Behoud van energie
De eerste wet van de thermodynamica, bekend als het principe van behoud van energie, stelt dat de verandering in energie die is opgeslagen binnen een Lagrangiaans vloeistofpakket gelijk is aan de snelheid waarmee er energie aan wordt toegevoegd vanuit externe bronnen, zoals warmte of mechanische arbeid. Voor een student elementaire thermodynamica zijn er twee aspecten van dit principe die nieuw kunnen zijn. Ten eerste speelt de beweging van het pakketje vloeistof een belangrijke rol in de totale energiebalans, dus de kinetische bulkenergie van het pakketje moet beschouwd worden als een van de vormen van opgeslagen energie. Ten tweede is het belangrijk om te erkennen dat niet alleen druk, maar ook viskeuze krachten kunnen bijdragen aan de toevoeging van mechanische arbeid aan de energie van het systeem.
Warmteoverdracht binnen een pakket kan plaatsvinden via twee hoofdmechanismen: elektromagnetische straling en moleculaire geleiding. Elektromagnetische straling omvat de absorptie of emissie van energie binnen het perceel, terwijl moleculaire geleiding verwijst naar de overdracht van warmte over de grens van het perceel. Het is belangrijk om op te merken dat stralingseffecten volumeproportioneel zijn, bekend als een “lichaamseffect”, terwijl geleidingseffecten oppervlaktegerelateerd zijn. In aerodynamica zijn oppervlakte-effecten meestal belangrijker dan lichaamseffecten. De mechanische arbeid die op het pakket wordt uitgevoerd, wordt uitgevoerd door dezelfde krachten die betrokken zijn bij het behoud van momentum. In aerodynamica zijn externe lichaamskrachten vaak verwaarloosbaar en ligt de nadruk op krachten die worden uitgeoefend door naburige pakketten.
De invloed van interne vloeistofspanningen op behoud van energie is echter complexer dan op behoud van momentum. Terwijl behoud van momentum alleen rekening houdt met de nettokracht op het pakket, houdt behoud van energie ook rekening met de nettokracht die werkt over de afstand die door het massamiddelpunt van het pakket wordt afgelegd, en die bijdraagt aan veranderingen in de kinetische energie van het pakket in bulk.
Er zijn echter extra factoren waarmee rekening moet worden gehouden. In het geval dat het pakket vervormt, hetzij volumetrisch of door afschuiving, zullen bepaalde delen van de grens van het pakket verschuiven ten opzichte van het massamiddelpunt. Deze beweging kan resulteren in aanzienlijke arbeid die op het perceel wordt uitgevoerd. Bovendien kan de druk die op het pakket wordt uitgeoefend, door compressie of expansie, leiden tot opwarming of afkoeling. Daarnaast ondervindt het pakket warmte door viskeuze spanningen, een fenomeen dat bekend staat als viskeuze dissipatie.
Turbulentie geeft intrigerende overwegingen met betrekking tot het behoud van energie. Turbulente stromingen worden meestal geanalyseerd met theoretische modellen die zich richten op tijdgemiddelden, waarbij de onstabiele turbulentiebewegingen effectief worden afgevlakt. Binnen het tijdgemiddelde stromingsveld wordt de kinetische energie die met turbulentie gepaard gaat een significante vorm van energie die in beschouwing genomen moet worden. Toch zijn in veel stromingsscenario’s de opwekking en afvoer van turbulentiekinetische energie (TKE) plaatselijk ongeveer in evenwicht, waardoor TKE verwaarloosd kan worden:
- Behoud van energie: De eerste wet van de thermodynamica, die stelt dat energie niet kan worden gecreëerd of vernietigd maar alleen kan worden getransformeerd van de ene vorm naar de andere, wordt besproken in de context van vloeistofpakketten. Hierbij wordt gekeken naar veranderingen in kinetische energie, potentiële energie en interne energie binnen het pakket.
- Vormen van energie: De verschillende vormen van energie binnen een vloeistofpakket worden gedetailleerd beschreven, waaronder kinetische bulkenergie, interne energie (beïnvloed door druk en viskeuze krachten) en mechanismen voor warmteoverdracht zoals elektromagnetische straling en moleculaire geleiding.
- Mechanische arbeid: De rol van mechanische arbeid op een vloeibaar pakket wordt uitgelegd, waarbij wordt opgemerkt dat deze kan worden uitgevoerd door zowel externe krachten (zoals druk) als interne vloeistofspanningen, die kunnen ontstaan door naburige pakketten of vervorming van het pakket zelf.
- Vervorming en compressie-effecten: Het effect van pakketvervorming en drukveranderingen op de energiebalans wordt besproken, waarbij wordt benadrukt hoe deze factoren ertoe kunnen leiden dat er aanzienlijke arbeid wordt verricht op het pakket en de thermische toestand ervan kunnen beïnvloeden.
- Viskeuze dissipatie: Het fenomeen van viskeuze dissipatie, waarbij mechanische energie wordt omgezet in warmte als gevolg van vloeistofviscositeit, wordt genoemd als een factor die bijdraagt aan overwegingen met betrekking tot energiebehoud.
- Turbulentie: Turbulente stromingen introduceren extra complexiteiten voor energiebehoud, in het bijzonder met betrekking tot de opwekking en dissipatie van turbulentiekinetische energie (TKE). Hoewel TKE significant is in turbulente stromingen, kan het verwaarloosd worden in bepaalde scenario’s waar de opwekkings- en dissipatiesnelheden ongeveer in evenwicht zijn.
In het algemeen proberen we uit te leggen hoe de principes van de thermodynamica van toepassing zijn op vloeistofpakketten, vooral in aerodynamische contexten, en benadrukken we de verschillende factoren waarmee rekening moet worden gehouden bij het analyseren van energiebehoud in dergelijke systemen.
Relatie tussen verschillende fysische grootheden en randvoorwaarden
We hebben zojuist de fundamentele behoudswetten in het Lagrangiaans referentiekader bekeken. Of deze wetten nu toegepast worden in het Lagrangiaans of in het Euleriaans frame, ze leveren vijf vergelijkingen op en we worden geconfronteerd met acht onbekenden. Deze onbekenden bestaan uit drie ruimtecoördinaten (in Lagrangiaans) of snelheidscomponenten (in Euleriaans), evenals vijf lokale materiaal- en thermodynamische eigenschappen: druk, dichtheid, temperatuur en de coëfficiënten van moleculaire viscositeit en thermische geleidbaarheid. Om het systeem volledig te definiëren zijn drie aanvullende constitutieve relaties nodig. In aerodynamica omvatten deze relaties gewoonlijk de ideale toestandsvergelijking voor gassen, die druk, dichtheid en temperatuur met elkaar in verband brengt; de wet van Sutherland, die viscositeit alleen aan temperatuur koppelt; en de relatie van Prandtl voor thermische geleidbaarheid.
Het uitgebreide Navier-Stokes (NS) systeem omvat alle interne vloeistoffysica die nodig is voor onze analyse. Wat betreft de grenzen van ons stromingsdomein, zijn de specifieke randvoorwaarden die we moeten toepassen afhankelijk van het type grens in kwestie. In het geval van stromingsgrenzen hoeft er geen beroep te worden gedaan op aanvullende fysica, aangezien de NS-vergelijkingen zelf dicteren welke randvoorwaarden toegestaan of verplicht zijn, afhankelijk van het stromingsscenario. Als er echter sprake is van grensvlakken met een ander materiaal, meestal “wanden” genoemd, zijn er aanvullende fysische overwegingen nodig om de randvoorwaarden nauwkeurig te definiëren.
Grensvoorwaarden specificeren het gedrag van een systeem aan zijn grenzen of interfaces. Ze zijn essentieel voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen die fysische verschijnselen bepalen en worden vaak gebruikt om interacties tussen verschillende materialen of gebieden binnen een systeem te modelleren. Enkele veel voorkomende soorten randvoorwaarden zijn:
- Dirichlet randvoorwaarden: Deze specificeren de waarden van de afhankelijke variabelen (bijv. temperatuur, snelheid) aan de grenzen van een domein.
- Neumann grensvoorwaarden: Deze specificeren de gradiënten of stromen van afhankelijke variabelen aan de grenzen, in plaats van hun absolute waarden.
- Robin randvoorwaarden: Ook bekend als gemengde randvoorwaarden, deze specificeren een combinatie van voorgeschreven waarden en gradiënten aan de grenzen.
- Periodieke randvoorwaarden: Deze worden gebruikt om systemen te modelleren waarbij de grenzen zich omsluiten om een periodiek domein te vormen, zoals in simulaties van periodieke structuren of vloeistofstromingen in kanalen.
- Interfacevoorwaarden: Bij het modelleren van de interactie tussen verschillende materialen of fasen, specificeren interfacevoorwaarden hoe grootheden zoals spanning, verplaatsing of warmtestroom gerelateerd zijn aan de interface.
Constitutierelaties beschrijven de relatie tussen verschillende fysische grootheden binnen een materiaal of vloeistof. Deze relaties zijn meestal afhankelijk van de materiaaleigenschappen en kunnen variëren op basis van de omstandigheden waaraan het materiaal of de vloeistof wordt onderworpen. Enkele veel voorkomende constitutieve relaties zijn:
- Spanning-rekrelaties: In de vaste mechanica beschrijven deze relaties hoe spanning (kracht per oppervlakte-eenheid) gerelateerd is aan rek (vervorming) in een materiaal. Verschillende materialen vertonen een verschillend spanning-rek gedrag, zoals elastische, plastische of visco-elastische reacties.
- Vloeibare spanning-rek relaties: Voor vloeistoffen beschrijven constitutieve relaties vaak hoe spanning (schuifspanning, normaalspanning) gerelateerd is aan de reksnelheid (deformatiesnelheid). Deze relaties kunnen parameters bevatten zoals viscositeit voor Newtonse vloeistoffen, of complexere modellen voor niet-Newtonse vloeistoffen.
- Thermodynamische relaties: In de thermodynamica beschrijven constitutieve relaties hoe eigenschappen zoals druk, temperatuur en dichtheid aan elkaar gerelateerd zijn onder verschillende omstandigheden. Vergelijkingen van toestanden, zoals de ideale gaswet of complexere formuleringen voor echte gassen, zijn voorbeelden van thermodynamische constitutieve relaties.
- Elektromagnetische relaties: In de materiaalkunde en elektromagnetisme beschrijven constitutieve relaties hoe elektrische geleidbaarheid, permittiviteit en permeabiliteit zich verhouden tot de elektrische en magnetische velden.
De wiskundige kenmerken van vergelijkingen
Het voorgestelde stelsel van vergelijkingen bestaat uit vijf veld-PDE’s en drie algebraïsche constitutieve relaties, in totaal acht onbekenden. Deze vergelijkingen vertonen een gemengd hyperbolisch/elliptisch karakter in de ruimte, waardoor randvoorwaarden nodig zijn voor een oplossing over het hele domein. Terwijl numerieke oplossingen vooruit kunnen gaan in de tijd, is ruimtelijke progressie niet haalbaar. Vanwege de niet-lineariteit van de vergelijkingen kunnen oplossingen over het algemeen niet worden bereikt door superpositie. Zelfs voor een oplossing met een constante stroming is een methode nodig die verder gaat dan een enkele matrixinversie, zoals tijdmarchering of iteratieve processen. Deze complexiteiten zullen verder worden onderzocht in de context van CFD-methoden. Oplossingen voor de NS-vergelijkingen zijn niet altijd uniek, vooral wanneer meerdere oplossingen voor constante stroming overeenkomen met dezelfde geometrie van het lichaam. Hoewel er theoretisch turbulentievrije oplossingen bestaan, zijn deze vaak dynamisch instabiel bij hoge Reynoldsgetallen en worden ze zelden waargenomen in de natuur.
Vanwege de bovengenoemde uitdagingen is het vinden van analytische oplossingen voor de NS-vergelijkingen alleen mogelijk voor een beperkt aantal eenvoudige gevallen met beperkte afmetingen en constante vloeistofeigenschappen. Zelfs in deze gevallen zijn de oplossingen alleen toepasbaar onder bepaalde beperkende voorwaarden waarbij de effecten van traagheid verwaarloosd kunnen worden. Er bestaan bijvoorbeeld eendimensionale oplossingen voor gelijkmatige, volledig ontwikkelde stroming in vlakke tweedimensionale kanalen of pijpen met een cirkelvormige doorsnede, evenals tweedimensionale oplossingen voor stroming rond een cirkelvormige cilinder of bol bij lage Reynoldsgetallen. In situaties met hoge Reynoldsgetallen kunnen benaderende oplossingen voor de tweedimensionale NS-vergelijkingen worden verkregen met behulp van grenslaagtheorie, waarvoor slechts een eendimensionale gewone differentiaalvergelijking (ODE) hoeft te worden opgelost. Voor meer algemene stromingen zijn numerieke oplossingen echter de enige haalbare optie, tenzij er vereenvoudigende aannames gedaan kunnen worden.
Het Euleriaanse Frame
In het Euleriaanse raamwerk is de observatie gericht op het gedrag van vloeistof terwijl het langs specifieke punten beweegt binnen een aangewezen ruimtelijk raamwerk. In plaats van het monitoren van de veranderingen die ervaren worden door vaste delen van de vloeistof, zoals gedaan wordt in het Lagrangiaanse raamwerk, verschuift de focus naar het observeren van het gedrag binnen infinitesimale volume-elementen die geïntegreerd zijn in het ruimtelijke coördinatenstelsel. Deze volume-elementen in het Euleriaanse raamwerk hebben een continue vloeistofstroom die er doorheen en over hun grenzen gaat. Deze stroom weerspiegelt de beweging die waargenomen wordt in het Lagrangiaanse raamwerk. De verandering in perspectief vereist een andere behandeling van het convectieproces bij het toepassen van behoudswetten. In de Lagrangiaanse benadering wordt convectie impliciet beschouwd door de definitie van vaste vloeistofpakketten, zonder termen in de behoudsvergelijkingen die rekening houden met convectie over de pakketgrenzen heen, omdat deze beweging per definitie afwezig is. In de Euleriaanse benadering daarentegen, waar vloeistofflux over de grenzen van volume-elementen gebruikelijk is, moet het convectieproces expliciet in de vergelijkingen worden opgenomen als extra termen.
Wiskundig gezien ontstaan de extra termen als we de tijdsafgeleiden in de
Lagrangiaanse vergelijkingen vervangen door hun Euleriaanse equivalenten, met behulp van Vergelijking:
De Euleriaanse vergelijkingen bevatten termen die rekening houden met convectie-effecten, die voortkomen uit de V – ∇ term aan de rechterkant. Om dit concept te illustreren, onderzoeken we de x-component van het impulsmoment van een Lagrangiaans pakket met een volume van dV, aangeduid als ρ udV. Door de bovenstaande vergelijking op deze specifieke grootheid toe te passen, kunnen we de implicaties ervan beter begrijpen:
De term die als tweede verschijnt aan de rechterkant van de vergelijking symboliseert de momentumconvectie in de Euleriaanse x-momentumvergelijking in zijn meest basale vorm. Een alternatieve voorstelling die vaak in wetenschappelijke werken voorkomt, houdt in dat de dichtheid buiten de afgeleide wordt geplaatst, wat resulteert in een duidelijker verband met de Lagrangiaanse versnelling Du/Dt.
Om deze alternatieve vorm te verkrijgen, is het nodig om ons te beroepen op het principe van massabehoud, dat in zijn Lagrangiaanse formulering beweert dat de massa van een Lagrangiaans pakket constant blijft in de tijd. Als we weer gebruik maken van de definitie van de substantiële afgeleide, komen we op:
Convectieproces in detail
Laten we nu dieper ingaan op het convectieproces. Het is een vaststaand feit dat convectie wederkerig is over een gedeelde grens tussen twee pakketten. Dit concept kan worden vergeleken met de derde wet van Newton in de mechanica, die voorschrijft dat de krachten die worden uitgeoefend door twee lichamen die met elkaar in contact komen, gelijk en tegengesteld moeten zijn. Dit evenwicht is nodig omdat er op het grensvlak geen mechanisme is om een onevenwichtige kracht in stand te houden. Wanneer we twee vloeistofpakketten beschouwen die een grens delen, is er geen mechanisme om de flux van een geconserveerde grootheid te veranderen, dus de flux die het ene pakket verlaat moet gelijk zijn aan de flux die het andere pakket binnenkomt. In onze algemene Navier-Stokes formulering hoeven we deze wederkerigheid niet expliciet af te dwingen, omdat deze inherent in stand wordt gehouden door de continuïteit van alle stromingsvariabelen. In gespecialiseerde theorieën met discontinuïteiten, zoals schokmodellering in inviscide oplossingen, zijn echter extra vergelijkingen nodig om ervoor te zorgen dat de behoudsrelaties over de discontinuïteit heen gehandhaafd blijven.
De convectietermen in de behoudsvergelijkingen hebben een duidelijke fysische interpretatie. Wanneer er een onevenwicht is tussen de convectiesnelheid in een volume-element en de convectiesnelheid naar buiten, werkt convectie als een bron van de geconserveerde grootheid en moet er in de behoudswet rekening mee worden gehouden. Deze termen geven de totale snelheid aan waarmee een geconserveerde grootheid in of uit een volume-element wordt getransporteerd. In het geval van massabehoud is deze netto convectie de enige factor die bijdraagt aan de verandering in de totale massa binnen het element in de loop van de tijd, vooral in omstandigheden met constante stroming waarbij de massaflux in en uit het element gelijk moet zijn. Dit principe geldt niet alleen voor lokale pakketten, maar ook voor grotere volumes, zoals een gestaag stromende stroombuis, waar de massaflux door elk oppervlak dat de buis doorsnijdt constant moet blijven. Netto convectie speelt een cruciale rol bij het handhaven van het evenwicht in het behoud van momentum en energie, maar het is essentieel om ook rekening te houden met de effecten van externe krachten die op de vloeistof werken (momentum en energie) en warmtegeleiding.
De momentum- en energiebalansen in onze formulering kunnen beïnvloed worden door externe bronnen, zoals zwaartekracht of elektromagnetische krachten die op de vloeistof werken, en warmteoverdracht door absorptie en emissie van straling. Met deze bijdragen kan gemakkelijk rekening worden gehouden. Daarnaast kan de uitwisseling van kracht of energie tussen vloeistofpakketten die niet in direct contact met elkaar staan, bekend als interne niet-lokale effecten, de balansen ook beïnvloeden. In aerodynamica worden deze externe effecten en interne niet-lokale effecten echter meestal als verwaarloosbaar beschouwd. Daarom zijn de enige effecten die in onze vergelijkingen moeten worden weergegeven, de effecten die door direct contact tussen pakketten worden doorgegeven. Dit omvat de krachten tussen de pakketten die worden weergegeven door de schijnbare interne spanningen en de warmtefluxen door geleiding, die worden uitgewisseld tussen aangrenzende vloeistofpakketten. Het is belangrijk om op te merken dat deze grootheden niet fysiek gebonden zijn aan het vloeibare materiaal en er niet mee convecteren. Ze worden niet beïnvloed door veranderingen in de snelheid van ons referentiekader en verschijnen hetzelfde in zowel het Euleriaanse als het Lagrangiaanse kader.
In het typische scenario dat in aerodynamica wordt waargenomen, vindt de primaire overdracht van krachten binnen de vloeistof plaats tussen naburige vloeistofpakketten. Op dezelfde manier werken convectie-effecten in een Euleriaans kader ook uitsluitend tussen aangrenzende Euleriaanse pakketten. Bijgevolg is er in onze conventionele aerodynamische stromingen geen mechanisme voor enige vorm van “kracht op afstand” uitwisseling, waardoor “inductie” of soortgelijke effecten op afstand uitgesloten zijn. Hoewel de wet van Biot-Savart een inductie-effect op afstand kan suggereren, is het onjuist om de snelheid op één punt te zien als zijnde “geïnduceerd” of “veroorzaakt” door de vorticiteit op een ander punt. Dit is slechts één illustratie van de uitdagingen die gepaard gaan met het toeschrijven van oorzaak en gevolg in het domein van de vloeistofmechanica.
Motivatie De rol van de luchtvaartingenieur is de afgelopen jaren aanzienlijk veranderd en zal zich blijven ontwikkelen. De komst van geavanceerde computationele hulpmiddelen heeft een revolutie teweeggebracht in de ontwerpprocessen voor verschillende soorten vliegvoertuigen, waardoor ongekende niveaus van ontwerptechnologie bereikt kunnen worden. Naarmate de prestatiedoelen veeleisender worden, zal de rol van de ingenieur…
Op het gebied van computationele vloeistofdynamica (CFD)-analyse zijn de Reynoldsgemiddelde Navier Stokes (RANS)-methoden van oudsher de beste keuze geweest voor het bestuderen van turbulente stromingen in praktische engineeringsscenario’s. Op RANS gebaseerde technieken vallen aan de ene kant van het spectrum van turbulente berekeningsmethoden. Op RANS gebaseerde technieken vallen aan de ene kant van het spectrum van turbulente berekeningsmethoden, waarbij turbulente vloeistofdynamische effecten vervangen worden door een turbulentiemodel. Aan de andere kant…
Motivatie Het idee om de beweging rond een object op te delen in een externe inviscide beweging en een interne viskeuze beweging, elk beheerst door vereenvoudigde vergelijkingen, werd voor het eerst geïntroduceerd door Prandtl in 1904. Sindsdien heeft dit concept een uitgebreide ontwikkeling ondergaan en wordt het op grote schaal gebruikt als de primaire benadering voor het maken van kwantitatieve voorspellingen van viskeuze…
Motivatie Machinaal leren biedt veel kansen om het onderwerp computationele stromingsdynamica verder te ontwikkelen en is snel in opkomst als een fundamenteel hulpmiddel voor wetenschappelijk computergebruik. Wij belichten enkele van de gebieden met de grootste potentiële invloed in dit perspectief, zoals het verbeteren van de modellering van de turbulentiesluiting, het versnellen van directe numerieke simulaties en het creëren van verbeterde modellen van lagere orde….
“Elke wiskundige gelooft dat hij voor ligt op de anderen. De reden dat niemand dit in het openbaar zegt, is omdat het intelligente mensen zijn” – Andrey Kolmogorov PDF Download: The k-ω Family of Turbulence Models (door Tomer Avraham) Abstract Er worden drie versies van het k-omega turbulentiemodel met twee kwadranten gepresenteerd. De eerste is de oorspronkelijke…