Maksymalizacja częstotliwości własnych dzięki optymalizacji kształtu i topologii

Join the forum for Designers!

Your expertise is vital to the community. Join us and contribute your knowledge!

Share, learn and grow with the best professionals in the industry.

Wiele komponentów mechanicznych pracuje w środowiskach narażonych na wibracje, które mogą powodować rezonans, jeśli komponenty mają niskie częstotliwości własne. Może to mieć skutki o różnej dotkliwości, niezależnie od tego, czy będzie to niewielka uciążliwość dla wyposażenia samochodowego, krytyczne błędy w precyzyjnej produkcji czy niebezpieczna awaria w inżynierii lądowej. W tym poście na blogu pokazano, jak zmaksymalizować najniższą częstotliwość własną przy użyciu optymalizacji kształtu i topologii, aby zmniejszyć prawdopodobieństwo rezonansu. Wbudowana funkcjonalność COMSOL Multiphysics^® oprogramowanie pozwala rozwiązać te problemy za pomocą optymalizacji opartej na gradientach.

Wprowadzenie do rezonansu mechanicznego

Kiedy układ mechaniczny jest wzbudzany siłą, której zawartość częstotliwości odpowiada częstotliwościom naturalnym układu, może wystąpić rezonans mechaniczny, prowadzący do wibracji o dużej amplitudzie. Ten efekt Móc można wykorzystać (np. w zegarkach i instrumentach muzycznych), ale w tym wpisie skupimy się na niepożądanym rezonansie, który może powodować problemy zmęczeniowe w maszynach lub awarie w inżynierii lądowej. Aby złagodzić rezonans, można podjąć szereg środków, takich jak instalowanie aktywnych lub pasywnych systemów izolacji drgań lub instruowanie użytkowników, aby unikali zachowań wywołujących rezonans. Na przykład, jak widać na poniższym obrazku, na słynnym moście w Londynie znajduje się tablica nakazująca żołnierzom przerwanie kroku podczas przekraczania mostu – w ten sposób ujednolicony rytm ich marszu nie spowoduje niebezpiecznego rezonansu mechanicznego.

Inną strategią uniknięcia rezonansu mechanicznego jest po prostu zwiększenie najniższej częstotliwości własnej. Tutaj sprawdzimy, jak można to osiągnąć za pomocą optymalizacji.

Na moście Alberta w Londynie znajduje się znak nakazujący żołnierzom złamanie kroku na moście, aby uniknąć rezonansu. Oryginalny obraz autorstwa Colina Smitha, objęty licencją CC BY-SA 2.0 przez Wikimedia Commons.

Wprowadzenie do optymalizacji

Wszystkie problemy optymalizacyjne składają się z pewnych zmiennych projektowych, które powinny zostać zmienione przez algorytm optymalizacyjny w celu poprawy określonej wielkości – tj funkcja celu. Mogą również istnieć wymagania, w przypadku których inne zmienne nie mogą przekraczać pewnych granic, tzw ograniczenia. W kontekście CAD cel jest często obliczany za pomocą symulacji.

W przypadku algorytmu optymalizacji można wyróżnić:

1. Optymalizacja bez gradientów, gdzie optymalizacja wykorzystuje jedynie wartości celu i ograniczeń do aktualizacji zmiennych projektowych
2. Optymalizacja oparta na gradiencie, gdzie optymalizacja wie również, jak wrażliwy jest cel i ograniczenia na zmiany zmiennych projektowych

Optymalizacja oparta na gradientach zawiera znacznie więcej informacji w każdej iteracji i dlatego jest znacznie szybsza, szczególnie w przypadku problemów z wieloma zmiennymi projektowymi. Rozbieżność prędkości jest tak duża, że ​​pierwsze podejście jest niepraktyczne w przypadku większości zastosowań optymalizacji kształtu i topologii. COMSOL Multifizyka^® obsługuje oba wymienione tutaj typy optymalizacji, ale ten wpis na blogu skupi się na optymalizacji opartej na gradientach.

W poniższych przykładach celem jest maksymalizacja minimalnej częstotliwości własnej, ale można również zmaksymalizować odległość do niepożądanej częstotliwości, która być może naturalnie występuje w środowisku. Powtarzającym się aspektem problemów z częstotliwością własną jest to, że nawet jeśli konstrukcja zawiera symetrie projektowe, jej mody własne mogą być niesymetryczne. Z tego powodu cała konstrukcja musi być modelowana w każdej iteracji. Jednakże w przypadku, gdy początkowy projekt jest symetryczny, można to zachować za pomocą Symetria lustrzana cecha w Optymalizacja kształtu Lub Optymalizacja topologii interfejs.

Optymalizacja kształtu

Pierwszym przykładem jest model skorupowy, który jest zamocowany na jednym końcu. Ciągłość wektora normalnego zostaje zachowana poprzez zastosowanie regularyzacji deformacji granicy opartej na równaniach różniczkowych cząstkowych (PDE), \mathbf{d}podobny do filtra Helmholtza używanego do optymalizacji topologii, tj.

\mathbf{d} = L_\mathrm{min}^2 \nabla^2 \mathbf{d} + \mathbf{c}, \quad ||\mathbf{c}||\leq d_\mathrm{max},

Gdzie d_\mathrm{max} jest maksymalnym przemieszczeniem, L_\mathrm{min} jest długością filtra, d_\mathrm{max}/L_\mathrm{min} jest maksymalnym nachyleniem odkształcenia, oraz \mathbf{c} jest polem zmiennej sterującej odkształcenia granicy. Podczas wykonywania optymalizacji kształtu brył istnieje również PDE do wygładzania elementów wewnętrznych, ale w praktyce wszystkim zajmuje się Bezpłatna domena kształtu, Swobodna granica kształtuI Skorupa o dowolnym kształcie funkcje w Optymalizacja kształtu interfejs. Funkcje te pozwalają jedynie na optymalizację opartą na gradientach. Jako alternatywę dla regularyzacji kształtu opartej na PDE można również zastosować technikę regularyzacji wielomianów lub wprowadzić proste zmiany w geometrii, takie jak translacja, obrót i skalowanie. (Dowiedz się więcej o translacji i skalowaniu z naszej dwuczęściowej serii poświęconej optymalizacji kształtu w elektromagnetyce.) Poniższa animacja przedstawia wynik zastosowania regularyzacji opartej na PDE przy jednoczesnym zachowaniu symetrii projektu.

Projekt powłoki jest animowany przez całą historię optymalizacji.

Przełączanie trybów odbywa się poprzez zawsze rozwiązywanie pierwszych sześciu częstotliwości własnych i stosowanie metody przesuwania asymptot (MMA) w celu maksymalizacji minimalnej częstotliwości własnej.

Następny przykład dotyczy zamka pełnego, ale geometria zamka przypomina nieco muszlę, dlatego warto zachować grubość ramion zamka. Można to osiągnąć łącząc a Wytłaczanie ogólne operator z Zalecana deformacja (zobacz Nawias — Optymalizacja kształtu częstotliwości własnej w Galerii aplikacji, aby dowiedzieć się więcej). Poza tym konfiguracja jest podobna do poprzedniego modelu pod względem celu i egzekwowania symetrii, ale początkowy projekt nie jest taki zły, a zatem poprawa jest mniej spektakularna (jak pokazano poniżej).

Optymalizacja topologii

Optymalizację opartą na gradientach można również wykorzystać podczas optymalizacji topologii, szczególnie przy użyciu Optymalizacja topologii interfejs w oprogramowaniu. Szczegółowe wprowadzenie do optymalizacji topologii można znaleźć w naszym poście na blogu „Przeprowadzanie optymalizacji topologii metodą gęstości”. Podstawową ideą jest wprowadzenie zmieniającego się przestrzennie pola zmiennych projektowych, \theta_c, który jest ograniczony od 0 do 1, co odpowiada odpowiednio pustemu i stałemu materiałowi. W przypadku mechaniki konstrukcji można następnie pozwolić, aby gęstość i moduł Younga (sztywność) zależały od tej zmiennej. Zależność nie jest jednoznaczna, gdyż korzystne jest uregulowanie problemu za pomocą minimalnej skali długości, L_\mathrm{min}. Konieczne jest również interpolowanie gęstości, \rhow inny sposób niż sztywność, mi, aby zapobiec dominacji wartości pośrednich zmiennej projektowej w zoptymalizowanym projekcie ze względu na dobry stosunek sztywności do masy. Zależność między polem zmiennej projektowej a właściwościami materiału jest określona wzorem:

\theta_f &=& L_\mathrm{min}^2\nabla^2\theta_f+\theta_c \\

\theta &=& \frac{\tanh (\beta[\theta_f-1/2])+\tanh (\beta/2 )}{2\tanh(\beta/2)} \\

\rho &=& \rho_\mathrm{mat}\theta \\

E &=& E_\mathrm{mat}(\theta_\mathrm{min}+(1-\theta_\mathrm{min})\theta^{p_\mathrm{SIMP}}),

Gdzie \theta_f jest filtrowaną zmienną projektową, \beta jest parametrem nachylenia projekcji, oraz p_\mathrm{SIMP} jest stałym materiałem izotropowym z parametrem penalizacji (SIMP). Parametry te mogą mieć duży wpływ na zoptymalizowany projekt, więc aby uniknąć złych minimów lokalnych, konieczne może być rozwiązanie problemu optymalizacyjnego dla kilku kombinacji tych dwóch parametrów. Oznacza to, że rozwiązano parametryczne przemiatanie problemów optymalizacyjnych, jak pokazano na przykładzie belki pokazanej poniżej. Belka jest zamocowana po lewej stronie i podtrzymuje ciężar na prawym końcu, który stanowi 15% ciężaru całkowitego. Belka podlega ograniczeniu objętościowemu wynoszącemu 40%. Problem optymalizacji topologii rozwiązano dla pięciu kombinacji parametrów (p_\mathrm{SIMP}, \beta), równe (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16) i (5, 32). W przypadku początkowych optymalizacji oczekuje się słabej łączności i skali szarości, ale te niefizyczne projekty zapewniają dobre początkowe projekty dla późniejszych optymalizacji.

Podczas optymalizacji topologii dobrą praktyką jest przeprowadzenie symulacji weryfikacyjnej na siatce dopasowanej do ciała. Dokonano tego w wersji tego modelu z Galerii aplikacji, a wyniki pokazują lepszą wydajność pod względem wyższych częstotliwości własnych w porównaniu z surowym wynikiem optymalizacji. Należy się tego spodziewać, ponieważ ukryta reprezentacja projektu powoduje, że materiał jest mniej sztywny w pobliżu granicy bryła–pustka.

Na koniec pokazano tutaj pojedynczy wynik optymalizacji, ale można łatwo wygenerować alternatywne projekty, stosując różne wartości udziału objętościowego, dodanej masy lub skali minimalnej długości.

Wniosek

Możliwe jest wykorzystanie optymalizacji kształtu i topologii w celu maksymalizacji częstotliwości własnej. Warunki symetrii często nie mogą być narzucone fizyce, ale można ograniczyć optymalizację, tak aby nadal tworzony był projekt symetryczny. Strategię maks./min. stosowaną do przełączania trybów obsługi można również zastosować, jeśli celem jest maksymalizacja odległości do określonej niepożądanej częstotliwości.

Aby zdobyć praktyczne doświadczenie w maksymalizacji częstotliwości własnej, pobierz przykłady wspomniane w tym poście na blogu z Galerii aplikacji:

Join the forum for Designers!

Your expertise is vital to the community. Join us and contribute your knowledge!

Share, learn and grow with the best professionals in the industry.