Het doel van dit artikel is niet om de vergelijkingen wiskundig af te leiden, maar om een beknopte, intuïtieve uitleg te geven van de betekenis van de verschillende termen in de vergelijkingen. Daarnaast willen we enkele overkoepelende concepten analyseren die uit de vergelijkingen kunnen worden afgeleid met betrekking tot de kenmerken van stromingen.
De fundamentele vergelijkingen die we gebruiken zijn representaties van principes van behoud voor massa, momentum en energie. Deze principes worden het effectiefst verwoord en begrepen binnen het Lagrangiaanse referentiekader, waar we de beweging weergeven in relatie tot de paden van onveranderlijke vloeistofpakketten terwijl ze zich in de tijd voortbewegen.
Desalniettemin is het Euleriaanse referentiekader, waarbij de stroming wordt beschreven terwijl deze langs punten in een ruimtelijk referentiekader gaat dat onafhankelijk is van de vloeistof, uiteindelijk de voorkeursoptie om zowel conceptuele als kwantitatieve redenen. De methode die ik in deze context zal gebruiken is om een korte uitleg te geven over de betekenis van behoudswetten in het Lagrangiaanse frame, voordat ik overga op een discussie over hoe ze in het Euleriaanse frame worden geformuleerd.
In zowel het Lagrangiaanse als het Euleriaanse perspectief zullen we het gedrag van kleine vloeistofvolumes onderzoeken, zij het met verschillende definities in beide gevallen. De afleiding van onze behoudswetten als partiële differentiaalvergelijkingen (PDE’s) brengt een formeel proces met zich mee van het benaderen van oneindig kleine afmetingen voor onze vloeistofpakketten. Hoewel we in dit betoog niet in detail op deze procedure zullen ingaan, is het belangrijk dat de lezer in gedachten houdt dat vloeistofpakketten in elk referentiekader als willekeurig klein moeten worden geconceptualiseerd.
Lamb (1932) geeft een definitie voor een vast Lagrangiaans vloeistofpakket, waarin staat dat het uitsluitend bestaat uit dezelfde vloeistofdeeltjes gedurende de tijd. Om deze consistentie te behouden, moet het begrenzende oppervlak van het pakket met de vloeistof meebewegen op een manier die voorkomt dat er vloeistofdeeltjes doorheen gaan. Het is echter belangrijk om te erkennen dat dit concept een idealisatie is die alleen opgaat in onze conceptuele continuümwereld. In werkelijkheid zullen moleculen onvermijdelijk in beide richtingen over zo’n grens diffunderen, en het beste wat we kunnen doen is ervoor zorgen dat de grens de gemiddelde beweging van de vloeistof volgt, zodat er geen nettostroom van materiaal overheen gaat. Ongeacht het perspectief zal het pakket altijd dezelfde hoeveelheid materiaal bevatten en geen nettoflux van materiaal over het begrenzende oppervlak vertonen. Deze benadering, waarbij massadiffusie buiten beschouwing wordt gelaten, werkt goed in het geval van éénsoortige vloeistoffen of multisoortige vloeistoffen waarbij de relatieve soortconcentraties constant blijven. Als de relatieve soortconcentraties echter aanzienlijk variëren, wordt het definiëren van een Lagrangiaans vloeistofpakket problematisch. Voorlopig zullen we deze kleine beperking van de Lagrangiaanse beschrijving over het hoofd zien en verder gaan met onze discussie.
Zoals eerder vermeld, worden behoudswetten opgesteld voor massa, momentum en energie. De reden hiervoor is dat deze grootheden fundamenteel zijn in de fysica en thermodynamica, waardoor ze behouden moeten blijven. In tegenstelling tot druk of viskeuze spanningen, die vanwege hun aard geen behoudswetten hebben. Massa, momentum en energie zijn nauw verbonden met het materiaal van de vloeistof en convecteren mee. Deze geconvecteerde grootheden worden geassocieerd met Lagrangiaanse vloeistofpakketten, wat betekent dat elke verandering in de grootheid binnen een pakket alleen kan optreden door fysische processen binnen het pakket of aan de grenzen ervan. Behoudswetten dienen om deze veranderingen te kwantificeren en bieden een kader om het behoud van massa, momentum en energie binnen het Lagrangiaanse perspectief te begrijpen.
Continuïteit van de stroming – ons behoud van massa
Volgens onze nauwkeurige definitie van een vloeistofpakket in de Lagrangiaanse beschrijving, is het behoud van massa binnen het pakket inherent gegarandeerd. Desalniettemin moet de vergelijking die verantwoordelijk is voor het expliciet garanderen van het massabehoud nog extra functies vervullen. De continuïteitsvergelijking legt een verband tussen de vloeistofdichtheid op verschillende punten en het volume dat het inneemt, en voldoet daarmee aan twee essentiële criteria:
- Het behoud van massa is een fundamenteel principe binnen elk Lagrangiaans perceel, in overeenstemming met de gedefinieerde eigenschappen van het perceel.
- Er zijn geen lege ruimtes tussen Lagrangiaanse pakketten, en naburige pakketten snijden elkaar niet. Het is essentieel om het hele vloeistofvolume te zien als volledig gevuld met Lagrangiaanse pakketten die het massabehoud handhaven.
De continuïteitsvergelijking in de Lagrangiaanse beschrijving kan gemakkelijk in natuurkundige zin worden begrepen: Wanneer het volume van een vloeistofpakket verandert, moet de dichtheid van de vloeistof ook veranderen om de massa van het pakket constant te houden.
Hoewel de basis voor de continuïteitsvergelijking natuurkundig is (eisen 1 en 2 hierboven), zijn de eisen die de vergelijking aan de stroming stelt niet zo direct in de zin van oorzaak en gevolg als die van andere vergelijkingen. Bijvoorbeeld, in het behoud van momentum. veroorzaken krachten direct versnellingen; en in het behoud van energie.
Krachten op vloeistofpakketten en behoud van momentum
In het Lagrangiaanse referentiekader wordt het behoud van momentum expliciet afgedwongen door de tweede wet van Newton, F = ma. Ons Lagrangiaanse vloeistofpakket heeft een constante massa, en de versnelling ervan wordt bepaald door het cumulatieve effect van de krachten die erop worden uitgeoefend.
Externe lichaamskrachten zoals zwaartekracht en elektromagnetische krachten kunnen op een pakketje werken, maar in de aerodynamica worden deze krachten meestal als onbelangrijk beschouwd. De focus ligt voornamelijk op de krachten die door naburige pakketten op het oppervlak van het pakket worden uitgeoefend. Volgens de derde wet van Newton moeten deze oppervlaktekrachten gelijk en tegengesteld zijn over de gedeelde grens. Deze krachten worden “schijnbare interne vloeistofspanningen” genoemd. Het is bekend dat deze spanningen kunnen worden gezien als verdeelde spanningen in de geïdealiseerde wereld van het continuüm, terwijl het in werkelijkheid slechts schijnbare spanningen zijn die het gevolg zijn van impulsoverdracht door moleculaire beweging. Desalniettemin zullen we ze in het vervolg behandelen als werkelijke spanningen.
In eerdere berichten van de “Alles over CFD” – “Grondbeginselen van Aerodynamica” hebben we tijdens onze discussie het concept onderzocht om deze spanningen als een tensor voor te stellen. Deze benadering blijkt voordelig te zijn als het op wiskundige manipulatie aankomt. Voor een natuurkundig begrip is het echter intuïtiever om in termen van krachtvectoren te denken. Door de spanningstensor te laten samentrekken met de eenheidsvector die loodrecht op de hypothetische grens tussen percelen staat, verkrijgen we een vector die de kracht per oppervlakte-eenheid voorstelt die over de grens werkt. Bovendien kunnen we deze vector ontbinden in twee componenten: één die loodrecht op de grens staat en één die er evenwijdig aan is. In de context van de NS-vergelijkingen wordt aangenomen dat de loodrechte component de lokale hydrostatische druk is, vaak de statische druk genoemd. Aan de andere kant staat de parallelle component bekend als de schuifspanning, die uitsluitend ontstaat door de effecten van viscositeit.
Het intuïtief begrijpen van druk brengt uitdagingen met zich mee vanwege de inherente aard ervan in de continuüm vloeistofmechanica. Druk kan worden gevisualiseerd als de normale spanning die wordt uitgeoefend op hypothetische grenzen die een specifiek punt in de ruimte omvatten.
Ondanks het feit dat het een scalaire grootheid is, oefent het op een bepaald punt een uniforme kracht uit in alle richtingen. In het begin kan het moeilijk zijn om dit concept te begrijpen. Sommige commentatoren, zoals Anderson en Eberhardt (2001), hebben statische druk verkeerdelijk gedefinieerd als “de druk gemeten parallel aan de stroming”.
Deze beschrijving is echter in tegenspraak met de ware essentie van druk, die niet beïnvloed wordt door de stroomrichting en gelijkmatig in alle richtingen werkt. Een meer intuïtieve benadering om druk te begrijpen, houdt in dat de invloed ervan op een klein maar eindig vloeistofpakket wordt bekeken. Binnen een veld met constante druk ondervindt dit pakketje in alle richtingen gelijke inwaartse krachten van de omringende vloeistof.
Om enige versnelling in het pakketje teweeg te brengen, moet de totale spanning die op alle vlakken van het pakketje inwerkt resulteren in een vectorsom die niet nul is, wat duidt op een onevenwichtige kracht. Spanningen op tegenoverliggende zijden van het pakket werken in tegengestelde richtingen en heffen elkaar op als hun grootte gelijk is. In een veld met constante druk heffen normaalspanningen elkaar op, wat resulteert in geen onevenwichtige kracht. Om een onevenwichtige kracht te hebben, moet de grootte van de spanningen aan tegenovergestelde zijden van het pakket verschillen, wat een niet-uniforme druk of viskeuze spanning vereist.
Bijgevolg is de onevenwichtige kracht niet afhankelijk van de spanning op zich, maar van de spanningsgradiënt, die in de context van druk wordt gesymboliseerd door ∇p. Dit heeft meestal te maken met niet-uniforme vloeistofstroming. Aangezien krachten beïnvloed worden door de beweging van het vloeistofpakket en de aangrenzende pakketten, wordt de oorzaak-en-gevolgrelatie tussen spanningen en snelheden cirkelvormig, waardoor onze analyse ingewikkelder wordt. Dit onderwerp zal verder worden uitgediept in een volgende editie van onze “Alles over CFD” serie over de “Grondbeginselen van Aerodynamica”.
De versnelling van een deeltje wordt bepaald door de momentumvergelijking, daarom moet men de vergelijking integreren om de snelheid van het deeltje te bepalen. In de volgende hoofdstukken van deze serie zal worden aangetoond hoe het integreren van de momentumvergelijking voor de constante stroming van een inviscide vloeistof resulteert in de vergelijking van Bernoulli, een zeer waardevolle stromingsrelatie.