Aby przeanalizować pochodną materialną całek objętościowych i powierzchniowych, zaczniemy od zdefiniowania pochodnej materialnej, znanej również jako pochodna istotna. Następnie przeanalizujemy jej zastosowanie do całek objętościowych i powierzchniowych przy użyciu notacji matematycznej i pojęć z rachunku wektorowego.
Pochodna materialna
Pochodna D/Dt, znana również jako pochodna czasowa materiału, jest w rzeczywistości pochodną czasową wielkości B dla ustalonego punktu materialnego. Punkty materialne są często definiowane przez początkowy wektor położenia w chwili t = 0. Wektor położenia punktu materialnego w dowolnej chwili t > 0 jest dany przez:
Każda zmienna przepływu zdefiniowana dla dowolnego punktu materialnego x0 będzie zdefiniowana przez B(x0,t).
Zatem odpowiadający opis przestrzenny będzie miał postać B[x(x0,t),t].
Z powyższego opisu wynika, że istnieją dwa rodzaje pochodnych czasowych:
Związek między tymi dwoma pochodnymi można uzyskać poprzez zastosowanie reguły łańcuchowej:
Pochodne czasowe w ustalonych lokalizacjach przestrzennych nazywane są pochodnymi eulerowskimi, a pochodne czasowe w ustalonym punkcie materialnym nazywane są pochodnymi lagranżowskimi.
Przechodząc teraz do pochodnej materialnej całek objętościowych, tj. twierdzenia Reynoldsa o transporcie, które mówi, że:
Powyższe twierdzenie jest niczym innym jak rozszerzeniem zasady różniczkowania Leibnitza, gdy granice samej całki są zależne od czasu.
Stosując zwykłą definicję pochodnej jako granicy „delta t” dążącej do 0 po lewej stronie powyższego równania, otrzymujemy:
W powyższym równaniu dodajemy i odejmujemy teraz poniższy człon:
Równanie staje się wtedy:
Drugi człon to po prostu:
I pierwsza kadencja można przepisać jako:
Co pokazuje, że jest to całka z B
Aby znaleźć powyższą całkę, dowolny pierwiastek różniczkowy dAm Vm
Gdzie Am
Stąd ostateczna postać funkcji Twierdzenie o transporcie Reynoldsa będzie:
Dalszy krok można wykonać poprzez zastosowanie twierdzenia o rozbieżności Gaussa do całki powierzchniowej prawej strony powyższego równania, aby uzyskać znaną postać równoważnej postaci różniczkowej powyższego równania.
Weźmy przypadek prostego zastosowania, w którym zamiast zmiennej przepływu B(x, t) mamy gęstość ρ(x, t). Następnie otrzymamy przez zastosowanie twierdzenia o dywergencji Gaussa, jak wspomniano powyżej, do ostatecznej postaci różniczkowej zachowania masy:
Pochodna materialna całki powierzchniowej:
W tej sekcji zastosujemy te same koncepcje opracowane powyżej dla przypadku pochodnej materiałowej całek objętościowych, aby uzyskać równania rządzące dla równania dyfuzji stężenia surfaktantu na granicy dwóch mediów.
Wykorzystamy tutaj zasadę zachowania stężenia środka powierzchniowo czynnego na powierzchni materiału, zakładając brak jakichkolwiek źródeł lub zlewów, czy to z powodu reakcji chemicznych, czy też strumienia do lub z otaczających cieczy fazy objętościowej. Otrzymamy więc:
Gdzie D/Dt jest pochodną materiałową dla punktów na interfejsie, a Sm
Ponownie, postępując zgodnie z tymi samymi krokami, które opisano w powyższej sekcji twierdzenia o transporcie Reynoldsa dla objętości materiału i pamiętając o zastąpieniu całek objętościowych całkami powierzchniowymi, a całek powierzchniowych całkami konturowymi, możemy uzyskać równanie dyfuzji stężenia surfaktantu na granicy dwóch mediów:
Gdzie u = prędkość cząstek surfaktantu wzdłuż powierzchni interfejsu
Γ = stężenie środka powierzchniowo czynnego nad interfejsem
nc = wektor jednostkowy normalny do konturu elementu powierzchniowego
nt = wektor jednostkowy styczny do konturu elementu powierzchniowego
n = wektor jednostkowy normalny do powierzchni interfejsu
Cm
Teraz nc można przepisać jako nc = nt x n.
Zatem drugi człon prawej strony powyższego równania można przepisać jako:
Gdzie dl = elementarny wektor styczny wzdłuż konturu elementu powierzchni.
Widzimy więc, że całka wewnątrz całki jest niczym innym jak skalarnym potrójnym iloczynem trzech wektorów Γu, dl i n, który wynosi [Γu dl n].
Wykorzystując właściwość potrójnego iloczynu skalarnego:
Teraz, stosując Twierdzenie Stokesa na zamkniętym konturze, możemy przekształcić całkę konturową na całkę powierzchniową ograniczoną konturem, tj:
Oceniając człon zawierający potrójny iloczyn wektorowy, powyższą całkę konturową można przepisać jako:
Możemy więc zdefiniować nowy operator w płaszczyźnie interfejsu jako:
Stąd całka konturowa prawej strony pochodnej materiałowej całki powierzchniowej może być zapisana jako:
Stąd pierwsze równanie tej sekcji dla równania pochodnej materiału staje się:
Lub,
Zatem postać różnicowa będzie wyglądać następująco:
Gdzie:
Jeśli rozłożymy prędkość środka powierzchniowo czynnego na dwa wzajemnie prostopadłe kierunki, tj. wzdłuż powierzchni interfejsu i prostopadle do powierzchni interfejsu, otrzymamy:
Tak więc powyższe rządzące równanie różniczkowe staje się:
W związku z tym, przy braku dyfuzji, widzimy, że istnieją dwa terminy przyczyniające się do zmiany Γ, jeden to prosta konwekcja z prędkością interfejsu us, a drugi termin znany jako termin rozcieńczenia. Jeśli dodamy udział dyfuzji, biorąc pod uwagę fakt, że człon dyfuzyjny powstaje w wyniku ruchów Browna i może być wyrażony jako gradient stężenia surfaktantu analogicznie do gradientu temperatury w przypadku dyfuzyjnego przewodzenia ciepła, ostateczna postać równania dyfuzji stężenia surfaktantu z członem dyfuzyjnym będzie następująca:
Zasadniczo równanie to może być teraz stosowane w różnych przypadkach, takich jak wyjaśnienie ruchu cząstek kamfory na powierzchni wody itp.
Wnioski:
Analiza matematyczna pochodnej materialnej całek objętościowych i powierzchniowych pozwala na głębsze zrozumienie ewolucji wielkości fizycznych w poruszającym się płynie. Badając czasowe zmiany całek objętościowych i powierzchniowych pól skalarnych lub wektorowych, możemy uzyskać wgląd w dynamikę i zachowanie systemów przepływu płynów.