, 직접 수치 시뮬레이션 속도 향상, 향상된 저차 모델 생성 등 잠재적으로 가장 큰 영향을 미칠 수 있는 몇 가지 분야를 강조합니다. ….
“모든 수학자는 자신이 다른 수학자보다 앞서 있다고 믿습니다. 아무도 이런 믿음을 공개적으로 말하지 않는 이유는 그들이 지적인 사람들이기 때문입니다.” – 안드레이 콜모고로프 PDF 다운로드: k-ω 계열의 난류 모델(Tomer Avraham 저) 요약 k-오메가 2방정식 난류 모델의 세 가지 버전이 소개됩니다. 첫 번째는 원본입니다…