Zachowanie energii
Pierwsza zasada termodynamiki, znana jako zasada zachowania energii, stwierdza, że zmiana energii zmagazynowanej w lagranżowskiej paczce płynu jest równa szybkości, z jaką energia jest do niej dodawana z zewnętrznych źródeł, takich jak ciepło lub praca mechaniczna. Dla studentów podstawowej termodynamiki istnieją dwa aspekty tej zasady, które mogą być nowe. Po pierwsze, ruch cząstki płynu odgrywa znaczącą rolę w ogólnym bilansie energetycznym, a zatem masowa energia kinetyczna cząstki musi być traktowana jako jedna z form zmagazynowanej energii. Po drugie, ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że nie tylko ciśnienie, ale także siły lepkości mogą przyczynić się do dodania pracy mechanicznej do energii układu.
Przenoszenie ciepła w paczce może odbywać się za pomocą dwóch głównych mechanizmów: promieniowania elektromagnetycznego i przewodnictwa molekularnego. Promieniowanie elektromagnetyczne wiąże się z absorpcją lub emisją energii w paczce, podczas gdy przewodnictwo molekularne odnosi się do transferu ciepła przez granicę paczki. Należy zauważyć, że efekty promieniowania są proporcjonalne do objętości, znane jako efekt „ciała”, podczas gdy efekty przewodzenia są związane z powierzchnią. W aerodynamice efekty powierzchniowe są zazwyczaj bardziej znaczące niż efekty ciała. Praca mechaniczna wykonywana na paczce jest wykonywana przez te same siły, które biorą udział w zachowaniu pędu. W aerodynamice zewnętrzne siły ciała są często pomijalne, a nacisk kładziony jest na siły wywierane przez sąsiednie paczki.
Wpływ wewnętrznych naprężeń płynu na zachowanie energii jest jednak bardziej złożony niż w przypadku zachowania pędu. Podczas gdy zachowanie pędu uwzględnia tylko siłę netto działającą na paczkę, zachowanie energii uwzględnia również siłę netto działającą na odległość przebytą przez środek masy paczki, przyczyniając się do zmian jej całkowitej energii kinetycznej.
Istnieją jednak dodatkowe czynniki, które należy wziąć pod uwagę. W przypadku, gdy paczka ulegnie deformacji, czy to objętościowej, czy ścinającej, niektóre części granicy paczki przesuną się w stosunku do jej środka masy. Ten ruch może skutkować znaczną pracą wykonywaną na działce. Co więcej, ciśnienie wywierane na paczkę, poprzez ściskanie lub rozszerzanie, może prowadzić do efektów ogrzewania lub chłodzenia. Dodatkowo, paczka doświadcza ciepła z powodu naprężeń lepkich, zjawiska znanego jako dyssypacja lepka.
Turbulencje stanowią intrygujące zagadnienie w odniesieniu do zachowania energii. Przepływy turbulentne są zwykle analizowane za pomocą modeli teoretycznych, które koncentrują się na średnich czasowych, skutecznie wygładzając niestałe ruchy turbulencji. W uśrednionym czasowo polu przepływu energia kinetyczna związana z turbulencjami staje się znaczącą formą energii, która wymaga rozważenia. Niemniej jednak, w wielu scenariuszach przepływu, generowanie i rozpraszanie energii kinetycznej turbulencji (TKE) jest w przybliżeniu zrównoważone lokalnie, co pozwala na zaniedbanie TKE:
- Zachowanie energii: Pierwsza zasada termodynamiki, która mówi, że energia nie może być tworzona ani niszczona, a jedynie przekształcana z jednej formy w inną, jest omawiana w kontekście działek płynów. Obejmuje to rozważenie zmian energii kinetycznej, energii potencjalnej i energii wewnętrznej w paczce.
- Formy energii: Szczegółowo omówione są różne formy energii w płynie, w tym energia kinetyczna, energia wewnętrzna (na którą wpływa ciśnienie i siły lepkości) oraz mechanizmy wymiany ciepła, takie jak promieniowanie elektromagnetyczne i przewodnictwo molekularne.
- Praca mechaniczna: Wyjaśniono rolę pracy mechanicznej na działce płynu, zauważając, że może ona być wykonywana zarówno przez siły zewnętrzne (takie jak ciśnienie), jak i wewnętrzne naprężenia płynu, które mogą wynikać z sąsiednich działek lub deformacji samej działki.
- Efekty odkształcenia i ściskania: Omówiono wpływ deformacji działki i zmian ciśnienia na bilans energetyczny, podkreślając, w jaki sposób czynniki te mogą prowadzić do znacznej pracy wykonywanej na działce i wpływać na jej stan termiczny.
- Rozpraszanie wiskotyczne: Zjawisko lepkiego rozpraszania, w którym energia mechaniczna jest przekształcana w ciepło z powodu lepkości płynu, jest wymieniane jako czynnik przyczyniający się do rozważań dotyczących oszczędzania energii.
- Turbulencja: Przepływy turbulentne wprowadzają dodatkową złożoność do zachowania energii, szczególnie w odniesieniu do generowania i rozpraszania energii kinetycznej turbulencji (TKE). Chociaż TKE jest istotna w przepływach turbulentnych, można ją zaniedbać w niektórych scenariuszach, w których współczynniki generowania i rozpraszania są w przybliżeniu zrównoważone.
Ogólnie rzecz biorąc, staramy się wyjaśnić, w jaki sposób zasady termodynamiki mają zastosowanie do działek płynów, szczególnie w kontekście aerodynamicznym, i podkreślić różne czynniki, które należy wziąć pod uwagę podczas analizy zachowania energii w takich systemach.
Związek między różnymi wielkościami fizycznymi a warunkami brzegowymi
Właśnie przeanalizowaliśmy podstawowe prawa zachowania w lagranżowskim układzie odniesienia. Niezależnie od tego, czy prawa te są stosowane w układzie Lagrangian czy Eulerian, dają one pięć równań i mamy do czynienia z ośmioma niewiadomymi. Te niewiadome składają się z trzech współrzędnych przestrzennych (w układzie Lagrange’a) lub składowych prędkości (w układzie Eulera), a także pięciu lokalnych właściwości materiałowych i termodynamicznych: ciśnienia, gęstości, temperatury oraz współczynników lepkości molekularnej i przewodnictwa cieplnego. Aby w pełni zdefiniować system, wymagane są trzy dodatkowe relacje konstytutywne. W aerodynamice relacje te zazwyczaj obejmują równanie stanu gazu doskonałego, które koreluje ciśnienie, gęstość i temperaturę; prawo Sutherlanda, które łączy lepkość z samą temperaturą; oraz zależność Prandtla dla przewodności cieplnej.
Kompleksowy system Naviera-Stokesa (NS) obejmuje całą wewnętrzną fizykę płynów, która jest niezbędna do naszej analizy. Jeśli chodzi o granice naszej domeny przepływu, konkretne warunki brzegowe, które musimy zastosować, zależą od rodzaju danej granicy. W przypadku granic przepływu nie ma potrzeby odwoływania się do dodatkowej fizyki, ponieważ same równania NS dyktują, które warunki brzegowe są dopuszczalne lub obowiązkowe, w zależności od scenariusza przepływu. Jednak w przypadku granic, które stykają się z innym materiałem, powszechnie określanych jako „ściany”, wymagane są dodatkowe rozważania fizyczne w celu precyzyjnego zdefiniowania warunków brzegowych.
Warunki brzegowe określają zachowanie systemu na jego granicach lub interfejsach. Są one niezbędne do rozwiązywania równań różniczkowych, które rządzą zjawiskami fizycznymi i są często wykorzystywane do modelowania interakcji między różnymi materiałami lub regionami w systemie. Niektóre popularne typy warunków brzegowych obejmują:
- Warunki brzegowe Dirichleta: Określają one wartości zmiennych zależnych (np. temperatury, prędkości) na granicach domeny.
- Warunki brzegowe Neumanna: Określają one gradienty lub strumienie zmiennych zależnych na granicach, a nie ich wartości bezwzględne.
- Warunki brzegowe Robina: Znane również jako mieszane warunki brzegowe, określają kombinację określonych wartości i gradientów na granicach.
- Okresowe warunki brzegowe: Są one używane do modelowania systemów, w których granice owijają się, tworząc okresową domenę, na przykład w symulacjach okresowych struktur lub przepływów płynów w kanałach.
- Warunki interfejsu: Podczas modelowania interakcji między różnymi materiałami lub fazami, warunki interfejsu określają, w jaki sposób wielkości takie jak naprężenie, przemieszczenie lub strumień ciepła są powiązane przez interfejs.
Relacje konstytutywne opisują związek między różnymi wielkościami fizycznymi w materiale lub płynie. Relacje te zazwyczaj zależą od właściwości materiału i mogą się różnić w zależności od warunków, jakim poddawany jest materiał lub płyn. Niektóre typowe relacje konstytutywne obejmują:
- Zależności naprężenie-odkształcenie: W mechanice ciała stałego zależności te opisują, w jaki sposób naprężenie (siła na jednostkę powierzchni) jest związane z odkształceniem (deformacją) w materiale. Różne materiały wykazują różne zachowania naprężenie-odkształcenie, takie jak reakcje sprężyste, plastyczne lub lepkosprężyste.
- Zależności naprężenie-odkształcenie w płynie: W przypadku płynów relacje konstytutywne często opisują, w jaki sposób naprężenie (naprężenie ścinające, naprężenie normalne) jest powiązane z szybkością odkształcania (szybkością deformacji). Relacje te mogą obejmować parametry takie jak lepkość dla płynów newtonowskich lub bardziej złożone modele dla płynów nienewtonowskich.
- Zależności termodynamiczne: W termodynamice relacje konstytutywne opisują, w jaki sposób właściwości takie jak ciśnienie, temperatura i gęstość są powiązane w różnych warunkach. Równania stanu, takie jak prawo gazu doskonałego lub bardziej złożone sformułowania dla gazów rzeczywistych, są przykładami termodynamicznych zależności konstytutywnych.
- Zależności elektromagnetyczne: W materiałoznawstwie i elektromagnetyzmie relacje konstytutywne opisują, w jaki sposób przewodność elektryczna, przenikalność elektryczna i przenikalność magnetyczna odnoszą się do pól elektrycznych i magnetycznych.
Matematyczna charakterystyka równań
Przedstawiony układ równań składa się z pięciu polowych PDE i trzech algebraicznych relacji konstytutywnych, w sumie ośmiu niewiadomych. Równania te wykazują mieszaną hiperboliczną/eliptyczną naturę w przestrzeni, wymagając warunków brzegowych dla rozwiązania w całej domenie. Podczas gdy rozwiązania numeryczne mogą postępować w czasie, postęp przestrzenny nie jest możliwy. Ze względu na nieliniowość równań, rozwiązania nie mogą być generalnie osiągnięte poprzez superpozycję. Nawet rozwiązanie o stałym przepływie wymaga metody wykraczającej poza inwersję pojedynczej macierzy, takiej jak marsz w czasie lub procesy iteracyjne. Złożoność ta będzie dalej analizowana w kontekście metod CFD. Rozwiązania równań NS nie zawsze muszą być unikalne, szczególnie gdy wiele rozwiązań dla przepływu ustalonego odpowiada tej samej geometrii ciała. Podczas gdy rozwiązania wolne od turbulencji istnieją teoretycznie, są one często dynamicznie niestabilne przy wysokich liczbach Reynoldsa i rzadko są obserwowane w naturze.
Ze względu na powyższe wyzwania, znalezienie analitycznych rozwiązań równań NS jest możliwe tylko dla ograniczonej liczby prostych przypadków o zredukowanych wymiarach i stałych właściwościach płynu. Nawet w tych przypadkach rozwiązania mają zastosowanie tylko w pewnych ograniczających warunkach, w których można pominąć wpływ bezwładności. Istnieją na przykład jednowymiarowe rozwiązania dla ustalonego, w pełni rozwiniętego przepływu w płaskich, dwuwymiarowych lub okrągłych kanałach lub rurach, a także dwuwymiarowe rozwiązania dla przepływu wokół okrągłego cylindra lub kuli przy niskich liczbach Reynoldsa. W sytuacjach związanych z wysokimi liczbami Reynoldsa, przybliżone rozwiązania dwuwymiarowych równań NS można uzyskać przy użyciu teorii warstwy granicznej, która wymaga jedynie rozwiązania jednowymiarowego równania różniczkowego zwyczajnego (ODE). Jednak w przypadku bardziej ogólnych przepływów rozwiązania numeryczne są jedyną realną opcją, chyba że można przyjąć założenia upraszczające.
Rama eulerowska
W ramach eulerowskich obserwacja koncentruje się na zachowaniu płynu, gdy przechodzi on przez określone punkty w wyznaczonych ramach przestrzennych. Zamiast monitorować zmiany zachodzące w stałych porcjach płynu, jak ma to miejsce w ramach Lagrangian, nacisk przenosi się na obserwację zachowania w nieskończenie małych elementach objętości zintegrowanych z przestrzennym układem współrzędnych. Te elementy objętościowe w strukturze Eulera mają ciągły przepływ płynu przechodzącego przez nie i przez ich granice. Przepływ ten odzwierciedla ruch obserwowany w strukturze Lagrangian. Zmiana perspektywy wymaga innego traktowania procesu konwekcji podczas stosowania praw zachowania. W podejściu Lagrangian konwekcja jest domyślnie uwzględniana poprzez definicję stałych działek płynu, bez żadnych warunków w równaniach zachowania uwzględniających konwekcję przez granice działek z powodu braku takiego ruchu z definicji. W przeciwieństwie do tego, w podejściu eulerowskim, gdzie przepływ płynu przez granice elementów objętościowych jest powszechny, proces konwekcji musi być wyraźnie uwzględniony w równaniach jako dodatkowe warunki.
Z matematycznego punktu widzenia, dodatkowe warunki pojawiają się, gdy zastąpimy pochodne czasowe w równaniach
Równania Lagrangian z ich odpowiednikami Eulerian, przy użyciu równania:
Równania eulerowskie zawierają wyrażenia uwzględniające efekty konwekcji, które wynikają z wyrażenia V – ∇ po prawej stronie. Aby zilustrować tę koncepcję, przeanalizujmy składową x pędu paczki Lagrangian o objętości dV, oznaczoną jako ρ udV. Stosując powyższe równanie do tej konkretnej wielkości, możemy lepiej zrozumieć jego implikacje:
Termin pojawiający się jako drugi po prawej stronie równania symbolizuje konwekcję pędu w eulerowskim równaniu pędu x w jego najbardziej podstawowej formie. Alternatywna reprezentacja często spotykana w pracach naukowych polega na przeniesieniu gęstości poza pochodną, co skutkuje wyraźniejszym połączeniem z przyspieszeniem Lagrangian Du/Dt.
Aby uzyskać tę alternatywną formę, konieczne jest odwołanie się do zasady zachowania masy, która w swoim lagranżjańskim sformułowaniu zapewnia, że masa paczki lagranżjańskiej pozostaje stała w czasie. Jeśli ponownie skorzystamy z istotnej definicji pochodnej, otrzymamy:
Proces konwekcji w szczegółach
Przyjrzyjmy się teraz bliżej procesowi konwekcji. Jest dobrze znanym faktem, że konwekcja jest wzajemna na wspólnej granicy między dwoma działkami. Koncepcję tę można porównać do trzeciego prawa Newtona w mechanice, które mówi, że siły wywierane przez dwa stykające się ciała muszą być równe i przeciwne. Ta równowaga jest konieczna, ponieważ na styku nie ma mechanizmu, który utrzymywałby niezrównoważoną siłę. Rozważając dwie działki płynu dzielące granicę, nie ma mechanizmu zmieniającego strumień wielkości zachowywanej, dlatego strumień opuszczający jedną działkę musi być równoważny strumieniowi wpływającemu do drugiej. W naszym ogólnym sformułowaniu Naviera-Stokesa nie musimy wyraźnie wymuszać tej wzajemności, ponieważ jest ona z natury utrzymywana przez ciągłość wszystkich zmiennych przepływu. Jednak w wyspecjalizowanych teoriach obejmujących nieciągłości, takich jak modelowanie wstrząsów w rozwiązaniach nielepkich, wymagane są dodatkowe równania, aby zapewnić utrzymanie relacji zachowania przez nieciągłość.
Wyrażenia konwekcyjne w równaniach zachowania mają jasną interpretację fizyczną. Gdy występuje nierównowaga między szybkością konwekcji do elementu objętości a szybkością konwekcji na zewnątrz, konwekcja działa jako źródło zachowanej wielkości i musi być uwzględniona w prawie zachowania. Terminy te wskazują ogólną szybkość, z jaką zachowana wielkość jest transportowana do lub z elementu objętości. W przypadku zachowania masy, konwekcja netto jest jedynym czynnikiem przyczyniającym się do zmiany całkowitej masy w elemencie w czasie, szczególnie w warunkach ustalonego przepływu, gdzie strumień masy do i z elementu musi być równy. Zasada ta wykracza poza lokalne działki do większych objętości, takich jak rura strumieniowa o stałym przepływie, gdzie strumień masy przez dowolną powierzchnię przecinającą rurę musi pozostać stały. Konwekcja netto odgrywa kluczową rolę w utrzymaniu równowagi w zachowaniu pędu i energii, ale konieczne jest również uwzględnienie wpływu sił zewnętrznych działających na płyn (pędu i energii) oraz przewodzenia ciepła.
Na bilanse pędu i energii w naszym sformułowaniu mogą wpływać zewnętrzne źródła, takie jak siły grawitacyjne lub elektromagnetyczne działające na płyn, a także wymiana ciepła poprzez absorpcję i emisję promieniowania. Wkłady te można łatwo uwzględnić. Dodatkowo, wymiana siły lub energii pomiędzy działkami płynu, które nie są w bezpośrednim kontakcie ze sobą, znana jako wewnętrzne efekty nielokalne, może również wpływać na bilanse. Jednak w aerodynamice te efekty zewnętrzne i wewnętrzne efekty nielokalne są zwykle uważane za nieistotne. Dlatego jedynymi efektami, które muszą być reprezentowane w naszych równaniach, są te przenoszone przez bezpośredni kontakt między paczkami. Obejmuje to siły między paczkami reprezentowane przez pozorne naprężenia wewnętrzne i strumienie ciepła spowodowane przewodzeniem, które są wymieniane między sąsiednimi paczkami płynu. Należy zauważyć, że wielkości te nie są fizycznie związane z materiałem płynu i nie są z nim konwekcjonowane. Nie mają na nie wpływu zmiany prędkości naszego układu odniesienia i wyglądają tak samo zarówno w układzie eulerowskim, jak i lagranżowskim.
W typowym scenariuszu obserwowanym w aerodynamice, główne przenoszenie sił w płynie występuje między sąsiednimi działkami płynu. Podobnie, efekty konwekcji w ramach eulerowskich również działają wyłącznie między sąsiednimi działkami eulerowskimi. W związku z tym w naszych konwencjonalnych przepływach aerodynamicznych nie ma mechanizmu jakiejkolwiek formy wymiany „siły na odległość”, co wyklucza zdalną „indukcję” lub podobne efekty. Chociaż prawo Biota-Savarta może sugerować efekt zdalnej indukcji, błędem jest postrzeganie prędkości w jednym punkcie jako „indukowanej” lub „powodowanej” przez wirowość w innym punkcie. Jest to tylko jedna z ilustracji wyzwań związanych z przypisywaniem przyczyny i skutku w dziedzinie mechaniki płynów.
Motywacja Rola inżyniera lotniczego przeszła w ostatnich latach znaczące zmiany i będzie nadal ewoluować. Pojawienie się zaawansowanych narzędzi obliczeniowych zrewolucjonizowało procesy projektowania różnych typów pojazdów latających, umożliwiając osiągnięcie bezprecedensowego poziomu technologii projektowania. W miarę jak cele w zakresie wydajności stają się coraz bardziej wymagające, rola inżyniera w…
W dziedzinie analizy obliczeniowej dynamiki płynów (CFD) metody uśredniania Reynoldsa Naviera Stokesa (RANS) są tradycyjnie wybierane do badania przepływów turbulentnych w praktycznych scenariuszach inżynieryjnych. Techniki oparte na RANS znajdują się na jednym końcu spektrum turbulentnych metod obliczeniowych, w których turbulentne efekty dynamiki płynów są zastępowane modelem turbulencji. Na przeciwległym…
Motywacja Koncepcja podziału ruchu otaczającego obiekt na zewnętrzny ruch nielepki i wewnętrzny ruch lepki, z których każdy jest regulowany uproszczonymi równaniami, została pierwotnie wprowadzona przez Prandtla w 1904 roku. Od tego czasu koncepcja ta przeszła rozległy rozwój i jest szeroko stosowana jako podstawowe podejście do ilościowego przewidywania lepkich…
Motywacja Uczenie maszynowe stwarza wiele szans na pogłębienie tematu obliczeniowej dynamiki płynów i szybko staje się podstawowym narzędziem obliczeń naukowych. Podkreślamy niektóre obszary o największym potencjalnym wpływie w tej perspektywie, takie jak poprawa modelowania zamknięcia turbulencji, przyspieszenie bezpośrednich symulacji numerycznych oraz tworzenie ulepszonych modeli niższego rzędu….
„Każdy matematyk wierzy, że wyprzedza innych. Powodem, dla którego żaden z nich nie wyraża tego przekonania publicznie, jest to, że są inteligentnymi ludźmi” – Andrey Kolmogorov PDF Download: The k-ω Family of Turbulence Models (by Tomer Avraham) Streszczenie Przedstawione zostaną trzy wersje dwumianowego modelu turbulencji k-omega. Pierwszą z nich jest…