유동장 내에서 와류의 분포를 고려할 때 유용한 다양한 개념이 있습니다. 우선, 소용돌이가 지속적으로 분포하는 일반적인 현실적인 시나리오에 적용할 수 있는 개념에 초점을 맞출 것입니다.
와류가 0이 아닌 모든 영역에서 와류 벡터와 평행한 공간 곡선으로 와류선을 설정할 수 있습니다. 이는 유선형이 속도 벡터에 정렬되는 방식과 유사합니다. 따라서 와류 필드 내에서 소용돌이 선은 속도 필드 내에서 유선형과 유사합니다. 유선 개념을 확장하여 스트림튜브를 포함했던 것처럼, 와류선의 개념을 확장하여 와류관을 포함할 수 있습니다.
와류 튜브의 경계를 가로지르는 와류 플럭스는 그 정의에 따라 본질적으로 0입니다. 또한 벡터의 컬, 특히 속도(컬이 소용돌이를 나타내는)의 발산은 벡터의 정체성에 따라 0입니다. 따라서 플럭스는 길이에 따른 위치에 관계없이 튜브의 모든 단면에 걸쳐 일정하게 유지됩니다.
와류 튜브 내의 와류 플럭스의 불변성은 와류가 늘어날 때 수반되어야 하는 와류 크기의 변화를 지배합니다. 시간이 지남에 따라 또는 길이에 따라 와류 튜브의 단면적이 감소하면 와류의 강도(와류 벡터의 크기)가 강해져야 합니다. 고정된 양의 유체를 포함하는 와류 튜브의 세그먼트의 경우 단면적의 감소는 일반적으로 길이를 늘리거나 늘려야 합니다. 이러한 스트레칭은 나중에 질량 보존과 관련하여 살펴볼 것처럼 유체 밀도가 일정하게 유지되는 경우 특히 필요합니다. 따라서 와류 튜브의 스트레칭은 일반적으로 국부적인 와류 크기를 증가시킵니다.
와류 튜브에서 와류 플럭스의 불변성은 와류가 늘어날 때 와류의 크기에 변화를 가져올 필요성을 부과합니다. 시간이 지남에 따라 또는 길이에 따라 와류 튜브의 단면적이 감소하면 와류의 강도(와류 벡터의 크기)가 증가해야 합니다. 특정 양의 유체 내에서 감소된 단면적을 수용하기 위해서는 일반적으로 길이를 늘리거나 늘려야 합니다.
와류 필라멘트는 단면의 최대 치수가 매우 작은 가느다란 와류 튜브입니다. 와류 필라멘트의 단면적도 무한히 작지만 필라멘트의 길이에 따라 변화한다고 가정하면 와류 튜브의 기준을 충족할 수 있습니다. 와류 필라멘트의 경우 단면을 가로지르는 와류 플럭스는 와류 크기와 단면적의 곱과 같으며, 이를 필라멘트의 강도라고 합니다. 무한대 면적을 통과하는 와류의 플럭스로서 강도에 대한 이러한 정의는 단위 면적당 에너지 플럭스로 정의되는 광선의 세기와 같이 익숙한 다른 강도 개념과 다르다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 헬름홀츠의 두 번째 정리에 따르면 소용돌이 필라멘트의 강도는 길이에 따라 일정하게 유지됩니다. 이러한 강도 보존은 와류 필라멘트가 유체 영역 내에서 종결될 수 없고 폐쇄 루프(와류 루프)를 형성하거나 영역의 경계에서 종결되어야 함을 의미합니다.
경계의 특성에 따라 볼텍스 필라멘트 또는 볼텍스 라인이 그 경계에서 종결될 수 있는 방법에 제한이 있습니다. 먼저 회전 흐름으로 둘러싸인 개별 와류 필라멘트의 고유한 시나리오를 살펴봅시다. 흐름이 일정하게 유지되고 경계가 유체가 통과할 수 없는 계면을 나타내는 경우, 와류 필라멘트는 경계와 수직으로만 교차할 수 있습니다.
이 요구 사항은 필라멘트 근처에서 필라멘트 자체에 수직인 평면 내에서 주로 원형의 흐름 구성을 가져야 할 필요성에서 비롯됩니다. 이 정상적인 방향에서 벗어나면 경계를 통과하는 흐름이 없다는 조건과 모순됩니다.
또한 경계가 미끄럼 방지 조건이 적용되는 고정된 고체 표면인 경우, 필라멘트에 수직인 평면 내의 속도 성분은 표면에서 감소해야 하고 와류 크기는 0에 가까워져야 합니다. 결과적으로, 고립된 와류 필라멘트는 미끄럼 방지 조건이 있는 고체 표면에서 종단할 수 없습니다.
분산 와류의 경우, 와류 선은 무통과 경계와 슬립이 교차할 수 있으며 교차점이 정상 방향이 아닐 수 있습니다. 반대로 슬립이 없는 정지된 표면에서는 상황이 더 제한적입니다. 표면에서 접선 속도는 0이므로 표면에 대해 수직인 와류 성분도 전체적으로 0이어야 합니다. 따라서 와류의 크기가 0이 아닌 경우 와류 선은 표면에 접해야 합니다. 이 원리는 일반적으로 표면의 와류 크기가 0인 분리 또는 부착의 고립된 특이점을 제외하고는 정지된 물체 주변의 점성 흐름에서 적용됩니다. 이러한 경우 와류 선은 표면과 정상적으로 교차할 수 있지만, 교차 지점에서 정상 와류 성분은 여전히 0에 가까워야 합니다. 따라서 소용돌이 선은 고립된 특이점에서만 미끄럼 방지 표면과 교차할 수 있습니다. 위에서 언급한 예외를 무시하고 소용돌이 선이 미끄럼 방지 표면과 전혀 교차할 수 없다고 생각하는 것은 일반적인 오해입니다.
소용돌이가 고립된 단일 지점을 제외하고는 미끄럼 방지 조건이 있는 단단한 표면에 가까워지면 소용돌이 선이 표면과 교차하지 않도록 방향을 바꾸어야 한다는 것은 분명합니다. 이러한 방향 전환은 종종 표면에 형성된 점성 경계층 내에서 와류가 와류에 기여하는 결과를 낳습니다.
1. 이제 고도로 집중된 와류를 특징으로 하는 흐름의 이상적인 표현을 위해 고안된 이론적 구성을 살펴봅시다. 특정 영역에 집중된 와류의 존재는 나중에 설명할 특정 흐름의 분석에서 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 8장에서는 상승 날개 뒤에서 관찰되는 와류 패턴을 살펴보는데, 처음에는 얇은 전단층 내에 집중된 형태로 존재하다가 결국에는 거의 비회전에 가까운 흐름으로 둘러싸인 두 개의 뚜렷하고 다소 축 대칭적인 와류로 전환됩니다.
2. 이러한 흐름 현상에 대한 이론적 모델에서 이러한 와류 구조는 종종 수학적으로 얇은 농도로 단순화되며, 전단층은 와류 시트로, 와류는 선 와류로 개념화됩니다. 와류가 단면적 제로 영역 내에 집중되어 있음에도 불구하고 이러한 이상화된 개체는 유한한 와류 플럭스를 나타냅니다. 따라서 시트 또는 선의 위치에서 와류 분포는 단수 또는 무한대여야 합니다.
3. 와류 시트를 다룰 때는 일반적으로 시트의 유한 폭에 걸쳐 적분하여 유한 와류 플럭스를 결정하지만, 시트의 무한히 얇은 특성으로 인해 적분 영역은 0으로 유지됩니다. 반면, 선 와류의 경우 선(본질적으로 한 점)을 가로지르는 단일 적분으로 유한 플럭스를 계산하는 데 충분합니다. 이러한 개념을 엄격하게 다루는 공식적인 수학적 프레임워크가 존재하지만, 기본 원리를 포괄적으로 이해하기 위해 이 이론에 대한 자세한 설명이 필요한 것은 아닙니다.
선 와류와 와류 필라멘트는 언뜻 보기에는 비슷해 보이지만 중요한 차이점이 있습니다. 첫째, 선 와류는 단면적이 0인 반면 필라멘트는 단면적이 무한히 작습니다. 또한 선 와류의 와류 플럭스는 유한한 반면 필라멘트의 와류 플럭스는 무한합니다. 와류의 단일 분포를 나타내는 선 와류와 와류 벡터와 평행할 뿐이며 일반적으로 와류가 연속적으로 분포하는 분야에서 볼 수 있는 와류선을 혼동하지 않도록 주의하는 것이 중요합니다.
2D 평면 흐름에서 선 와류라고도 하는 점 와류는 2D 평면에 수직으로 양방향으로 무한히 뻗어 있는 직선이 특징입니다. 이 구성은 2D 평면 내에서 단일 점처럼 보입니다. 선 와류는 3.10절에서 자세히 설명한 것처럼 전위 흐름 이론 해를 구성하는 데 기본 구성 요소로 활용할 수 있는 기본 특이점 중 하나로 작용합니다. 그러나 더 복잡한 흐름에서는 선 와류가 곡률을 나타낼 수 있으며, 이는 고유한 과제를 제시합니다. 곡선 와류를 따라 곡률이 0이 아닌 특정 지점에서 와류에 수직인 유체 속도는 무한대가 됩니다. 따라서 소용돌이 선이 흐름에 의해 운반되는 현실적인 속도를 결정하는 것은 불가능해집니다. 실제 흐름에서 와류는 연속적으로 분포하고 유한한 크기를 가지므로 무한한 속도의 발생을 제거합니다.
속도 필드와 와류의 농도 연결하기
고도로 집중된 와류의 개념은 종종 와류 시트 또는 선 와류로 단순화됩니다. 이제 스토크스의 정리를 활용하여 이러한 이상화된 와류 분포와 일치하는 데 필요한 바로 근처의 속도 분포를 분석할 수 있습니다.
위 그림에서 (a)로 표시된 것은 2D 흐름의 와류 시트를 보여줍니다. 시트의 짧은 부분을 둘러싸는 닫힌 윤곽에 스토크스 정리를 적용하면 시트 전체에 걸쳐 속도 크기가 점프하는 것이 분명해지며, 이는 와류 벡터에 수직인 방향으로 시트를 따라 국부적인 와류 강도 또는 단위 거리당 와류와 같다는 것을 알 수 있습니다. 이 특정 2D 사례에서 와류 벡터는 용지 평면에 수직이며, 시트를 따라 이동하는 거리는 흐름 방향으로 측정됩니다. 이 이상화된 와류 시트와 관련된 물리적 흐름은 (b)로 표시된 그림과 같이 속도 점프가 유한한 두께에 걸쳐 퍼져 있는 전단 층입니다.
3D 흐름의 경우, 벡터적 의미에서 볼텍스 시트를 가로지르는 속도 점프는 여전히 와류 벡터에 수직이어야 합니다. 공기 역학에서는 속도 크기가 점프하지 않고 방향만 점프하는 시트를 만나는 것이 일반적입니다. 이러한 경우 속도 벡터의 점프는 (c)로 표시된 그림과 같이 시트의 양면에 있는 속도 벡터의 평균 방향과 평행한 와류 벡터에 수직입니다. 와류 벡터가 두 속도 벡터의 평균과 평행하지 않으면 속도 크기가 점프해야 한다는 것을 증명할 수 있습니다.
그림에서 (c)로 표시된 것과 유사한 와류 시트는 3D 전위 흐름 이론에서 자주 모델링됩니다. 속도 벡터의 점프가 속도 포텐셜의 점프를 필요로 한다는 것은 속도 포텐셜의 정의에서 분명합니다.
물리적 전단층이 효과적으로 얇아서 층을 가로지르는 흐름 변화가 다른 방향의 변화보다 훨씬 빠르게 발생하는 경우, 속도 점프는 그 크기가 거의 같고 층을 가로지르는 와류의 적분과 수직을 이룹니다.
소용돌이에 의한 속도 유도는 오류인가요?
모든 공학도는 유체 역학이든 고전 전자기학이든 학부 과정에서 비오트-사바트 법칙을 필연적으로 접하게 됩니다. 이 법칙은 특정 지점에서 벡터장의 컬을 이해하면 다른 지점에서의 벡터장 거동에 대한 통찰력을 얻을 수 있다는 것을 의미합니다.
이 개념은 처음의 매력에도 불구하고 일반적으로 원인과 결과 사이의 관계를 모호하게 만들 수 있기 때문에 기만적일 수 있습니다. 또한 나비어-스토크스 방정식을 속도에서 와류 공식으로 변환하는 능력과 유동에 장애물을 도입하기 위한 잠재적 유동 모델의 활용은 Biot-Savart 원리에서 제안한 것처럼 와류가 속도를 유발한다는 널리 알려진 믿음을 더욱 뒷받침합니다.
여기에 오류가 있습니다. 중력이나 전자기력이 없는 일반적인 유체 흐름에서는 거리에서 어떤 작용도 일어나지 않습니다. 방정식을 다른 형태로 표현하고 벡터 필드와 그 컬 사이의 미적분 관계로 바이오-사바트 법칙을 언급한다고 해서 A 지점의 와류가 먼 지점 B의 속도를 유도할 수 있다는 의미는 아닙니다. 바이오-사바트 법칙과 같은 수학적 관계를 통해 원격 지점의 속도장에 대한 양적, 질적 세부 사항을 추론할 수 있는 것은 사실이지만 유체 역학에서는 물리를 정확하게 묘사하지 못합니다. 따라서 직접적인 원인과 결과 관계는 고전 전자기학에서와 비교했을 때 다소 오해의 소지가 있습니다.
비오트-사바트 법칙은 정량적 계산에 유용하다는 것이 증명되었습니다. 그러나 특정 지점의 와류를 이해하면 다른 지점의 속도에 대한 정보를 추론할 수 있다는 정성적 개념도 나름의 가치를 지니고 있습니다. 이 개념은 유동장을 이해하는 데 가장 영향력 있는 도구 중 하나입니다. 하지만 그 강력한 힘에도 불구하고 원인과 결과를 판단할 때 종종 혼란을 야기하기 때문에 양날의 검이 될 수도 있습니다.
이 문제는 와류를 ‘입력’으로 간주하고 속도를 ‘출력’으로 간주하여 와류에서 추론된 속도를 유도 속도로 지칭하는 일반적인 관행으로 인해 발생합니다. 이 때문에 소용돌이가 어떻게든 속도를 “결정”한다고 믿게 되기 쉽습니다. 그러나 이러한 사고방식은 잘못된 것입니다. 중력이나 전자기체의 힘이 크지 않으면 규칙적인 유체 흐름에서는 원거리에서 아무런 작용이 일어나지 않습니다. 상당한 힘은 인접한 유체 소포 사이의 직접적인 접촉을 통해서만 전달됩니다.
따라서 A 지점의 와류는 멀리 떨어진 B 지점의 속도를 직접적으로 ‘유발’할 수 없으며, ‘원인’, ‘유도’, 심지어 ‘때문에’와 같은 용어는 관련된 물리학을 잘못 표현한 것입니다. 바이오트-사바트는 벡터 필드와 그 컬 사이의 수학적 관계일 뿐이며 유체 역학에서는 직접적인 물리적 인과 관계를 나타내지 않는다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 이 점은 가장 중요하지만 문헌에서 충분히 강조되지 않았습니다. 이 문제에 대한 다른 저자들의 관점을 살펴보는 것은 흥미롭습니다. 공기역학자들은 “유도 속도” 및 “유도”와 같은 용어를 자유롭게 사용함으로써 혼란을 야기했습니다. 이러한 용어는 비오트-사바트 법칙이 적용되는 다른 분야인 고전 전자기학에서 유래한 것으로, 자기장은 전류에 의해 “유도”된다고 명시되어 있습니다. 전자기학에서는 거리에서 실제 작용이 일어나는 것으로 여겨지므로 ‘유도’라는 용어가 물리적으로 적합하다고 생각하여 이 용어가 적합합니다. 그러나 유체 역학에서는 직접적인 인과 관계가 없습니다. 우리는 와류가 생성, 이동, 확산되는 과정을 이해하며, 이는 유동장의 와류가 존재하는 이유를 설명하는 것으로, 와류의 원인이라기보다는 전반적인 흐름 패턴을 나타내는 역할에 더 가깝습니다.
흐름 패턴의 존재를 설명하기 위해서는 관련된 실제 물리학, 특히 주어진 위치에서 유체 요소 내의 힘의 평형을 참조할 필요가 있습니다.