Celem tego wpisu nie jest matematyczne wyprowadzenie równań, ale raczej dostarczenie zwięzłych, intuicyjnych wyjaśnień znaczenia różnych terminów w równaniach. Ponadto naszym celem jest przeanalizowanie niektórych nadrzędnych koncepcji, które można wywnioskować z równań dotyczących charakterystyki przepływów.
Podstawowe równania, które wykorzystujemy, są reprezentacjami zasad zachowania masy, pędu i energii. Zasady te są najskuteczniej wyrażane i rozumiane w lagranżowskim układzie odniesienia, w którym przedstawiamy ruch w odniesieniu do ścieżek niezmiennych działek płynu w miarę ich postępu w czasie.
Niemniej jednak eulerowski układ odniesienia, który obejmuje opis przepływu przechodzącego przez punkty w przestrzennym układzie odniesienia niezależnym od płynu, jest ostatecznie preferowaną opcją zarówno ze względów koncepcyjnych, jak i ilościowych. Metoda, którą przyjmę w tym kontekście, polega na krótkim wyjaśnieniu znaczenia praw zachowania w układzie Lagrangian przed przejściem do dyskusji na temat tego, jak są one sformułowane w układzie Eulerian.
Zarówno w ujęciu lagranżowskim, jak i eulerowskim, będziemy badać zachowanie małych objętości płynu, aczkolwiek w każdym przypadku z różnymi definicjami. Wyprowadzenie naszych praw zachowania jako równań różniczkowych cząstkowych (PDE) pociąga za sobą formalny proces zbliżania się do nieskończenie małych wymiarów naszych działek płynu. Chociaż nie będziemy zagłębiać się w szczegóły tej procedury w tym dyskursie, ważne jest, aby czytelnik pamiętał, że działki płynu w dowolnym układzie odniesienia powinny być konceptualizowane jako arbitralnie małe.
Lamb (1932) podaje definicję stałej lagranżowskiej działki płynu, stwierdzając, że składa się ona wyłącznie z tych samych cząstek płynu w czasie. Aby utrzymać tę spójność, powierzchnia graniczna działki musi poruszać się wraz z płynem w sposób, który zapobiega przechodzeniu przez nią jakichkolwiek cząstek płynu. Ważne jest jednak, aby przyznać, że koncepcja ta jest idealizacją, która jest prawdziwa tylko w naszym konceptualnym świecie kontinuum. W rzeczywistości cząsteczki będą nieuchronnie dyfundować przez taką granicę w obu kierunkach, a najlepsze, co możemy zrobić, to upewnić się, że granica podąża za średnim ruchem płynu, co skutkuje brakiem przepływu netto materiału przez nią. Niezależnie od przyjętej perspektywy, działka zawsze będzie zawierać taką samą ilość materiału i nie będzie wykazywać przepływu netto materiału przez jej powierzchnię graniczną. Takie podejście polegające na pomijaniu dyfuzji masy dobrze sprawdza się w przypadku płynów jednogatunkowych lub płynów wielogatunkowych, w których względne stężenia gatunków pozostają stałe. Jeśli jednak względne stężenia gatunków różnią się znacząco, zdefiniowanie lagranżowskiej działki płynu staje się problematyczne. Na razie pominiemy to drobne ograniczenie opisu Lagrangowskiego i będziemy kontynuować naszą dyskusję.
Jak wspomniano wcześniej, prawa zachowania są ustalone dla masy, pędu i energii. Powodem tego jest fakt, że wielkości te mają fundamentalne znaczenie w fizyce i termodynamice, co wymaga ich zachowania. W przeciwieństwie do ciśnienia lub naprężeń lepkich, które ze względu na swój charakter nie mają praw zachowania. Masa, pęd i energia są ściśle powiązane z materiałem płynu i są wraz z nim konwekowane. Te konwekcyjne wielkości są powiązane z lagranżowskimi działkami płynu, co oznacza, że każda zmiana wielkości w obrębie działki może nastąpić tylko w wyniku procesów fizycznych w obrębie działki lub na jej granicach. Prawa zachowania służą do ilościowego określenia tych zmian, zapewniając ramy dla zrozumienia zachowania masy, pędu i energii w perspektywie Lagrangian.
Ciągłość przepływu – nasze zachowanie masy
Zgodnie z naszą precyzyjną definicją paczki płynu w opisie Lagrangian, zachowanie masy w paczce jest z natury gwarantowane. Niemniej jednak równanie odpowiedzialne za wyraźne zapewnienie zachowania masy musi spełniać dodatkowe role. Równanie ciągłości ustanawia związek między gęstością płynu w różnych punktach a objętością, którą zajmuje, spełniając w ten sposób dwa podstawowe kryteria:
- Zachowanie masy jest podstawową zasadą w każdej paczce Lagrangian, zgodnie ze zdefiniowaną charakterystyką paczki.
- Nie ma pustych przestrzeni między działkami Lagrangian, a sąsiednie działki nie przecinają się. Istotne jest, aby postrzegać całą objętość płynu jako całkowicie wypełnioną działkami Lagrangian, które zachowują masę.
Równanie ciągłości w opisie lagranżowskim można łatwo zrozumieć w sensie fizycznym: Gdy objętość paczki płynu zmienia się, gęstość płynu musi również ulec zmianie, aby utrzymać stałą masę paczki.
Chociaż podstawa równania ciągłości jest fizyczna (wymagania 1 i 2 powyżej), wymagania, które nakłada na przepływ, nie są tak bezpośrednie w sensie przyczynowo-skutkowym, jak te narzucone przez inne równania. Na przykład w równaniu zachowania pędu siły bezpośrednio powodują przyspieszenia, a w równaniu zachowania energii.
Siły działające na cząstki płynu i zachowanie pędu
W lagranżowskim układzie odniesienia zachowanie pędu jest wyraźnie wymuszone przez drugie prawo Newtona, F = ma. Nasza Lagrangowska działka płynu posiada stałą masę, a jej przyspieszenie jest określane przez skumulowany efekt wywieranych na nią sił.
Zewnętrzne siły ciała, takie jak siły grawitacyjne i elektromagnetyczne, mogą działać na działkę, ale w aerodynamice siły te są zwykle uważane za nieistotne. Nacisk kładziony jest przede wszystkim na siły wywierane na powierzchnię działki przez sąsiednie działki. Zgodnie z trzecim prawem Newtona, te siły powierzchniowe muszą być równe i przeciwne na wspólnej granicy. Siły te są określane jako pozorne wewnętrzne „naprężenia” płynu. Zdajemy sobie sprawę, że naprężenia te mogą być postrzegane jako naprężenia rozłożone w wyidealizowanym świecie kontinuum, podczas gdy w rzeczywistości są to jedynie pozorne naprężenia wynikające z transferu pędu spowodowanego ruchem molekularnym. Niemniej jednak, idąc dalej, będziemy je traktować jako rzeczywiste naprężenia.
W poprzednich postach „Wszystko o CFD” – „Podstawy aerodynamiki” podczas naszej dyskusji zbadaliśmy koncepcję reprezentowania tych naprężeń jako tensora. Takie podejście okazuje się korzystne, jeśli chodzi o manipulacje matematyczne. Jednak w celu uzyskania fizycznego zrozumienia, bardziej intuicyjne jest myślenie w kategoriach wektorów sił. Kontraktując tensor naprężeń z wektorem jednostkowym, który jest normalny do hipotetycznej granicy między działkami, otrzymujemy wektor reprezentujący siłę na jednostkę powierzchni działającą na granicy. Co więcej, możemy rozłożyć ten wektor na dwie składowe: jedną prostopadłą do granicy i drugą równoległą do niej. W kontekście równań NS przyjmuje się, że składowa prostopadła jest lokalnym ciśnieniem hydrostatycznym, często nazywanym ciśnieniem statycznym. Z drugiej strony, składowa równoległa jest znana jako naprężenie ścinające, które wynika wyłącznie z efektów lepkości.
Intuicyjne zrozumienie ciśnienia stanowi wyzwanie ze względu na jego nieodłączny charakter w mechanice płynów ciągłych. Ciśnienie można wizualizować jako normalne naprężenie wywierane na hipotetyczne granice obejmujące określony punkt w przestrzeni.
Pomimo tego, że jest wielkością skalarną, wywiera siłę równomiernie we wszystkich kierunkach w danym punkcie. Początkowo zrozumienie tej koncepcji może być trudne. Niektórzy komentatorzy, tacy jak Anderson i Eberhardt (2001), błędnie zdefiniowali ciśnienie statyczne jako „ciśnienie mierzone równolegle do przepływu”.
Opis ten jest jednak sprzeczny z prawdziwą istotą ciśnienia, które pozostaje niezależne od kierunku przepływu i działa równomiernie we wszystkich kierunkach. Bardziej intuicyjne podejście do zrozumienia ciśnienia obejmuje rozważenie jego wpływu na małą, ale skończoną działkę płynu. W polu o stałym ciśnieniu działka ta napotyka równe siły wewnętrzne z otaczającego płynu we wszystkich kierunkach.
Aby wywołać jakiekolwiek przyspieszenie w paczce, całkowite naprężenia działające na wszystkie powierzchnie paczki muszą skutkować niezerową sumą wektorową, wskazującą na niezrównoważoną siłę. Naprężenia po przeciwnych stronach działki działają w przeciwnych kierunkach i znoszą się wzajemnie, jeśli ich wielkości są równe. W polu o stałym ciśnieniu naprężenia normalne znoszą się wzajemnie, co powoduje brak niezrównoważonej siły. Aby uzyskać niezrównoważoną siłę, wielkości naprężeń po przeciwnych stronach działki muszą się różnić, co wymaga niejednorodnego ciśnienia lub naprężenia lepkiego.
W związku z tym niezrównoważona siła nie zależy od naprężenia jako takiego, ale od gradientu naprężenia, który jest symbolizowany przez ∇p w kontekście ciśnienia. Zazwyczaj wiąże się to z nierównomiernym przepływem płynu. Biorąc pod uwagę, że na siły wpływa ruch płynu i sąsiednich działek, związek przyczynowo-skutkowy między naprężeniami i prędkościami staje się kołowy, co dodatkowo komplikuje naszą analizę. Temat ten zostanie szerzej omówiony w nadchodzącym wydaniu naszej serii „Wszystko o CFD” na temat „Podstaw aerodynamiki”.
Przyspieszenie paczki jest regulowane przez równanie pędu, dlatego aby określić prędkość paczki, należy zintegrować równanie. Kolejne odcinki serii pokażą, w jaki sposób całkowanie równania pędu dla ustalonego przepływu płynu nielepkiego daje równanie Bernoulliego, bardzo cenną zależność przepływu.