Posiadamy szereg koncepcji, które okazują się cenne podczas rozważania rozkładu wirowości w polu przepływu. Początkowo skupimy się na tych koncepcjach, które mają zastosowanie do typowego realistycznego scenariusza, w którym wirowość jest rozłożona w sposób ciągły.
W każdym regionie, w którym wirowość nie jest równa zeru, możliwe jest ustalenie linii wirowej jako krzywej przestrzennej biegnącej równolegle do wektora wirowości. Jest to podobne do tego, jak linia strumienia wyrównuje się z wektorem prędkości. W konsekwencji, w polu wirowości, linia wiru przypomina linię strumienia w polu prędkości. Podobnie jak rozszerzyliśmy pojęcie linii strumienia, aby objąć rurkę strumieniową, możemy podobnie rozszerzyć pojęcie linii wiru, aby objąć rurkę wirową.
Strumień wirowości na granicy rury wirowej jest z natury zerowy, zgodnie z jej definicją. Co więcej, dywergencja zwinięcia wektora, w szczególności prędkości (której zwinięcie reprezentuje wirowość), wynosi zero zgodnie z tożsamością wektora. W rezultacie strumień pozostaje stały w dowolnym przekroju rury, niezależnie od jego położenia wzdłuż długości.
Stałość strumienia wirowości w rurze wirowej reguluje zmiany wielkości wirowości, które muszą towarzyszyć rozciąganiu wiru. Gdy pole przekroju poprzecznego rury wirowej zmniejsza się, czy to w czasie, czy wzdłuż jej długości, siła wirowości (wielkość wektora wirowości) musi się nasilać. W przypadku segmentu rurki wirowej zawierającej stałą ilość płynu, zmniejszenie pola przekroju poprzecznego zwykle wymaga zwiększenia długości lub rozciągnięcia. To rozciąganie jest szczególnie konieczne, jeśli gęstość płynu pozostaje stała, co zbadamy później w odniesieniu do zachowania masy. W związku z tym rozciąganie rurki wirowej generalnie zwiększa lokalną wielkość wirowości.
Stałość strumienia wirowości w rurze wirowej narzuca konieczność zmian wielkości wirowości podczas rozciągania wiru. Gdy pole przekroju poprzecznego rury wirowej zmniejsza się, czy to w czasie, czy wzdłuż jej długości, intensywność wirowości (wielkość wektora wirowości) musi wzrosnąć. Aby pomieścić zmniejszoną powierzchnię przekroju poprzecznego w określonej ilości płynu, zwykle wymagane jest zwiększenie długości lub rozciągnięcie.
Włókno wirowe to smukła rura wirowa o bardzo małym maksymalnym wymiarze w przekroju poprzecznym. Pole przekroju poprzecznego żarnika wirowego jest również nieskończenie małe, ale zakłada się, że zmienia się wzdłuż długości żarnika, co pozwala mu spełnić kryteria rurki wirowej. W przypadku filamentu wirowego strumień wirowości w przekroju poprzecznym jest równy iloczynowi wielkości wirowości i pola przekroju poprzecznego, znanego jako intensywność filamentu. Należy zauważyć, że ta definicja intensywności, jako strumienia wirowości przez nieskończenie mały obszar, różni się od innych znanych pojęć intensywności, takich jak intensywność wiązki światła, która jest definiowana jako strumień energii na jednostkę powierzchni. Drugie twierdzenie Helmholtza mówi, że intensywność włókna wirowego pozostaje stała wzdłuż jego długości. Zachowanie intensywności oznacza, że włókno wirowe nie może kończyć się w domenie płynu, ale musi albo tworzyć zamkniętą pętlę (pętlę wirową), albo kończyć się na granicy domeny.
W zależności od charakterystyki granicy, ograniczenia zostaną nałożone na możliwe sposoby, w jakie włókna wirowe lub linie wirowe mogą się tam kończyć. Przeanalizujmy najpierw unikalny scenariusz pojedynczego włókna wirowego, które jest otoczone przepływem irrotacyjnym. W przypadku, gdy przepływ pozostaje stały, a granica stanowi interfejs, przez który płyn nie może przejść, włókno wirowe może przecinać granicę tylko w sposób prostopadły.
Wymóg ten wynika z konieczności posiadania przeważnie kołowej konfiguracji przepływu w pobliżu żarnika, w płaszczyznach prostopadłych do samego żarnika. Wszelkie odchylenia od tej normalnej orientacji byłyby sprzeczne z warunkiem braku przepływu przez granicę.
Ponadto, jeśli granica jest stałą powierzchnią stałą podlegającą warunkowi braku poślizgu, składowe prędkości w płaszczyznach prostopadłych do żarnika muszą zmniejszać się na powierzchni, podczas gdy wielkość wirowości musi zbliżać się do zera. W związku z tym izolowane włókno wirowe nie jest w stanie zakończyć się na powierzchni ciała stałego charakteryzującej się brakiem poślizgu.
W przypadku rozproszonej wirowości linie wirowe mogą przecinać granicę bez przepływu przelotowego z poślizgiem, a przecięcie może nie być w kierunku normalnym. I odwrotnie, na nieruchomej powierzchni bez poślizgu sytuacja jest bardziej ograniczona. Ponieważ prędkość styczna na powierzchni wynosi zero, składowa wirowości normalna do powierzchni również musi wynosić zero. Dlatego też, jeśli wielkość wirowości jest niezerowa, linie wirowe muszą być styczne do powierzchni. Zasada ta ogólnie obowiązuje w lepkim przepływie wokół nieruchomego obiektu, z wyjątkiem izolowanych pojedynczych punktów separacji lub przyczepienia, w których wielkość wirowości na powierzchni wynosi zero. W takich przypadkach linia wirowa może normalnie przecinać powierzchnię, ale normalna składowa wirowości musi nadal zbliżać się do zera w punkcie przecięcia. W związku z tym linie wirowe mogą przecinać powierzchnię bez poślizgu tylko w izolowanych punktach osobliwych. Powszechne jest błędne przekonanie, że linie wirowe nie mogą w ogóle przecinać powierzchni bez poślizgu, pomijając wyjątki wspomniane powyżej.
Oczywiste jest, że gdy wiry zbliżają się do powierzchni ciała stałego z warunkami braku poślizgu, z wyjątkiem pojedynczego izolowanego punktu, linie wirowe są zmuszone do zmiany kierunku, aby zapobiec przecięciu z powierzchnią. To przekierowanie często powoduje, że wiry przyczyniają się do wirowości w lepkiej warstwie granicznej utworzonej na powierzchni.
1. Przeanalizujmy teraz konstrukcje teoretyczne, które zostały opracowane dla wyidealizowanych reprezentacji przepływów charakteryzujących się wysoce skoncentrowaną wirowością. Obecność skoncentrowanej wirowości w określonych regionach odgrywa kluczową rolę w analizie niektórych przepływów, które zostaną omówione później. Na przykład, w rozdziale 8 zagłębimy się we wzorce wirowości obserwowane w śladach za podnoszonym skrzydłem, gdzie wirowość początkowo występuje w skoncentrowanej formie w cienkiej warstwie ścinania, ostatecznie przechodząc w dwa odrębne, mniej lub bardziej osiowo-symetryczne wiry, wszystkie otoczone niemal irrotacyjnym przepływem.
2. W teoretycznych modelach takich zjawisk przepływu te struktury wirowe są często upraszczane jako matematycznie cienkie koncentracje, z warstwami ścinania konceptualizowanymi jako arkusze wirowe, a wiry jako wiry liniowe. Pomimo koncentracji wirowości w obszarach o zerowym polu przekroju poprzecznego, te wyidealizowane jednostki wykazują skończone strumienie wirowości. W związku z tym rozkład wirowości w miejscu arkusza lub linii musi być osobliwy lub nieskończony.
3. Gdy mamy do czynienia z arkuszem wirowym, proces ten zazwyczaj obejmuje całkowanie po skończonej szerokości arkusza w celu określenia skończonego strumienia wirowości, nawet jeśli zintegrowany obszar pozostaje zerowy ze względu na nieskończenie cienką naturę arkusza. Z drugiej strony, w przypadku wiru liniowego, pojedyncze całkowanie w poprzek linii (zasadniczo punktu) jest wystarczające do obliczenia skończonego strumienia. Chociaż istnieją formalne ramy matematyczne, które zapewniają rygorystyczne traktowanie tych pojęć, szczegółowa eksploracja tej teorii nie jest konieczna do pełnego zrozumienia podstawowych zasad.
Wir liniowy i włókno wirowe, choć na pierwszy rzut oka mogą wydawać się podobne, mają istotne różnice. Po pierwsze, wir liniowy ma pole przekroju równe zero, podczas gdy żarnik ma nieskończenie małe pole przekroju. Dodatkowo, strumień wirowości wiru liniowego jest skończony, podczas gdy strumień wiru nitkowego jest nieskończenie mały. Ważne jest, aby nie mylić wiru liniowego, który reprezentuje osobliwy rozkład wirowości, z linią wirową, która jest jedynie równoległa do wektora wirowości i zwykle występuje w polach, w których wirowość jest rozłożona w sposób ciągły.
Wir punktowy, znany również jako wir liniowy w przepływie płaskim 2D, charakteryzuje się linią prostą, która rozciąga się w nieskończoność w obu kierunkach prostopadłych do płaszczyzny 2D. Taka konfiguracja sprawia wrażenie pojedynczego punktu na płaszczyźnie 2D. Wir liniowy służy jako jedna z podstawowych osobliwości, które można wykorzystać jako podstawowy element w konstruowaniu rozwiązań teorii przepływu potencjalnego, jak omówiono w sekcji 3.10. Jednak w bardziej złożonych przepływach wir liniowy może wykazywać krzywiznę, co stanowi wyjątkowe wyzwanie. W dowolnym punkcie wzdłuż zakrzywionego wiru liniowego, gdzie krzywizna jest niezerowa, prędkość płynu prostopadła do wiru staje się nieskończona. W związku z tym określenie realistycznej prędkości, przy której linia wirowa będzie transportowana przez przepływ, staje się niemożliwe. W rzeczywistych przepływach wirowość jest rozłożona w sposób ciągły i ma skończoną wielkość, co eliminuje występowanie nieskończonych prędkości.
Powiązanie pola prędkości z koncentracją wirowości
Koncepcja wysoce skoncentrowanej wirowości jest często upraszczana jako arkusz wirowy lub wir liniowy. Wykorzystując twierdzenie Stokesa, możemy teraz przeanalizować rozkłady prędkości w bezpośrednim sąsiedztwie, które muszą odpowiadać tym wyidealizowanym rozkładom wirowości.
Powyższy rysunek, oznaczony jako (a), ilustruje arkusz wirowy w przepływie 2D. Stosując twierdzenie Stokesa do zamkniętego konturu, który otacza krótki odcinek wstęgi, staje się oczywiste, że występuje skok prędkości w poprzek wstęgi, który jest równy lokalnej sile wirowości lub wirowości na jednostkę odległości wzdłuż wstęgi w kierunku prostopadłym do wektora wirowości. W tym konkretnym przypadku 2D wektor wirowości jest prostopadły do płaszczyzny papieru, a odległość wzdłuż arkusza jest mierzona w kierunku przepływu. Przepływ fizyczny związany z tym wyidealizowanym arkuszem wirowym to warstwa ścinana, w której skok prędkości jest rozłożony na skończonej grubości, jak pokazano na rysunku oznaczonym jako (b).
W przypadku przepływu 3D, skok prędkości w poprzek wstęgi wirowej, w sensie wektorowym, musi być nadal prostopadły do wektora wirowości. W aerodynamice często spotyka się arkusz bez skoku w wielkości prędkości, tylko w kierunku. W takich przypadkach skok wektora prędkości jest prostopadły do wektora wirowości, który jest równoległy do kierunku średniej wektorów prędkości po obu stronach arkusza, jak pokazano na rysunku oznaczonym jako (c). Można wykazać, że gdyby wektor wirowości nie był równoległy do średniej dwóch wektorów prędkości, musiałby wystąpić skok wielkości prędkości.
Płaty wirowe przypominające ten przedstawiony na rysunku oznaczonym jako (c) są często modelowane w teorii przepływu potencjalnego 3D. Z definicji potencjału prędkości wynika, że skok wektora prędkości wymaga również skoku potencjału prędkości.
Jeśli fizyczna warstwa ścinania jest efektywnie cienka, co oznacza, że zmiany przepływu w warstwie zachodzą znacznie szybciej niż zmiany w innych kierunkach, skok prędkości będzie w przybliżeniu równy wielkości i prostopadły do całki wirowości w warstwie.
Czy indukcja prędkości przez wirowość jest błędem?
Każdy student inżynierii nieuchronnie napotyka prawo Biota-Savarta podczas studiów licencjackich, niezależnie od tego, czy dotyczy to mechaniki płynów, czy klasycznej elektromagnetyki. Prawo to sugeruje, że zrozumienie zakrzywienia pola wektorowego w określonym punkcie zapewnia wgląd w zachowanie pola wektorowego w innym punkcie.
Pomimo swojej początkowej atrakcyjności, koncepcja ta może być zwodnicza, ponieważ często prowadzi do niejednoznaczności w odniesieniu do związku między przyczyną a skutkiem. Dodatkowo, możliwość konwersji równań Naviera-Stokesa z równania prędkości na równanie wirowości oraz wykorzystanie modeli przepływu potencjalnego do wprowadzenia przeszkód w przepływie dodatkowo potwierdzają powszechnie panujące przekonanie, że wirowość powoduje prędkość, jak sugeruje zasada Biota-Savarta.
Błąd leży tutaj. W przypadku braku sił grawitacyjnych lub elektromagnetycznych, w zwykłych przepływach płynów nie występuje oddziaływanie na odległość. Wyrażanie równań w różnych formach i odnoszenie się do prawa Bio-Savarta jako relacji rachunku różniczkowego między polem wektorowym a jego zakrzywieniem nie oznacza, że wir w punkcie A może indukować prędkość w odległym punkcie B. Chociaż prawdą jest, że relacja matematyczna, taka jak prawo Biota-Savarta, pozwala nam wydedukować zarówno ilościowe, jak i jakościowe szczegóły dotyczące pola prędkości w odległym punkcie, w mechanice płynów nie przedstawia ona dokładnie fizyki. Dlatego bezpośredni związek przyczynowo-skutkowy jest w tym kontekście nieco mylący w porównaniu z jego odpowiednikiem w klasycznej elektromagnetyce.
Prawo Biota-Savarta okazuje się być korzystne dla obliczeń ilościowych. Jednak koncepcja jakościowa, zgodnie z którą zrozumienie wirowości w określonym punkcie pozwala nam wywnioskować informacje o prędkości w innym punkcie, ma swoją własną wartość. Koncepcja ta służy jako jedno z najbardziej wpływowych narzędzi do zrozumienia pól przepływu. Niemniej jednak, pomimo swojej mocy, może to być również miecz obosieczny, ponieważ często powoduje zamieszanie, jeśli chodzi o określenie przyczyny i skutku.
Problem ten wynika z faktu, że wirowość jest uważana za „dane wejściowe”, podczas gdy prędkość jest postrzegana jako „dane wyjściowe”, co prowadzi do powszechnej praktyki odnoszenia się do prędkości wydedukowanej z wirowości jako prędkości indukowanej. Może to łatwo prowadzić do przekonania, że wirowość w jakiś sposób „powoduje” prędkość, którą „określa”. Ten tok myślenia jest jednak błędny. W przypadku braku znaczących sił grawitacyjnych lub elektromagnetycznych, w regularnych przepływach płynów nie ma działania na odległość. Znaczące siły są przenoszone tylko poprzez bezpośredni kontakt między sąsiednimi działkami płynu.
Dlatego wir w punkcie A nie może bezpośrednio „spowodować” prędkości w odległym punkcie B, a terminy takie jak „spowodowany”, „indukowany”, a nawet „z powodu” błędnie przedstawiają fizykę. Ważne jest, aby pamiętać, że Biot-Savart jest po prostu matematyczną relacją między polem wektorowym a jego zakrzywieniem, a w mechanice płynów nie wskazuje na bezpośredni fizyczny związek przyczynowo-skutkowy. Ten punkt jest niezwykle ważny, a jednak nie został wystarczająco podkreślony w literaturze. Intrygujące jest zbadanie perspektyw innych autorów w tej sprawie. Aerodynamicy przyczynili się do zamieszania poprzez swobodne używanie terminów takich jak „prędkość indukowana” i „indukcja”. Terminy te wywodzą się z innej dziedziny, klasycznej elektromagnetyki, gdzie zastosowanie ma prawo Biota-Savarta i stwierdza się, że pole magnetyczne jest „indukowane” przez prąd elektryczny. W elektromagnetyce terminologia ta jest odpowiednia, ponieważ uważa się, że występuje prawdziwe działanie na odległość, dzięki czemu termin „indukcja” pasuje fizycznie. Jednak w mechanice płynów nie ma bezpośredniego związku przyczynowego. Rozumiemy, że wirowość jest generowana, transportowana i rozpraszana, co wyjaśnia, dlaczego wirowość w naszych polach przepływu istnieje: służy raczej jako wskazanie ogólnego wzorca przepływu, a nie jego przyczyna.
Aby wyjaśnić obecność wzorca przepływu, konieczne jest odniesienie się do rzeczywistej fizyki, w szczególności równowagi sił w elementach płynu w danej lokalizacji.