Om de materiële afgeleide van volume- en oppervlakte-integralen te analyseren, beginnen we met het definiëren van de materiële afgeleide, ook wel substantiële afgeleide genoemd. Daarna onderzoeken we de toepassing ervan op volume- en oppervlakte-integralen met behulp van wiskundige notatie en concepten uit de vectorrekening.
De materiële afgeleide
De afgeleide D/Dt, ook wel de materiële tijdsafgeleide genoemd, is in feite de tijdsafgeleide van de grootheid B voor een vast stoffelijk punt. En de materiaalpunten worden vaak gedefinieerd door de beginpositievector op t = 0. De positievector van het materiaalpunt op elk tijdstip t > 0 wordt gegeven door:
Elke stroomvariabele gedefinieerd voor een willekeurig materiaalpunt x0 wordt gedefinieerd door B(x0,t).
De overeenkomstige ruimtelijke beschrijving zal dus B[x(x0,t),t].
Uit de bovenstaande beschrijving kunnen we afleiden dat er twee soorten tijdsderivaten zijn:
De relatie tussen de twee afgeleiden kan worden verkregen door de kettingregel toe te passen:
De tijdsafgeleiden op vaste ruimtelijke locaties worden Euleriaanse tijdsafgeleiden genoemd, en die op een vast stoffelijk punt worden Lagrangiaans genoemd.
Nu komen we bij de materiële afgeleide van volume-integralen, d.w.z. de transportstelling van Reynold die stelt dat:
De bovenstaande stelling is niets anders dan een uitbreiding van de differentiatieregel van Leibnitz wanneer de limieten van de integraal zelf tijdsafhankelijk zijn.
Als we de gebruikelijke definitie van afgeleide als de limiet van “delta t” die naar 0 neigt toepassen op de linkerkant van de bovenstaande vergelijking, krijgen we:
In de bovenstaande vergelijking voegen we nu de onderstaande term toe en trekken deze af:
De vergelijking wordt dan:
De tweede term is gewoon:
En de eerste term kan herschreven worden als:
Waaruit blijkt dat het de integraal is van B
Om de bovenstaande integraal te vinden, moet elk differentiaalelement dAm van Vm
Waarbij Am
Vandaar dat de uiteindelijke vorm van de Reynolds Transportstelling zal zijn:
De volgende stap kan genomen worden door de toepassing van de Divergentietheorie van Gauss over de oppervlakte-integraal van de rechterzijde van de bovenstaande vergelijking om de bekende vorm van equivalente differentiaalvorm van de bovenstaande vergelijking te verkrijgen.
Laten we een eenvoudige toepassing nemen waarbij we dichtheid ρ(x,t) hebben in plaats van de stroomvariabele B(x, t). Dan krijgen we door toepassing van de divergentietheorie van Gauss zoals hierboven gezegd de uiteindelijke differentiaalvorm van massabehoud:
Materiële Afgeleide van Oppervlakte-integraal:
In dit hoofdstuk gaan we dezelfde concepten toepassen die hierboven zijn ontwikkeld voor het geval van materiaalafgeleide van volume-integralen om de regerende vergelijkingen voor de diffusievergelijking van de oppervlakteactieve stofconcentratie over een grensvlak van twee media te verkrijgen.
Hier gebruiken we het principe van behoud van de oppervlakteactieve stofconcentratie over een materiaaloppervlak, ervan uitgaande dat er geen bronnen of putten zijn, hetzij door chemische reacties of een flux van of naar de omringende vloeistoffen in de bulkfase. Dus krijgen we:
Waarbij D/Dt de materiaalafgeleide voor punten op het grensvlak en Sm
Opnieuw, door dezelfde stappen te volgen als beschreven in de bovenstaande sectie van Reynolds Transporttheorema voor materiaalvolume en in gedachten te houden dat de volume-integralen vervangen moeten worden door oppervlakte-integralen en oppervlakte-integralen door contourintegralen, kunnen we een vergelijking verkrijgen voor de diffusievergelijking van de oppervlakteactieve stofconcentratie over een grensvlak van twee media:
Waarbij u = snelheid van de oppervlakteactieve deeltjes langs het oppervlak van het grensvlak
Γ = concentratie van de oppervlakteactieve stof over het grensvlak
nc = eenheidsvector loodrecht op de contour van het oppervlakte-element
nt = eenheidsvector rakend aan de contour van het oppervlakte-element
n = eenheidsvector loodrecht op het oppervlak van het raakvlak
Cm
Nu is nc kan herschreven worden als nc = nt x n.
De tweede term van het rechterlid van bovenstaande vergelijking kan dus herschreven worden als:
Waar dl = elementaire tangentiële vector langs de contour van het oppervlakte-element.
We kunnen dus zien dat de integrand in de integraal niets anders is dan in wezen een scalair drievoudig product van drie vectoren Γu, dl en n, namelijk [Γu dl n].
Door de eigenschap van scalair drievoudig product te gebruiken:
Door nu de stelling van Stokes over een gesloten contour toe te passen, kunnen we de contourintegraal omzetten in de oppervlakte-integraal begrensd door de contour, dus:
Door de term die het vectordrievoudig product bevat te evalueren, kan bovenstaande omtrekintegraal herschreven worden als:
We kunnen dus een nieuwe operator in het vlak van de interface definiëren als:
Vandaar dat de contourintegraal van de rechterzijde van de materiële afgeleide van de oppervlakte-integraal kan worden geschreven als:
Vandaar dat de allereerste vergelijking van deze sectie voor de materiële afgeleide vergelijking wordt:
Of,
De differentiële vorm wordt dus:
Waarbij:
Als we de snelheid van de oppervlakteactieve stof ontbinden in twee onderling loodrechte richtingen, d.w.z. langs het oppervlak van het grensvlak en loodrecht op het oppervlak van het grensvlak, krijgen we:
Dus de bovenstaande differentiaalvergelijking wordt:
Bij afwezigheid van diffusie zien we dus dat er twee termen zijn die bijdragen aan de verandering in Γ, de ene is eenvoudige convectie met de interfacesnelheid ons, en de tweede term staat bekend als verdunningsterm. Als we een diffusiebijdrage toevoegen, rekening houdend met het feit dat de diffusieterm ontstaat als gevolg van de Brownse beweging en kan worden uitgedrukt als gradiënt van de concentratie van de oppervlakteactieve stof naar analogie van de temperatuurgradiënt in het geval van diffusieve warmtegeleiding, wordt de uiteindelijke vorm van de diffusievergelijking voor de concentratie van de oppervlakteactieve stof met diffusieve term:
In wezen kan deze vergelijking nu in verschillende gevallen worden gebruikt, zoals de verklaring van de beweging van kamferdeeltjes op het wateroppervlak, enz.
Conclusie:
De wiskundige analyse van de materiële afgeleide van volume- en oppervlakte-integralen maakt het mogelijk om beter te begrijpen hoe fysische grootheden evolueren in een bewegende vloeistof. Door de temporele veranderingen in volume- en oppervlakte-integralen van scalaire of vectorvelden te onderzoeken, kunnen we inzicht krijgen in de dynamica en het gedrag van vloeistofstromingssystemen.