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많은 기계 구성 요소는 진동이 있는 환경에서 작동하며, 구성 요소의 고유 주파수가 낮을 경우 공진이 발생할 가능성이 높습니다. 이는 자동차 트림의 가벼운 방해, 고정밀 제조의 심각한 오류, 토목 공학의 위험한 실패 등 다양한 심각도의 영향을 미칠 수 있습니다. 이 블로그 게시물에서는 모양 및 토폴로지 최적화를 사용하여 가장 낮은 고유 주파수를 최대화하여 공진 가능성을 줄이는 방법을 보여줍니다. COMSOL Multiphysics에 내장된 기능® 소프트웨어를 사용하면 경사 기반 최적화를 통해 이러한 문제를 해결할 수 있습니다.
기계적 공명 소개
기계 시스템이 시스템의 고유 진동수와 주파수 성분이 일치하는 힘에 의해 여기되면 기계적 공명이 발생하여 진폭이 높은 진동이 발생할 수 있습니다. 이 효과 ~할 수 있다 (예: 시계 및 악기) 이점을 누릴 수 있지만 이 블로그 게시물에서는 기계의 피로 문제나 토목 공학의 고장을 일으킬 수 있는 원치 않는 공진에 중점을 둘 것입니다. 능동 또는 수동 진동 차단 시스템을 설치하거나 사용자에게 공진 유발 동작을 피하도록 지시하는 등 공진을 완화하기 위한 여러 가지 조치를 취할 수 있습니다. 예를 들어, 아래 이미지에서 볼 수 있듯이 런던의 유명한 다리에는 군인들에게 다리를 건널 때 발걸음을 떼도록 지시하는 표지판이 포함되어 있습니다. 이렇게 하면 행진의 통일된 리듬이 위험한 기계적 공명을 일으키지 않습니다.
기계적 공진을 방지하기 위한 또 다른 전략은 단순히 가장 낮은 고유 진동수를 높이는 것입니다. 여기서는 최적화를 통해 이것이 어떻게 달성될 수 있는지 살펴보겠습니다.
런던의 앨버트 다리에는 공명을 피하기 위해 군인들에게 다리에서 발을 떼라고 지시하는 표지판이 있습니다. 원본 이미지: Colin Smith, 아래 라이선스 제공 CC BY-SA 2.0 ~을 통해 위키미디어 공용.
최적화 소개
모든 최적화 문제는 특정 양을 개선하기 위해 최적화 알고리즘에 의해 변경되어야 하는 일부 설계 변수로 구성됩니다. 목적함수. 다른 변수가 특정 범위를 초과할 수 없는 요구사항도 있을 수 있습니다. 제약. CAD의 맥락에서 목표는 시뮬레이션을 사용하여 계산되는 경우가 많습니다.
최적화 알고리즘의 경우 다음을 구별할 수 있습니다.
- 최적화에서 목적 및 제약 조건의 값만 사용하여 설계 변수를 업데이트하는 Gradient-Free 최적화
- 최적화를 통해 목표와 제약 조건이 설계 변수의 변화에 얼마나 민감한지 아는 그라데이션 기반 최적화
그라데이션 기반 최적화는 모든 반복에서 훨씬 더 많은 정보를 가지므로 특히 많은 설계 변수와 관련된 문제의 경우 훨씬 더 빠릅니다. 속도 불일치가 너무 커서 첫 번째 접근 방식은 대부분의 형상 및 토폴로지 최적화 응용 프로그램에 비실용적입니다. COMSOL 다중물리학® 여기에 나열된 두 가지 최적화 유형을 모두 지원하지만 이 블로그 게시물에서는 그라데이션 기반 최적화에 중점을 둘 것입니다.
다음 예에서 목표는 최소 고유 주파수를 최대화하는 것이지만 환경에서 자연적으로 발생할 수 있는 원치 않는 주파수까지의 거리를 최대화할 수도 있습니다. 고유진동수 문제의 반복되는 측면은 구조에 설계 대칭이 포함되어 있어도 고유모드가 비대칭일 수 있다는 것입니다. 이러한 이유로 전체 구조는 매 반복마다 모델링되어야 합니다. 그러나 초기 설계가 대칭인 경우 다음을 사용하여 이를 보존할 수 있습니다. 거울 대칭 의 기능 형상 최적화 또는 토폴로지 최적화 상호 작용.
형상 최적화
첫 번째 예는 한쪽 끝이 고정된 쉘 모델입니다. 경계 변형에 대해 편미분 방정식(PDE) 기반 정규화를 사용하여 법선 벡터의 연속성을 유지하며, \mathbf{d}토폴로지 최적화에 사용되는 Helmholtz 필터와 유사합니다. 즉,
\mathbf{d} = L_\mathrm{min}^2 \nabla^2 \mathbf{d} + \mathbf{c}, \quad ||\mathbf{c}||\leq d_\mathrm{max},
어디 d_\mathrm{최대} 최대 변위는, L_\mathrm{분} 는 필터 길이이고, d_\mathrm{최대}/L_\mathrm{분} 변형의 최대 기울기이고, \mathbf{c} 경계 변형의 제어 변수 필드입니다. 솔리드의 형상 최적화를 수행할 때 내부 요소를 부드럽게 하기 위한 PDE도 있지만 실제로는 모든 것이 PDE에 의해 처리됩니다. 자유 형태 도메인, 자유 형태 경계그리고 자유 형태 쉘 의 기능 형상 최적화 상호 작용. 이러한 기능은 그라데이션 기반 최적화만 허용합니다. PDE 기반 모양 정규화의 대안으로 다항식 정규화 기술을 사용하거나 변환, 회전, 크기 조정과 같은 형상을 간단하게 변경할 수도 있습니다. (전자기학의 형상 최적화에 대한 두 부분으로 구성된 시리즈에서 변환 및 스케일링에 대해 자세히 알아보십시오.) 아래 애니메이션은 설계 대칭을 유지하면서 PDE 기반 정규화를 사용한 결과를 보여줍니다.
쉘의 디자인은 최적화 기록 전반에 걸쳐 애니메이션으로 표시됩니다.
모드 전환은 항상 처음 6개의 고유 주파수를 해결하고 최소 고유 주파수를 최대화하기 위해 점근선 이동 방법(MMA)을 사용하여 처리됩니다.
다음 예에서는 견고한 브래킷을 고려하지만 브래킷 형상은 다소 껍질과 유사하므로 브래킷 암의 두께를 유지하는 것이 합리적입니다. 이는 다음을 결합하여 달성할 수 있습니다. 일반 압출 연산자 규정된 변형 기능(자세한 내용은 응용 프로그램 갤러리의 브래킷 – 고유 주파수 모양 최적화 참조). 그 외에는 설정이 목적이나 대칭성 강화 측면에서 이전 모델과 유사하지만, 초기 디자인이 그다지 나쁘지 않아서 개선 효과가 덜합니다(아래 그림 참조).
토폴로지 최적화
그라데이션 기반 최적화는 토폴로지 최적화를 수행할 때, 특히 다음을 사용할 때 활용할 수도 있습니다. 토폴로지 최적화 소프트웨어의 인터페이스. 토폴로지 최적화에 대한 자세한 소개는 블로그 게시물 “밀도 방법을 사용하여 토폴로지 최적화 수행”에서 확인할 수 있습니다. 기본 아이디어는 공간적으로 변화하는 설계 변수 필드를 도입하는 것입니다. \theta_c, 이는 각각 공극 및 고체 물질에 해당하는 0과 1 사이의 경계입니다. 구조 역학의 경우 밀도와 영률(강성)이 이 변수에 따라 달라지도록 할 수 있습니다. 최소 길이 스케일로 문제를 정규화하는 것이 유리하기 때문에 종속성은 명시적이지 않습니다. L_\mathrm{분}. 밀도를 보간하는 것도 필요합니다. \rho강성과는 다른 방식으로, 이자형, 우수한 강성 대 중량 비율로 인해 설계 변수의 중간 값이 최적화된 설계를 지배하는 것을 방지합니다. 설계 변수 필드와 재료 특성 간의 관계는 다음과 같습니다.
\theta_f &=& L_\mathrm{분}^2\nabla^2\theta_f+\theta_c \\
\theta &=& \frac{\tanh (\beta[\theta_f-1/2])+\tanh (\beta/2 )}{2\tanh(\beta/2)} \\
\rho &=& \rho_\mathrm{mat}\theta \\
E &=& E_\mathrm{mat}(\theta_\mathrm{min}+(1-\theta_\mathrm{min})\theta^{p_\mathrm{SIMP}}),
어디 \theta_f 필터링된 설계 변수입니다. \베타 투영 경사 매개변수이고, p_\mathrm{SIMP} 패널티화(SIMP) 매개변수가 있는 고체 등방성 재료입니다. 이러한 매개변수는 최적화된 설계에 큰 영향을 미칠 수 있으므로 잘못된 로컬 최소값을 방지하려면 이 두 매개변수의 여러 조합에 대한 최적화 문제를 해결해야 할 수 있습니다. 즉, 아래 표시된 빔 예제에 설명된 것처럼 최적화 문제의 매개변수적 스윕이 해결됩니다. 보는 왼쪽에 고정되어 있고, 오른쪽 끝에는 전체 무게의 15%에 해당하는 무게추를 지탱하고 있다. 빔에는 40%의 체적 제약이 적용됩니다. 토폴로지 최적화 문제는 다섯 가지 매개변수 조합에 대해 해결됩니다. (p_\mathrm{SIMP}, \beta), (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16) 및 (5, 32)와 같습니다. 초기 최적화에서는 연결성과 회색조가 좋지 않을 것으로 예상되지만 이러한 비물리적 디자인은 이후 최적화를 위한 좋은 초기 디자인을 제공합니다.
토폴로지 최적화를 수행할 때 신체에 맞는 메시에 대한 검증 시뮬레이션을 수행하는 것이 좋습니다. 이는 이 모델의 응용 프로그램 갤러리 버전에서 수행되었으며 결과는 원시 최적화 결과에 비해 더 높은 고유 주파수 측면에서 더 나은 성능을 보여줍니다. 암시적인 설계 표현으로 인해 솔리드-보이드 경계 근처에서 재료의 강성이 낮아지기 때문에 이는 예상된 것입니다.
마지막으로 단일 최적화 결과가 여기에 표시되지만 부피 분율, 추가 질량 또는 최소 길이 척도에 대해 서로 다른 값을 사용하여 대체 설계를 쉽게 생성할 수 있습니다.
결론
고유 주파수 최대화를 수행하기 위해 모양 및 토폴로지 최적화를 사용하는 것이 가능합니다. 대칭 조건은 물리학에 적용할 수 없는 경우가 많지만 대칭 설계가 계속 생성되도록 최적화를 제한할 수 있습니다. 특정 원치 않는 주파수까지의 거리를 최대화하는 것이 목표인 경우 모드 전환 처리에 사용되는 최대/최소 전략을 적용할 수도 있습니다.
고유주파수 최대화에 대한 실습 경험을 얻으려면 애플리케이션 갤러리에서 이 블로그 게시물에 언급된 예제를 다운로드하세요.
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