Streamlines, Streaklines, Timelines i wiele więcej – Kinematics

wprowadzenie

W tym poście zbadamy kompleksową i precyzyjną teorię fizyczną oferowaną przez równania Naviera-Stokesa. Równania te pozwalają nam przewidzieć szeroki zakres zjawisk w aerodynamice, obejmujących nawet przepływ cieczy, takich jak woda. Zaczynamy od zbadania podstawowej reprezentacji fizyki w tych równaniach, niezbędnych założeń przyjętych podczas ich opracowywania oraz zakresu, w jakim pozostają one aktualne. Następnie zagłębiamy się w zawiłe szczegóły równań i wyjaśniamy ich znaczenie.

Założenie ciągłości i zakres jego ważności

W sformułowaniu NS płyn jest uważany za substancję ciągłą, zwaną kontinuum, o lokalnych właściwościach fizycznych, które można wyrazić za pomocą funkcji ciągłych w kategoriach przestrzeni i czasu. Na te właściwości kontinuum wpływają właściwości poszczególnych cząsteczek składających się na gaz lub ciecz, a także fizyka rządząca ich ruchami i interakcjami. Jednak właściwości kontinuum odzwierciedlają jedynie ogólny wpływ fizyki, a nie konkretne szczegóły. Jak wykazano w poście 1 – Przewodnik wprowadzający do zrozumienia podstawowych koncepcji i ram teoretycznych oraz w poście 2 – Pojawienie się przepływów aerodynamicznych z poziomu molekularnego, podejście to oferuje reprezentację, która jest nie tylko wystarczająca, ale także niezwykle precyzyjna w różnych warunkach.

Początkowy historyczny postęp w formułowaniu NS przyjął spontaniczną metodę, zakładając zachowanie ciągłości od samego początku i konstruując ramy dla efektów lepkości poprzez eksperymenty w podstawowych scenariuszach przepływu. Znaczna część wysiłków włożonych w ten postęp koncentrowała się na ustanowieniu struktury matematycznej niezbędnej do przejścia od prostych przepływów do bardziej złożonych.

Proces uśredniania dostarcza nam precyzyjnych definicji podstawowych wielkości przepływu ciągłego, ale nie prowadzi nas bezpośrednio do sformułowania Naviera-Stokesa (NS). Kiedy wykorzystujemy proces uśredniania podstawowych praw zachowania masy, pędu i energii, napotykamy dwa różne typy terminów, które reprezentują różne zestawy zjawisk i wymagają różnych założeń:

Po pierwsze, warunki, które obejmują wyłącznie proste średnie definiujące gęstość, temperaturę i prędkość kontinuum. Żadne dodatkowe założenia nie są konieczne, ponieważ zmienne te stanowią już podstawę sformułowania NS. Wyrażenia te przedstawiają lokalną szybkość zmian w czasie wielkości zachowywanej lub konwekcję wielkości zachowywanej przez lokalną prędkość kontinuum przepływu.

Po drugie, wyrażenia, które zawierają średnie iloczynów prędkości cząsteczkowych lub iloczynów składowej prędkości i energii kinetycznej. Takie wyrażenia oznaczają transport wielkości zachowanej w odniesieniu do lokalnego ciągłego ruchu przepływu. Transport energii cieplnej odpowiada strumieniowi ciepła wynikającemu z przewodnictwa molekularnego. Transport pędu naśladuje efekt materiału kontinuum doświadczającego naprężeń wewnętrznych, powodując w ten sposób zarówno lokalne ciśnienie hydrostatyczne kontinuum, jak i dodatkowe „naprężenia” kontinuum spowodowane efektami lepkości. Sam proces uśredniania utrzymuje te warunki w stanie, który opiera się na statystycznych zawiłościach ruchów molekularnych, co wymaga dalszych założeń upraszczających, aby przekształcić je w wyrażenia oparte na naszych podstawowych zmiennych przepływu ciągłego.

Równania NS zawierają wyrażenia reprezentujące różne zjawiska transportu, a wyrażenia te mają proste zależności funkcyjne od lokalnych właściwości kontinuum. Ciśnienie hydrostatyczne jest określane przez równowagową zależność termodynamiczną, podczas gdy strumień ciepła i „naprężenia” lepkościowe są opisywane przez wyrażenia gradientowo-dyfuzyjne, w których strumień zachowanej wielkości jest proporcjonalny do jej gradientu. Płyny, które wykazują tego typu zachowanie dla naprężeń lepkich, jak opisano w równaniach NS, są powszechnie określane jako płyny newtonowskie. Jednak uzyskanie tych uproszczonych form z bardziej ogólnych wyrażeń uzyskanych w procesie uśredniania wymaga przyjęcia pewnych upraszczających założeń dotyczących fizyki. W przypadku gazów konieczne jest założenie, że płyn znajduje się w stanie lokalnej równowagi termodynamicznej. Oznacza to, że funkcje rozkładu prawdopodobieństwa dla prędkości cząsteczkowej, które pojawiają się w pełnych wyrażeniach transportowych, muszą ściśle przypominać ich formy równowagi. Osiągnięcie tego wymaga, aby znaczące zmiany mogły wystąpić tylko w skalach długości i czasu, które są znacznie większe niż średnia droga swobodna i czas. Gdy te warunki są spełnione, co oznacza, że lokalne odchylenia od stanu równowagi są niewielkie, warunki związane z transportem mogą być dokładnie reprezentowane przez proste zależności stosowane w równaniach NS.

Prawa konwersacji

Fundamentalne zależności występujące w równaniach NS są podstawowymi zasadami zachowania masy, pędu i energii. Aby ustanowić kompleksowy zestaw równań, konieczne jest uwzględnienie równania stanu, które łączy temperaturę, ciśnienie i gęstość, a także wyrażenia definiujące pozostałe właściwości gazu.
W dziedzinie aerodynamiki często rozsądnym przybliżeniem jest założenie prawa gazu doskonałego, w połączeniu ze stałym stosunkiem ciepła właściwego (γ) oraz współczynnikami lepkości i przewodności cieplnej (μ i k), które zależą wyłącznie od temperatury. Może wydawać się sprzeczne z intuicją, że współczynniki transportu μ i k są uważane za niezależne od gęstości w stałej temperaturze. Istnieje jednak proste wyjaśnienie tego zjawiska.
Wraz ze wzrostem gęstości można by oczekiwać, że współczynniki transportu wzrosną ze względu na większą masę na jednostkę objętości, która musi być transportowana pod względem pędu i energii cieplnej. Niemniej jednak, wraz ze wzrostem gęstości, średnia droga swobodna cząsteczek maleje, utrudniając tym samym transport molekularny. Na poziomie przybliżenia gazu idealnego wpływ zwiększonej masy na jednostkę objętości i zmniejszonej średniej drogi swobodnej wzajemnie się znoszą.
W związku z tym w praktyce wydajność transportu molekularnego zależy wyłącznie od średniej prędkości cząsteczek lub innymi słowy od temperatury. W niektórych sformułowaniach równań, lokalna prędkość dźwięku („a”) jest czynnikiem, który w przypadku gazu idealnego jest również zależny wyłącznie od temperatury.

Znaczenie warunków brzegowych

Równania Naviera-Stokesa (NS), podobnie jak inne równania pola, wymagają warunków brzegowych (BC) do prawidłowego rozwiązania. Jeśli chodzi o granice przepływu, gdzie przepływ po prostu wchodzi lub wychodzi z domeny, same równania NS dyktują możliwe kombinacje BC, które można nałożyć oraz kombinacje, które są niezbędne do „określenia” rozwiązania na różne sposoby. Jednak w przypadku granic, które stykają się z innymi materiałami, takimi jak interfejsy gaz-ciało stałe lub gaz-ciecz, same równania NS nie definiują w pełni sytuacji. W takich przypadkach konieczne jest wprowadzenie dodatkowej fizyki. W oparciu o modele teoretyczne i dowody eksperymentalne zaobserwowano, że interakcja między większością powierzchni ciekłych i stałych napotykanych w praktyce inżynierskiej a powietrzem w zwykłych warunkach jest taka, że prędkość i temperatura powietrza dostosowują się prawie idealnie do prędkości i temperatury powierzchni. Dlatego założenie braku poślizgu (brak względnego ruchu między płynem a ciałem stałym) i braku skoku temperatury na „ścianie” oraz odpowiednie narzucenie BC zapewnia niezwykle dokładne przybliżenie.

Ważne jest jednak, aby prawidłowo interpretować BC bez poślizgu. W niektórych opisach płyn jest opisywany jako „przyklejający się” lub „przylegający” do powierzchni. Chociaż opis ten nie jest całkowicie niewłaściwy, może być mylący, szczególnie w przypadku gazów. Termin „przylega” oznacza obecność wiązania, które może wytrzymać zarówno rozciąganie, jak i ścinanie. Jednak gazy nie mogą być poddawane naprężeniom i nie mogą tworzyć wiązań odpornych na rozciąganie z innymi substancjami. Niemniej jednak warunek braku poślizgu zakłada, że nie ma poślizgu między płynem a ciałem stałym, więc pod względem ścinania płyn zachowuje się tak, jakby przylegał do powierzchni.

Warunek braku poślizgu ma zastosowanie zarówno do cieczy, jak i gazów. Wyjaśnienie tego zjawiska jest prostsze w przypadku gazów. Chociaż niektóre cząsteczki gazu mogą tymczasowo przylegać do powierzchni ciała stałego lub reagować z nią chemicznie i pozostawać przyczepione, większość cząsteczek, które zderzają się z powierzchnią, odbija się od niej. Warunek braku poślizgu jest wynikiem tych odbijających się interakcji. Jeśli wyobrazimy sobie cząsteczki gazu jako gładkie kule odbijające się od gładkiej powierzchni w sposób zwierciadlany bez utraty pędu stycznego, nie będzie wymiany siły ścinającej między powierzchnią a gazem. W konsekwencji gaz z łatwością ślizgałby się po powierzchni, a koncepcja warunku braku poślizgu nie istniałaby. Jednak na poziomie molekularnym żadna rzeczywista powierzchnia nie zachowuje się jak idealnie gładka powierzchnia. Wszystkie rzeczywiste powierzchnie składają się z atomów o rozmiarach zbliżonych do cząsteczek gazu, co sprawia, że nawet najgładsza powierzchnia jest szorstka w skali cząsteczki gazu. Dodatkowo, większość rzeczywistych powierzchni wykazuje znaczną chropowatość w większych skalach. W rezultacie cząsteczki gazu zderzające się z rzeczywistymi powierzchniami odbijają się w losowych kierunkach, co prowadzi do bardzo małej średniej prędkości stycznej cząsteczek w pobliżu powierzchni. Stosując teorię kinetyczną, można oszacować efektywną prędkość poślizgu, co pokazuje, że w praktycznych scenariuszach jest ona bliska zeru. Dotyczy to nawet powierzchni, które mogą wydawać się gładkie w dotyku, ponieważ nasza intuicja błędnie zakłada, że powietrze może się po nich swobodnie ślizgać.

W związku z tym nasz kompleksowy model fizyczny obejmuje równania NS w połączeniu z warunkami brzegowymi braku poślizgu i skoku temperatury. Zakres tego sformułowania jest niezwykle rozległy, z ograniczoną liczbą praktycznych zastosowań „aerodynamicznych”, w których nie jest ono prawdziwe. Przypadki odbiegające od tego sformułowania obejmują przepływy gazu przy ekstremalnie niskich gęstościach, takich jak te spotykane na bardzo dużych wysokościach, a także skomplikowaną wewnętrzną strukturę fal uderzeniowych. Nawet w przypadkach, w których jonizacja, dysocjacja lub reakcje chemiczne zachodzą w przepływie, nie są one zwykle uważane za wyjątki, ponieważ efekty te można zintegrować z naszym sformułowaniem ciągłym poprzez włączenie odpowiednich zmiennych dla stężenia gatunków, szybkości reakcji i równań stanu. Na szczęście w dziedzinie aerodynamiki oszczędzono nam zawiłości związanych z cieczami nienewtonowskimi, które odgrywają znaczącą rolę w systemach biologicznych i różnych procesach przemysłowych.

Niezdolność naszego sformułowania NS do zastosowania w wyjątkowych okolicznościach może być przypisana nie tylko ekstremalnie niskim gęstościom na dużych wysokościach lub małym skalom długości w problemach fali uderzeniowej, które powodują, że nasz proces uśredniania nie jest zbieżny. Chociaż taka sytuacja może wystąpić, nie zawsze jest to główna przyczyna „niepowodzenia”. Aby osiągnąć zbieżność średniej przestrzennej w określonym momencie w czasie, konieczne byłoby całkowanie w wystarczająco dużej objętości, która obejmuje znaczną liczbę cząsteczek. Chwilowe średnie przestrzenne mogą na przykład niedokładnie uchwycić wewnętrzną strukturę fali uderzeniowej. Jednak w wielu przypadkach przepływy są prawie stałe, co pozwala nam zdefiniować średnie w małych objętościach przestrzennych poprzez uśrednianie w dłuższym okresie. Większość sytuacji związanych z lotem na ekstremalnych wysokościach lub szczegółową fizyką fali uderzeniowej można rozwiązać za pomocą tego podejścia. W takich przypadkach niepowodzenie naszego ciągłego sformułowania nie wynika z niezdolności naszego procesu uśredniania do zbieżności, ale raczej wynika z załamania założenia lokalnej równowagi termodynamicznej, która leży u podstaw naszego modelowania efektów „transportu”, gdy gradienty przepływu stają się znaczące w skali średniej ścieżki. Co więcej, błędy związane z warunkami granicznymi braku poślizgu i braku skoku temperatury, które są zazwyczaj nieistotne w normalnych warunkach, stają się bardziej znaczącymi ułamkami różnic w wielkościach przepływu w terenie w ekstremalnych warunkach, co prowadzi do załamania tych przybliżeń.

Zróbmy trochę formalnej matematyki

Przeanalizujmy teraz niektóre z wyzwań, które pojawiają się, gdy próbujemy wyrazić nasze zrozumienie fizyki w kategoriach matematycznych. Nasze ostateczne sformułowanie będzie składać się ze zbioru cząstkowo-różniczkowych równań pola (PDE), którym towarzyszyć będą pewne algebraiczne relacje pomocnicze. Wybór zmiennych, a także określenie, które zmienne są niezależne, a które zależne, zależy od tego, jak zdecydujemy się przedstawić przepływ. Mamy możliwość opisania go w kategoriach zachowania obserwowanego w ustalonych punktach w przestrzeni i czasie, znanego jako opis eulerowski, lub możemy zamiast tego zdefiniować ścieżki podążane przez ustalone paczki płynu, gdy ewoluują one w czasie, zwane sformułowaniem Lagrangian. W opisie eulerowskim czas i współrzędne w przestrzennym układzie odniesienia, który może, ale nie musi być inercyjny, służą jako zmienne niezależne, podczas gdy prędkość, ciśnienie i inne zmienne stanu płynu są uważane za zależne. Z drugiej strony, w opisie Lagrangowskim, zmienne niezależne odnoszą się do samych działek płynu, zazwyczaj identyfikowanych przez ich współrzędne przestrzenne w momencie początkowym, a zmienne zależne obejmują współrzędne przestrzenne tych działek w kolejnych momentach. Chociaż te dwa sposoby opisu są teoretycznie równoważne w tym sensie, że można je wykorzystać do dokładnego modelowania tej samej fizyki, różnią się one tak znacząco w swoim podejściu, że nie są praktycznie wymienne.

Ramy eulerowskie są powszechnie preferowane do różnych zastosowań ze względu na ich wygodę, służąc jako podstawa większości badań ilościowych w teoretycznej aerodynamice i obliczeniowej dynamice płynów (CFD). Preferencję tę można przypisać faktowi, że opis eulerowski oferuje bardziej intuicyjne podejście do analizy przepływów ustalonych, które są głównym przedmiotem zainteresowania w aerodynamice. Podczas gdy opis Eulera jest wykorzystywany w modelowaniu koncepcyjnym wyższego poziomu, istnieją przypadki, w których opis Lagranga jest również korzystny w omawianiu podstawowych zasad fizycznych.

Pochodna lagranżowska, oznaczana wielkimi literami D/Dt, reprezentuje szybkość zmian w czasie dowolnej wielkości fizycznej związanej z lagranżowską działką płynu. Na to tempo zmian wpływają dwa efekty w układzie Eulera. Po pierwsze, wielkość może zmieniać się wraz z upływem czasu w punktach przestrzeni, przez które porusza się paczka, na co wskazuje człon przepływu nieustalonego ∂/∂t lub eulerowskie tempo zmian. Po drugie, jeśli paczka porusza się z prędkością V przez niejednorodne pole, doświadcza szybkości zmian V – ∇ oprócz członu przepływu nieustalonego. W związku z tym pochodna lagranżowska jest połączona z pochodnymi w układzie eulerowskim. Ogólnie rzecz biorąc, pochodna lagranżowska jest połączona z pochodnymi w układzie eulerowskim poprzez równanie (dla prędkości):

Zastosowanie tej transformacji do prędkości płynu daje intrygujące wyniki, szczególnie przy określaniu przyspieszenia lagranżowskiego. W przypadku ustalonego przepływu 1D zastosowanie wspomnianego równania do prędkości skutkuje redukcją:

Można zaobserwować, że określone przyspieszenie materiału Du/Dt wymaga znacznego gradientu przestrzennego ∂u/∂x, gdy prędkość u jest mała, podczas gdy tylko niewielki ∂u/∂x jest potrzebny, gdy u jest duże. Zjawisko to wynika z ruchu lagranżowskiej paczki płynu w polu prędkości.

Jednym z wyzwań w matematyce jest obecność wektorów i tensorów wśród wielkości, którymi musimy się posługiwać. Na przykład prędkość jest wektorem, a równanie zachowania pędu jest równaniem wektorowym. W przestrzeni trójwymiarowej prowadzi to do trzech zmiennych i trzech równań, co sprawia, że jest to stosunkowo łatwe do intuicyjnego zrozumienia.

Kwestia reprezentowania przenoszenia sił poprzez „kontakt” między sąsiednimi działkami płynu nie jest od razu oczywista. Z fizycznego punktu widzenia siły te wynikają z przenoszenia pędu poprzez ruchy molekularne. Jednak w sformułowaniu ciągłym skumulowane efekty wielu ruchów molekularnych są przedstawiane jako pozorne naprężenia wewnętrzne w płynie lub jako siły wywierane na jednostkę powierzchni wzdłuż granicy działki.

Wyzwanie matematyczne, które napotykamy, dotyczy nadrzędnej kwestii reprezentowania stanu naprężenia w ciągłym materiale. Na początku musimy zapoznać się z koncepcją hipotetycznych granic, które oddzielają sąsiednie części materiału. Następnie musimy mentalnie zwizualizować, w jaki sposób dwie sąsiednie części materiału wywierają na siebie równe i przeciwne naprężenia na ich wspólnej powierzchni granicznej. Nasze wyjaśnienie musi posiadać zdolność do dokładnego określenia stanu naprężenia w dowolnym punkcie płynu, uwzględniając odpowiednią wielkość przeciwstawnych sił niezależnie od orientacji hipotetycznej granicy. Naprężenie, w tym kontekście, odnosi się do wielkości wektorowej oznaczającej siłę na jednostkę powierzchni, która jest zależna od orientacji wyimaginowanej powierzchni dzielącej. Ta powierzchnia dzieląca może być zdefiniowana przez kierunek jej wektora normalnego.

Naprężenie jest tensorem, co doprowadziło do rozwoju analizy tensorowej, dziedziny matematyki zajmującej się dostarczaniem rygorystycznych metod manipulowania takimi wielkościami. Te ramy matematyczne mają zastosowanie nie tylko w mechanice kontinuum, ale także w różnych gałęziach fizyki. Wraz z analizą tensorową opracowano skrócone notacje w celu efektywnego wyrażania tych manipulacji. Notacja tensorowa oferuje najbardziej niezawodne podejście do obsługi terminów naprężenia i konwekcji w równaniach, szczególnie podczas przekształcania ich w różne układy współrzędnych. Chociaż możliwe jest wykonanie tych manipulacji bez notacji tensorowej, prawdopodobieństwo wystąpienia błędów znacznie wzrasta. Niezależnie od zastosowania notacji tensorowej, manipulacje te szybko stają się ćwiczeniami w manipulowaniu symbolami, co utrudnia zachowanie jasnego zrozumienia ich fizycznego znaczenia.

Do tej pory mówiliśmy o równaniach NS tylko w ich lokalnej lub różniczkowej postaci,
która jest formą najbardziej bezpośrednio związaną z większością naszych kolejnych dyskusji.
Jednak w niektórych zastosowaniach wystarczy bardziej globalne spojrzenie na przepływ i może być łatwiejsze do wykonania.
sobie z tym poradzić. W takich sytuacjach mamy postać kontrolno-objętościową równań, w której
równania zostały zintegrowane z objętością i powierzchniami ograniczającymi objętość.
Równania kontrolno-objętościowe są „dokładne” w tym sensie, że nie ma utraty dokładności
w stosunku do równań różniczkowych, ale są „uproszczone” w tym sensie, że mogą powiedzieć
nam tylko, co dzieje się ze zintegrowanymi wielkościami i nic o tym, jak lokalne wielkości są
rozłożone na objętości i powierzchniach ograniczających.

W konwencjonalnych podejściach do równań NS wszystkie zmienne przepływu wykazują ciągłość i różniczkowalność, nawet w obecności wstrząsów. Ta korzystna cecha pozwala nam wykorzystać istotne zasady matematyczne bez konieczności uwzględniania jakichkolwiek rozważań „fizycznych”. W konsekwencji prowadzi nas to do zagłębienia się w tematykę kolejnej sekcji.

Kinematyka 1: Linie opływowe i smugi

Podstawą zrozumienia pól przepływu jest wykorzystanie opisów kinematycznych. Konieczne jest zrozumienie struktury kinematycznej przepływu, aby zagłębić się w podstawową dynamikę. Charakterystyka struktury kinematycznej pola przepływu jest nieodłącznie związana z naturą pola prędkości jako ciągłego pola wektorowego.
Dwa powszechnie stosowane pojęcia kinematyczne to streamlines oraz streaklines. Streamlines to krzywe w przestrzeni 3D, które są równoległe do wektora prędkości w każdym punkcie. Z drugiej strony, smugi są również krzywymi przestrzennymi 3D, ale są one definiowane przez pozycje serii działek płynu, które przeszły przez określony „punkt początkowy” gdzieś w górze pola przepływu. Podczas gdy punkt początkowy smugi jest zwykle uważany za stały punkt w przestrzeni, może on również poruszać się w czasie. Należy zauważyć, że linia strumienia jest konstrukcją matematyczną, którą można zdefiniować jedynie poprzez rozwiązanie problemu matematycznego, w szczególności poprzez skonstruowanie krzywej, która jest równoległa do danego pola wektorowego. W przeciwieństwie do streakline można zaobserwować, przynajmniej do pewnego stopnia, w rzeczywistych przepływach, które są oznaczone pasywnym zanieczyszczeniem, takim jak barwnik w cieczach lub dym w powietrzu.
W przypadku stałego przepływu, linie strumieni i smugi pochodzące z określonych punktów będą wyrównane i dopasowane do ścieżek poszczególnych cząstek, znanych jako paczki Lagrangian. Pomimo stałości przepływu, nadal mogą istnieć intrygujące zawiłości w rozszyfrowaniu wzorców przepływu.
Linie czasu są linie utworzone przez zestaw cząstek płynu, które zostały zaznaczone w poprzednim momencie w czasie, tworząc linię lub krzywą, która jest przesuwana w czasie, gdy cząsteczki się poruszają.

W przypadku przepływu nieustalonego złożoność sytuacji znacznie wzrasta, co skutkuje wyraźnymi różnicami w liniach strumienia, smugach i ścieżkach cząstek. Samo obserwowanie wzoru utworzonego przez którykolwiek z tych elementów zapewnia nieodpowiednią i często zwodniczą reprezentację przepływu. Załączone poniżej rysunki ilustrują kontrastujący wygląd nieustalonego przepływu w śladach okrągłego cylindra, gdy jest on przedstawiony w postaci linii smug (a) i linii strumieni (b). Dodatkowo, linie czasu (c), które zostaną wkrótce zdefiniowane, oferują zupełnie inną perspektywę.

Kinematyka 2: Rury strumieniowe, powierzchnie strumienia i funkcja strumienia

Pojęcie streamtube jest zwykle stosowana wyłącznie do przepływów ustalonych. A streamtube jest zdefiniowana przez zamkniętą krzywą w polu przepływu, ze stałymi liniami strumienia lub smugami przechodzącymi przez wszystkie punkty na krzywej. Ta zamknięta krzywa tworzy granicę krzywoliniowej rury, której powierzchnia graniczna jest równoległa do wektora prędkości. W rezultacie przez tę powierzchnię nie przechodzi żaden ciągły strumień płynu. W ustalonym przepływie, zgodnie z zasadą ciągłości, strumień masy w rurze strumieniowej pozostaje stały w dowolnym przekroju wzdłuż jej długości. W dwuwymiarowym polu przepływu nadal możemy zdefiniować rurę strumieniową w taki sam sposób, jak w trzech wymiarach, używając zamkniętej krzywej do ustalenia granicy. Jednak bardziej praktyczną definicją jest umożliwienie degeneracji zamkniętej krzywej definiującej strumienicę do dwóch punktów. Przekształca to rurę strumieniową w dwuwymiarową warstwę przepływu, zdefiniowaną przez jedną linię strumienia przechodzącą przez każdy punkt.

Powierzchnia graniczna strumienicy reprezentuje konkretny przypadek szerszej koncepcji powierzchni strumienia, zwykle związanej ze stałymi przepływami. Krzywa w przestrzeni, która powoduje powstanie powierzchni strumienia, niekoniecznie musi być krzywą zamkniętą, a wynikowa powierzchnia strumienia nie musi tworzyć zamkniętej rury. Ogólna powierzchnia strumienia to powierzchnia, przez którą nie przechodzi żaden ciągły strumień płynu. W przepływach trójwymiarowych powierzchnie strumienia, które początkowo wydają się płaskie, mogą ulec znacznemu zniekształceniu w miarę postępu przepływu w dół rzeki. Pojęcie funkcji strumienia ma zastosowanie tylko do przepływów dwuwymiarowych. Rozważając dwa punkty A i B w dwuwymiarowym przepływie, strumień masy na dowolnej krzywej łączącej te punkty zależy wyłącznie od położenia punktów i czasu, przy założeniu, że przepływ jest nieściśliwy lub stały. Na przykład, w scenariuszu przedstawionym na poniższym rysunku, strumień masy w dowolnym konturze łączącym punkty odpowiada strumieniowi masy w zacienionym obszarze. streamtube. W konsekwencji, jeśli punkt A jest stały, strumień masy obliczony w ten sposób dla wszystkich innych punktów B definiuje unikalną funkcję znaną jako funkcja strumienia. W związku z tym funkcja strumienia pozostaje stała wzdłuż linii strumienia, a rozbieżność w jej wartości między dwiema liniami strumienia jest równa strumieniowi masy w obrębie linii strumienia. streamtube ograniczone przez nie. Funkcja strumienia była częściej wykorzystywana w przeszłości niż obecnie. Była często stosowana we wcześniejszych dyskusjach teoretycznych dotyczących przepływów nieściśliwych i sporadycznie wykorzystywana w technikach numerycznych do rozwiązywania równań Naviera-Stokesa w dwóch wymiarach.

Kinematyka 3: Linie czasu

Linie czasowe są cenną koncepcją kinematyczną, która znajduje swoje najczęstsze zastosowanie w przepływach 2D, chociaż może być zdefiniowana w każdym typie przepływu, zarówno ustalonym, jak i nieustalonym. Proces definiowania osi czasu rozpoczyna się od oznaczenia serii lagranżowskich działek płynu ułożonych w poprzek przepływu w określonym momencie początkowym. Następnie oś czasu jest tworzona poprzez śledzenie ścieżki tych działek w późniejszym momencie. Linie czasu okazują się szczególnie przydatne, gdy są tworzone jako zbiór wielu linii, przy czym początkowy moment każdej linii jest oddzielony równymi odstępami czasu. W praktycznych scenariuszach linie czasowe mogą być przybliżone przez pasywne markery zanieczyszczeń, zwykle pochodzące z cienkiego przewodu rozciągniętego w poprzek przepływu. W przypadku przepływów powietrza, drut jest pokryty olejem, a impulsowy prąd elektryczny przyłożony do drutu generuje krótkie wybuchy dymu, które służą jako markery dla linii poprzecznych, które poruszają się w dół strumienia. W przepływach wody impulsy elektryczne mogą generować linie złożone z małych pęcherzyków wodoru lub tlenu, skutecznie oznaczając przepływ.

Poniższy rysunek służy jako ilustracyjny przykład linii czasowych w turbulentnej warstwie granicznej, podkreślając kluczową cechę linii czasowych w przepływach turbulentnych:

W całkowicie turbulentnej warstwie granicznej wielkość fluktuacji prędkości turbulentnej nie stanowi znaczącego ułamka średniej prędkości. W rezultacie młodsze linie czasu znajdujące się w pobliżu lewej krawędzi obrazu zachowują poczucie porządku i stopniowo gromadzą zniekształcenia, przypominając gładszy przepływ w porównaniu z resztą zdjęcia. W miarę jak przepływ postępuje od lewej do prawej, zniekształcenia te kumulują się, aż prawa połowa obrazu przedstawia chaotyczną i nieuporządkowaną kolekcję linii czasowych, które w całości znajdują się w warstwie granicznej. W tym w pełni turbulentnym przepływie przedstawienie osi czasu fałszywie sugeruje rosnącą intensywność ruchów turbulentnych od lewej do prawej strony.

1. Zastosowania cieczy jonowych w procesach rafinacji Rafinacja ropy naftowej jest jedną z kluczowych technologii napędzających globalny rozwój gospodarczy i postęp technologiczny od ponad wieku. Chociaż większość technologii stosowanych w rafineriach jest uważana za dojrzałą, branża zawsze szuka sposobów na ulepszenie procesów, zmniejszenie wpływu na środowisko, zwiększenie bezpieczeństwa,…

Zachowanie energii Pierwsze prawo termodynamiki, znane jako zasada zachowania energii, stwierdza, że zmiana energii zmagazynowanej w lagranżowskiej paczce płynu jest równa szybkości, z jaką energia jest do niej dodawana z zewnętrznych źródeł, takich jak ciepło lub praca mechaniczna. Dla studenta termodynamiki elementarnej,…

Wprowadzenie Celem tego wpisu nie jest matematyczne wyprowadzenie równań, ale raczej dostarczenie zwięzłych, intuicyjnych wyjaśnień znaczenia różnych terminów w równaniach. Ponadto naszym celem jest przeanalizowanie niektórych nadrzędnych koncepcji, które można wywnioskować z równań dotyczących charakterystyki przepływów. Podstawowe równania…

Wzrost wydajności obliczeniowej umożliwił poprawę możliwości modelowania i symulacji procesów chemicznych. Obliczeniowa dynamika płynów (CFD) jest przydatnym narzędziem do badania wydajności procesu po modyfikacjach geometrycznych i operacyjnych. CFD nadaje się do identyfikacji hydrodynamiki wewnątrz procesów o złożonej geometrii, w których zachodzą reakcje chemiczne oraz wymiana ciepła i masy….

Wprowadzenie Dysponujemy szeregiem pojęć, które okazują się cenne podczas rozważania rozkładu wirowości w polu przepływu. Początkowo skupimy się na tych koncepcjach, które mają zastosowanie do typowego realistycznego scenariusza, w którym wirowość jest rozłożona w sposób ciągły… W każdym regionie, w którym wirowość nie jest równa zero, możliwe jest…

Wprowadzenie Aby przeanalizować pochodną materialną całek objętościowych i powierzchniowych, zaczniemy od zdefiniowania pochodnej materialnej, znanej również jako pochodna istotna. Następnie przeanalizujemy jej zastosowanie do całek objętościowych i powierzchniowych przy użyciu notacji matematycznej i pojęć z rachunku wektorowego. Pochodna materialna Pochodna D/Dt, znana również jako materialna pochodna czasu…

Motywacja Chociaż tytuł może wydawać się onieśmielający, zapewnimy, że będzie on łatwo zrozumiały i pouczający. Ciągły i różniczkowalny charakter prędkości jako pola wektorowego implikuje, że standardowe twierdzenia analizy wektorowej mają zastosowanie. Pewne ograniczenia w fizyce mogą również pomóc w znacznym uproszczeniu naszego zadania. Twierdzenie o dywergencji…

Motywacja Rola inżyniera aeronautyki przeszła znaczące zmiany w ostatnich latach i będzie nadal ewoluować. Pojawienie się zaawansowanych narzędzi obliczeniowych zrewolucjonizowało procesy projektowania różnych typów pojazdów latających, umożliwiając osiągnięcie bezprecedensowego poziomu technologii projektowania. W miarę jak cele w zakresie wydajności stają się coraz bardziej wymagające, rola inżyniera w…

Entropia jest fundamentalną koncepcją, która znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak fizyka, teoria informacji, chemia i statystyka. Jej dokładna definicja może się różnić w zależności od konkretnego kontekstu, ale ogólnie entropia odnosi się do ilościowej miary nieporządku, losowości lub niepewności w danym systemie. W dziedzinie termodynamiki entropia…

Wprowadzenie Proszę wziąć pod uwagę szeroki zakres i zastanowić się nad integracją aerodynamiki z całością współczesnej teorii fizycznej. Nadchodząca podróż, w którą wyruszam z Państwem, będzie pobieżna, ale ufam, że pomoże w zapewnieniu szerszego zrozumienia dla kolejnych dyskusji. Przedstawiliśmy ten temat na głębokim poziomie w…

„Łatwo jest wyjaśnić, jak działa rakieta, ale wyjaśnienie, jak działa skrzydło, wymaga naukowca zajmującego się rakietami…” – Philippe Spalart Większość współczesnych symulacji CFD przeprowadza się przy użyciu metody uśredniania Reynoldsa. Symulacja uśredniona Reynoldsa Naviera-Stokesa (RANS) opiera się na dekompozycji Reynoldsa, zgodnie z którą zmienna przepływu jest rozkładana na średnią i zmienną….

O tym zestawie postów: Zanim przejdziemy dalej, konieczne jest uzyskanie pewnej perspektywy. Chociaż prawidłowe zrozumienie jest niezwykle ważne, nie możemy przeceniać potencjalnych rezultatów, które można osiągnąć dzięki jego zastosowaniu. W dziedzinie aerodynamiki zjawiska fizyczne, z którymi się spotykamy, są zaskakująco…