체적 및 표면 적분의 물질 도함수를 분석하기 위해 먼저 실체 도함수라고도 하는 물질 도함수를 정의합니다. 그런 다음 벡터 미적분의 수학적 표기법과 개념을 사용하여 체적분과 표면 적분에 적용하는 방법을 살펴보겠습니다.
물질 도함수
재료 시간 도함수라고도 하는 도함수 D/Dt는 사실 고정된 재료 점에 대한 수량 B의 시간 도함수입니다. 그리고 재료 점은 종종 t = 0의 초기 위치 벡터로 정의됩니다. 임의의 시간 t > 0에서 재료 점의 위치 벡터는 다음과 같이 주어집니다:
임의의 머티리얼 포인트 x0에 대해 정의된 모든 유량 변수는 B(x0,t).
따라서 해당 공간 설명은 B가 됩니다.[x(x0,t),t].
위의 설명을 통해 시간 파생상품에는 두 가지 유형이 있다고 말할 수 있습니다:
두 파생상품 간의 관계는 연쇄 규칙을 적용하여 얻을 수 있습니다:
고정된 공간 위치에서의 시간 도함수를 오일러 시간 도함수라고 하고, 고정된 물질점에서의 도함수를 라그랑지안 도함수라고 합니다.
이제 체적분의 물질 도함수, 즉 레이놀즈의 수송 정리에 대해 알아보겠습니다:
위의 정리는 적분 자체의 극한이 시간에 따라 달라질 때 미분의 라이프니츠 법칙을 확장한 것에 불과합니다.
위 방정식의 왼쪽에 0을 향하는 ‘델타 t’의 극한을 미분에 대한 일반적인 정의를 적용하면 다음과 같이 구할 수 있습니다:
위의 방정식에서 이제 아래 항을 더하고 뺍니다:
그러면 방정식은 다음과 같습니다:
두 번째 항은 정의입니다:
그리고 첫 번째 학기 로 다시 작성할 수 있습니다:
이는 미분 체적 요소에 대한 B
위의 적분을 구하기 위해서는 미분 요소 dAm 의 Vm
여기서 Am
따라서 최종 형태는 레이놀즈 수송 정리 가 될 것입니다:
위 방정식의 오른쪽 적분 영역에 가우스 발산 정리를 적용하면 위 방정식의 익숙한 형태의 등미분 형태를 구할 수 있습니다.
유량 변수 B(x, t) 대신 밀도 ρ(x, t)가 있는 간단한 적용 사례를 예로 들어 보겠습니다. 그런 다음 위에서 설명한 가우스 발산 정리를 질량 보존의 최종 미분 형태에 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:
표면 적분의 물질 도함수:
이 섹션에서는 위에서 개발한 부피 적분의 재료 미분의 경우와 동일한 개념을 적용하여 두 매체의 계면에서의 계면활성제 농도 확산 방정식에 대한 지배 방정식을 구합니다.
여기서는 화학 반응이나 주변 벌크 상 액체와의 플럭스로 인한 소스나 싱크가 없다고 가정하고 재료 표면적에 대한 계면활성제 농도 보존 원리를 사용합니다. 그래서 우리는
Where D/Dt 는 인터페이스 상의 포인트에 대한 머티리얼 도함수이고, Sm
다시 말하지만, 재료 부피에 대한 레이놀즈의 수송 정리의 위 섹션에서 설명한 것과 동일한 단계를 따르고 부피 적분을 표면 적분으로, 표면 적분을 윤곽 적분으로 대체하면 두 매질의 계면에서의 계면활성제 농도 확산 방정식을 얻을 수 있습니다:
여기서 u = 계면 표면을 따라 계면 활성제 입자의 속도
Γ = 계면 위의 계면활성제 농도
nc = 표면 요소의 윤곽에 정규화된 단위 벡터
nt = 표면 요소의 윤곽에 접하는 단위 벡터
n = 인터페이스 표면에 법선인 단위 벡터
Cm
이제 nc 는 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.c = nt x n.
따라서 위 방정식의 오른쪽 두 번째 항은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:
여기서 dl = 표면 요소의 윤곽을 따른 요소 접선 벡터입니다.
따라서 적분 내부의 적분은 본질적으로 세 벡터 Γu, dl, n의 스칼라 삼중 곱에 불과하다는 것을 알 수 있습니다. [Γu dl n].
스칼라 삼중 곱의 속성을 사용합니다:
이제 닫힌 윤곽에 스토크스 정리를 적용하면 윤곽 적분을 윤곽에 의해 경계가 지정된 표면 적분으로 변환할 수 있습니다:
벡터 삼중 곱을 포함하는 항을 평가하면 위의 윤곽 적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:
따라서 인터페이스 평면에서 새로운 연산자를 다음과 같이 정의할 수 있습니다:
따라서 표면 적분의 재질 도함수 오른쪽의 윤곽 적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
따라서 이 섹션의 재료 미분 방정식의 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다:
또는
따라서 차등 형식은 다음과 같습니다:
Where:
계면 활성제의 속도를 상호 수직인 두 방향, 즉 계면 표면을 따라 그리고 계면 표면에 수직인 방향으로 분해하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:
따라서 위의 지배 미분 방정식은 다음과 같습니다:
따라서 확산이 없는 경우 Γ의 변화에 기여하는 두 개의 항이 있음을 알 수 있는데, 하나는 계면 속도 우리를 갖는 단순 대류이고 다른 하나는 희석 항으로 알려진 두 번째 항입니다. 브라운 운동으로 인해 확산 항이 발생하고 확산 열전도의 경우 온도 구배와 유사하게 계면활성제 농도의 구배로 표현할 수 있다는 점을 고려하여 확산 기여도를 추가하면 확산 항이 포함된 계면활성제 농도 확산 방정식의 최종 형태가 됩니다:
이 방정식은 이제 물 표면에서 장뇌 입자의 움직임을 설명하는 등 다양한 경우에 사용할 수 있습니다.
결론:
체적분과 표면 적분의 물질 도함수의 수학적 분석을 통해 움직이는 유체에서 물리량이 어떻게 진화하는지에 대해 더 깊이 이해할 수 있습니다. 스칼라 또는 벡터 필드의 체적 및 표면 적분의 시간적 변화를 조사함으로써 유체 흐름 시스템의 역학 및 거동에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.