We beschikken over een aantal concepten die waardevol blijken te zijn bij het beschouwen van de verdeling van vorticiteit binnen het stromingsveld. In eerste instantie zullen we ons richten op de concepten die van toepassing zijn op het typische realistische scenario waarin vorticiteit continu verdeeld is.
In elk gebied waar de vorticiteit niet gelijk is aan nul, is het mogelijk om een vortexlijn vast te stellen als een ruimtelijke kromme die parallel loopt aan de vorticiteitsvector. Dit is vergelijkbaar met hoe een stroomlijn uitlijnt met de snelheidsvector. Bijgevolg lijkt een vortexlijn binnen het vorticiteitsveld op een stroomlijn binnen het snelheidsveld. Net zoals we het begrip stroomlijn hebben uitgebreid tot een stroombuis, kunnen we het begrip vortexlijn ook uitbreiden tot een vortexbuis.
De vorticiteitsflux over de grens van een vortexbuis is inherent nul volgens de definitie. Bovendien is de divergentie van de krul van een vector, in het bijzonder de snelheid (waarvan de krul de vorticiteit voorstelt), nul volgens de vectoridentiteit. Bijgevolg blijft de flux constant over elke doorsnede van de buis, ongeacht de positie langs de lengte.
De constantheid van de vorticiteitsflux binnen een vortexbuis bepaalt de veranderingen in vorticiteitsgrootte die gepaard moeten gaan met het uitrekken van de vortex. Wanneer de doorsnede van een vortexbuis afneemt, hetzij in de loop van de tijd, hetzij over de lengte, moet de sterkte van de vorticiteit (de grootte van de vorticiteitsvector) toenemen. In het geval van een segment van de wervelbuis dat een vaste hoeveelheid vloeistof bevat, vereist een vermindering van de dwarsdoorsnede meestal een toename van de lengte, of uitrekking. Dit uitrekken is vooral nodig als de vloeistofdichtheid constant blijft, zoals we later zullen onderzoeken in verband met het behoud van massa. Bijgevolg vergroot het uitrekken van een vortexbuis over het algemeen de plaatselijke vorticiteit.
De constantheid van de vorticiteitsflux in een vortexbuis maakt het noodzakelijk dat de grootte van de vorticiteit verandert wanneer de vortex wordt uitgerekt. Wanneer de dwarsdoorsnede van een vortexbuis afneemt, hetzij in de loop van de tijd of over de lengte, moet de intensiteit van de vorticiteit (de grootte van de vorticiteitsvector) toenemen. Om een verminderde dwarsdoorsnede binnen een bepaalde hoeveelheid vloeistof op te vangen, is meestal een toename in lengte of uitrekking nodig.
Een vortexfilament is een slanke vortexbuis met een extreem kleine maximale afmeting in zijn dwarsdoorsnede. De dwarsdoorsnede van een wervelfilament is ook oneindig klein, maar toch wordt aangenomen dat deze langs de lengte van het filament varieert, waardoor het aan de criteria van een wervelbuis voldoet. In het geval van een wervelfilament is de vorticiteitsflux over een dwarsdoorsnede gelijk aan het product van de vorticiteitsmagnitude en de dwarsdoorsnede, die bekend staat als de intensiteit van het filament. Het is belangrijk om op te merken dat deze definitie van intensiteit, als de vorticiteitsstroom door een infinitesimaal gebied, verschilt van andere bekende concepten van intensiteit, zoals de intensiteit van een lichtstraal, die gedefinieerd wordt als de energieflux per oppervlakte-eenheid. De tweede stelling van Helmholtz stelt dat de intensiteit van een vortexdraad constant blijft over de lengte. Dit behoud van intensiteit impliceert dat een wervelfilament niet binnen het vloeistofdomein kan eindigen, maar ofwel een gesloten lus (vortexlus) moet vormen of aan de grens van het domein moet eindigen.
Afhankelijk van de eigenschappen van de grens worden er beperkingen opgelegd aan de mogelijke manieren waarop vortexfilamenten of vortexlijnen daar kunnen eindigen. Laten we eerst het unieke scenario onderzoeken van een individueel vortexfilament dat wordt ingesloten door irrotatiestroming. In het geval dat de stroming constant blijft en de grens een interface vormt waar de vloeistof niet doorheen kan, kan het vortexfilament de grens alleen loodrecht snijden.
Deze vereiste vloeit voort uit de noodzaak van een overwegend cirkelvormige stromingsconfiguratie in de buurt van de gloeidraad, binnen vlakken die loodrecht op de gloeidraad zelf staan. Elke afwijking van deze normale oriëntatie zou in tegenspraak zijn met de voorwaarde dat er geen stroming door de rand mag zijn.
Bovendien, als de grens een vast vast oppervlak is waarop geen slip plaatsvindt, moeten de snelheidscomponenten binnen de vlakken loodrecht op de gloeidraad afnemen aan het oppervlak, terwijl de vorticiteitsomvang nul moet benaderen. Bijgevolg kan een geïsoleerde wervelfilament niet eindigen bij een vast oppervlak zonder slip.
In het geval van verdeelde vorticiteit kunnen vortexlijnen een grens zonder doorstroom met slip doorsnijden, en de doorsnijding hoeft niet in de normaalrichting te zijn. Daarentegen is de situatie op een stationair oppervlak zonder slip beperkter. Aangezien de tangentiële snelheid op het oppervlak nul is, moet de wervelheidscomponent loodrecht op het oppervlak ook overal nul zijn. Als de vorticiteitsmagnitude dus niet nul is, moeten de vortexlijnen het oppervlak raken. Dit principe geldt over het algemeen in de viskeuze stroming rond een stationair voorwerp, behalve voor geïsoleerde singuliere scheidings- of aanhechtingspunten waar de vorticiteitsmagnitude op het oppervlak nul is. In dergelijke gevallen kan een vortexlijn het oppervlak normaal snijden, maar de normale vorticiteitscomponent moet nog steeds nul benaderen op het snijpunt. Bijgevolg kunnen vortexlijnen een slipvrij oppervlak alleen snijden op geïsoleerde singuliere punten. Het is een veel voorkomende misvatting dat vortexlijnen een glijvrij oppervlak helemaal niet kunnen snijden, waarbij de hierboven genoemde uitzonderingen buiten beschouwing worden gelaten.
Het is duidelijk dat als vortices in de buurt komen van een vast oppervlak zonder slip, behalve op een enkel geïsoleerd punt, de vortexlijnen gedwongen worden om van richting te veranderen om een snijpunt met het oppervlak te voorkomen. Deze heroriëntering heeft vaak tot gevolg dat de wervelingen bijdragen aan de vorticiteit binnen een viskeuze grenslaag die op het oppervlak gevormd wordt.
1. Laten we nu de theoretische constructies onderzoeken die zijn bedacht voor geïdealiseerde weergaven van stromingen die worden gekenmerkt door sterk geconcentreerde vorticiteit. De aanwezigheid van geconcentreerde vorticiteit in specifieke gebieden speelt een cruciale rol in de analyse van bepaalde stromingen die later besproken zullen worden. In hoofdstuk 8 zullen we ons bijvoorbeeld verdiepen in de vorticiteitspatronen die waargenomen worden in het kielzog achter een hefvleugel, waar de vorticiteit aanvankelijk geconcentreerd is binnen een dunne glijlaag, en uiteindelijk overgaat in twee afzonderlijke, min of meer axisymmetrische wervelingen, allemaal omhuld door een bijna irrotatiestroming.
2. In theoretische modellen van dergelijke stromingsverschijnselen worden deze vorticale structuren vaak vereenvoudigd als mathematisch dunne concentraties, waarbij de afschuiflagen worden geconceptualiseerd als vortexplaten en de wervelingen als lijnwervelingen. Ondanks het feit dat de wervelingen geconcentreerd zijn in gebieden met een doorsnede van nul, vertonen deze geïdealiseerde entiteiten eindige wervelfluxen. Bijgevolg moet de vorticiteitsverdeling op de plaats van de plaat of lijn singulier of oneindig zijn.
3. Bij een vortexplaat wordt meestal geïntegreerd over een eindige breedte van de plaat om een eindige vorticiteitsflux te bepalen, ook al blijft de geïntegreerde oppervlakte nul door de oneindig dunne aard van de plaat. Voor een lijnwervel daarentegen is één enkele integratie over de lijn (in wezen een punt) voldoende om een eindige flux te berekenen. Hoewel er een formeel wiskundig kader bestaat dat een rigoureuze behandeling van deze concepten biedt, is een gedetailleerde verkenning van deze theorie niet nodig voor een uitgebreid begrip van de onderliggende principes.
De lijnwerveling en de wervelfilament, hoewel ze op het eerste gezicht op elkaar lijken, hebben belangrijke verschillen. Ten eerste heeft de lijnwervel een doorsnede van nul, terwijl de gloeidraad een oneindig kleine doorsnede heeft. Bovendien is de vorticiteitsflux van een lijnwervel eindig, terwijl die van een gloeidraad oneindig klein is. Het is belangrijk om een lijnwervel, die een singuliere verdeling van vorticiteit vertegenwoordigt, niet te verwarren met een vortexlijn, die slechts evenwijdig is aan de vorticiteitsvector en typisch gevonden wordt in velden waar de vorticiteit continu verdeeld is.
Een puntwervel, ook wel lijnwervel genoemd in een 2D vlakke stroming, wordt gekenmerkt door een rechte lijn die zich oneindig in beide richtingen loodrecht op het 2D vlak uitstrekt. Deze configuratie geeft de indruk van een enkel punt binnen het 2D-vlak. De lijnwerveling dient als een van de fundamentele singulariteiten die kan worden gebruikt als een fundamenteel onderdeel bij het construeren van oplossingen uit de potentiaalstromingstheorie, zoals uitgewerkt in paragraaf 3.10. In complexere stromingen kan de lijnwerveling echter kromming vertonen, wat een unieke uitdaging vormt. Op elk punt langs een gekromde lijnwervel, waar de kromming niet nul is, wordt de vloeistofsnelheid loodrecht op de wervel oneindig. Bijgevolg wordt het onmogelijk om een realistische snelheid te bepalen waarbij de vortexlijn door de stroming wordt getransporteerd. In werkelijke stromingen is vorticiteit continu verdeeld en eindig in grootte, waardoor oneindige snelheden niet voorkomen.
Het snelheidsveld in verband brengen met concentraties van vorticiteit
Het concept van sterk geconcentreerde werveling wordt vaak vereenvoudigd als een vortexblad of een lijnwerveling. Door de stelling van Stokes te gebruiken, kunnen we nu de snelheidsverdelingen in de directe omgeving analyseren die nodig zijn om overeen te komen met deze geïdealiseerde vorticiteitsverdelingen.
De bovenstaande figuur, gelabeld als (a), illustreert een wervelblad in 2D-stroming. Door de stelling van Stokes toe te passen op een gesloten contour die een kort stuk van de plaat omsluit, wordt het duidelijk dat er een sprong in snelheidsmagnitude over de plaat is, die gelijk is aan de lokale vorticiteitssterkte of de vorticiteit per afstandseenheid langs de plaat in de richting loodrecht op de vorticiteitsvector. In dit specifieke 2D-geval staat de vorticiteitsvector loodrecht op het papiervlak en wordt de afstand langs het vel gemeten in de stroomrichting. De fysieke stroming die bij deze geïdealiseerde vortexplaat hoort, is een afschuiflaag waarbij de snelheidssprong over een eindige dikte wordt verspreid, zoals weergegeven in de figuur met het label (b).
In het geval van een 3D-stroming moet de snelheidssprong over een vortexblad, in vectorzin, nog steeds loodrecht op de vorticiteitsvector staan. In de aerodynamica komt het vaak voor dat een vortexplaat geen sprong in snelheidsmagnitude vertoont, maar alleen in richting. In dergelijke gevallen staat de sprong in de snelheidsvector loodrecht op de vorticiteitsvector, die evenwijdig is aan de richting van het gemiddelde van de snelheidsvectoren aan de twee zijden van de plaat, zoals geïllustreerd in de figuur met het label (c). Er kan worden aangetoond dat als de vorticiteitsvector niet evenwijdig zou zijn aan het gemiddelde van de twee snelheidsvectoren, er een sprong in de snelheidsmagnitude zou moeten zijn.
Vortexplaten die lijken op degene die is afgebeeld in de figuur met het label (c) worden vaak gemodelleerd in 3D potentiaalstromingstheorie. Het is duidelijk uit de definitie van de snelheidspotentiaal dat de sprong in de snelheidsvector ook een sprong in de snelheidspotentiaal noodzakelijk maakt.
Als een fysieke dwarslaag effectief dun is, wat betekent dat de stromingsveranderingen over de laag veel sneller plaatsvinden dan veranderingen in andere richtingen, zal de snelheidssprong ongeveer even groot zijn en loodrecht staan op de integraal van de vorticiteit over de laag.
Is snelheidsinductie door vorticiteit een denkfout?
Elke technische student komt tijdens zijn studie onvermijdelijk de wet van Biot-Savart tegen, of het nu gaat om vloeistofmechanica of klassieke elektromagnetica. Deze wet suggereert dat het begrijpen van de krul van een vectorveld op een specifiek punt inzicht geeft in het gedrag van het vectorveld op een ander punt.
Ondanks de aanvankelijke aantrekkingskracht kan het concept misleidend zijn, omdat het vaak leidt tot onduidelijkheid over de relatie tussen oorzaak en gevolg. Bovendien ondersteunen de mogelijkheid om Navier-Stokes-vergelijkingen om te zetten van snelheids- naar vorticiteitsformulering en het gebruik van potentiële stromingsmodellen om obstakels in de stroming te introduceren, verder de wijdverspreide overtuiging dat vorticiteit snelheid veroorzaakt, zoals gesuggereerd door het Biot-Savart principe.
Hier zit de denkfout. Bij afwezigheid van zwaartekracht of elektromagnetische krachten is er geen actie op afstand in gewone vloeistofstromingen. Het uitdrukken van de vergelijkingen in verschillende vormen en het verwijzen naar de wet van Biot-Savart als een calculusrelatie tussen een vectorveld en zijn krul impliceert niet dat een vortex in punt A een snelheid kan induceren in een verafgelegen punt B. Hoewel het waar is dat een wiskundige relatie zoals de wet van Biot-Savart ons in staat stelt om zowel kwantitatieve als kwalitatieve details af te leiden over het snelheidsveld op een verafgelegen punt, geeft het in de vloeistofmechanica de fysica niet nauwkeurig weer. Daarom is de directe oorzaak-en-gevolgrelatie in deze context enigszins misleidend vergeleken met zijn tegenhanger in de klassieke elektromagnetica.
De wet van Biot-Savart blijkt nuttig te zijn voor kwantitatieve berekeningen. Het kwalitatieve concept dat inzicht in de vorticiteit op een specifiek punt ons in staat stelt om informatie over de snelheid op een ander punt af te leiden, houdt echter zijn eigen waarde. Dit concept dient als een van de meest invloedrijke hulpmiddelen voor het begrijpen van stromingsvelden. Toch kan het, ondanks de kracht ervan, ook een tweesnijdend zwaard zijn, omdat het vaak verwarring veroorzaakt bij het bepalen van oorzaak en gevolg.
Het probleem ontstaat doordat vorticiteit als de “input” wordt beschouwd terwijl snelheid als de “output” wordt gezien, wat leidt tot de gangbare praktijk om de uit vorticiteit afgeleide snelheid geïnduceerde snelheid te noemen. Dit kan er gemakkelijk toe leiden dat men denkt dat vorticiteit op de een of andere manier de “bepaalde” snelheid “veroorzaakt”. Deze denkwijze is echter onjuist. Bij afwezigheid van significante zwaartekracht of elektromagnetische lichaamskrachten is er geen actie op afstand in regelmatige vloeistofstromen. Significante krachten worden alleen overgebracht door direct contact tussen naburige vloeistofpakketten.
Daarom kan een vortex op punt A niet direct een snelheid op een verafgelegen punt B “veroorzaken”, en termen als “veroorzaakt door”, “geïnduceerd” en zelfs “als gevolg van” geven de natuurkunde in kwestie verkeerd weer. Het is cruciaal om te onthouden dat Biot-Savart gewoon een wiskundige relatie is tussen een vectorveld en zijn krul, en in de vloeistofmechanica geeft het geen directe fysische oorzaak-en-gevolgrelatie aan. Dit punt is van het grootste belang en wordt in de literatuur nog niet genoeg benadrukt. Het is intrigerend om de perspectieven van andere auteurs op dit punt te onderzoeken. Aerodynamici hebben bijgedragen aan de verwarring door vrijelijk termen als “geïnduceerde snelheid” en “inductie” te gebruiken. Deze termen zijn afkomstig uit een ander vakgebied, de klassieke elektromagnetica, waar de wet van Biot-Savart van toepassing is en gesteld wordt dat het magnetische veld “geïnduceerd” wordt door de elektrische stroom. In de elektromagnetica is deze terminologie geschikt omdat men ervan uitgaat dat er echte actie op afstand plaatsvindt, waardoor de term “inductie” fysisch passend is. In de vloeistofmechanica is er echter geen direct causaal verband. We begrijpen dat vorticiteit wordt opgewekt, getransporteerd en verspreid, wat verklaart waarom vorticiteit in onze stromingsvelden bestaat: het dient meer als een indicatie van het algemene stromingspatroon dan als een oorzaak ervan.
Om de aanwezigheid van een stromingspatroon te verduidelijken, is het nodig om de feitelijke fysica te raadplegen, in het bijzonder het evenwicht van krachten binnen vloeistofelementen op een bepaalde locatie.