O objetivo desta postagem não é derivar matematicamente as equações, mas sim fornecer explicações concisas e intuitivas sobre os significados dos diferentes termos das equações. Além disso, pretendemos analisar alguns dos conceitos abrangentes que podem ser deduzidos das equações com relação às características dos fluxos.
As equações fundamentais que utilizamos são representações dos princípios de conservação de massa, momento e energia. Esses princípios são articulados e compreendidos de forma mais eficaz dentro do quadro de referência Lagrangiano, onde descrevemos o movimento em relação aos caminhos de parcelas de fluido imutáveis à medida que progridem ao longo do tempo.
No entanto, o quadro de referência euleriano, que envolve a descrição do fluxo à medida que ele passa por pontos em um quadro de referência espacial independente do fluido, é, em última análise, a opção preferida por motivos conceituais e quantitativos. O método que adotarei nesse contexto é fornecer uma breve explicação do significado das leis de conservação no referencial lagrangiano antes de passar para uma discussão sobre como elas são articuladas no referencial euleriano.
Tanto na perspectiva lagrangiana quanto na euleriana, examinaremos o comportamento de pequenos volumes de fluido, embora com definições distintas em cada caso. A derivação de nossas leis de conservação como equações diferenciais parciais (PDEs) implica um processo formal de aproximação de dimensões infinitesimalmente pequenas para nossas parcelas de fluido. Embora não vamos nos aprofundar nas especificidades desse procedimento neste discurso, é importante que o leitor tenha em mente que as parcelas de fluido em qualquer quadro de referência devem ser conceituadas como arbitrariamente minúsculas.
Lamb (1932) fornece uma definição para uma parcela Lagrangiana fixa de fluido, afirmando que ela consiste apenas das mesmas partículas de fluido ao longo do tempo. Para manter essa consistência, a superfície delimitadora da parcela deve se mover com o fluido de forma a impedir que qualquer partícula de fluido passe por ela. No entanto, é importante reconhecer que esse conceito é uma idealização que só é verdadeira em nosso mundo conceitual contínuo. Na realidade, as moléculas inevitavelmente se difundirão através desse limite em ambas as direções, e o melhor que podemos fazer é garantir que o limite siga o movimento médio do fluido, resultando em nenhum fluxo líquido de material através dele. Independentemente da perspectiva adotada, a parcela sempre conterá a mesma quantidade de material e não apresentará nenhum fluxo líquido de material em sua superfície delimitadora. Essa abordagem de desconsiderar a difusão de massa funciona bem no caso de fluidos de uma única espécie ou de fluidos de várias espécies em que as concentrações relativas das espécies permanecem constantes. Entretanto, se as concentrações relativas das espécies variarem significativamente, a definição de uma parcela de fluido lagrangiano se torna problemática. Por enquanto, vamos ignorar essa pequena limitação da descrição lagrangiana e prosseguir com nossa discussão.
Conforme mencionado anteriormente, as leis de conservação são estabelecidas para massa, momento e energia. A razão para isso é que essas quantidades são fundamentais na física e na termodinâmica, exigindo sua conservação. Ao contrário da pressão ou das tensões viscosas, que não têm leis de conservação devido à sua natureza. A massa, o momento e a energia estão intrinsecamente ligados ao material do fluido e são convectados junto com ele. Essas quantidades convectadas estão associadas a parcelas de fluido Lagrangiano, o que significa que qualquer alteração na quantidade dentro de uma parcela só pode ocorrer devido a processos físicos dentro da parcela ou em seus limites. As leis de conservação servem para quantificar essas mudanças, fornecendo uma estrutura para entender a conservação de massa, momento e energia dentro da perspectiva lagrangiana.
Continuidade do fluxo – nossa conservação de massa
De acordo com nossa definição precisa de uma parcela de fluido na descrição Lagrangiana, a conservação da massa dentro da parcela é inerentemente garantida. No entanto, a equação responsável por garantir explicitamente a conservação da massa deve cumprir funções adicionais. A equação de continuidade estabelece uma conexão entre a densidade do fluido em vários pontos e o volume que ele ocupa, atendendo assim a dois critérios essenciais:
- A conservação da massa é um princípio fundamental em cada parcela lagrangiana, de acordo com as características definidas da parcela.
- Não há espaços vazios entre as parcelas lagrangianas, e as parcelas vizinhas não se cruzam. É essencial visualizar todo o volume do fluido como sendo completamente preenchido com parcelas lagrangianas que mantêm a conservação da massa.
A equação de continuidade na descrição lagrangiana pode ser facilmente compreendida em um sentido físico: Quando o volume de uma parcela de fluido muda, a densidade do fluido também deve mudar para manter a massa constante da parcela.
Embora a base da equação da continuidade seja física (requisitos 1 e 2 acima), os requisitos que ela impõe ao fluxo não são tão diretos em um sentido de causa e efeito como os impostos por outras equações. Por exemplo, na conservação do momento, as forças causam diretamente as acelerações; e na conservação da energia, as forças causam diretamente as acelerações.
Forças em partículas de fluido e conservação do momento
Na estrutura de referência lagrangiana, a conservação do momento é explicitamente imposta pela segunda lei de Newton, F = ma. Nossa parcela de fluido lagrangiano possui uma massa constante e sua aceleração é determinada pelo efeito cumulativo das forças exercidas sobre ela.
As forças externas do corpo, como as forças gravitacionais e eletromagnéticas, podem atuar em uma parcela, mas, na aerodinâmica, essas forças são normalmente consideradas insignificantes. O foco está principalmente nas forças exercidas na superfície da parcela por parcelas vizinhas. De acordo com a terceira lei de Newton, essas forças de superfície devem ser iguais e opostas ao longo do limite compartilhado. Essas forças são chamadas de “tensões” aparentes do fluido interno. Reconhece-se que essas tensões podem ser vistas como tensões distribuídas no mundo contínuo idealizado, enquanto que, na realidade, elas são apenas tensões aparentes resultantes da transferência de momento devido ao movimento molecular. No entanto, daqui para frente, nós as trataremos como tensões reais.
Em postagens anteriores do “All About CFD” – “Fundamentals of Aerodynamics” durante nossa discussão, exploramos o conceito de representar essas tensões como um tensor. Essa abordagem se mostra vantajosa quando se trata de manipulação matemática. No entanto, com o objetivo de obter uma compreensão física, é mais intuitivo pensar em termos de vetores de força. Ao contrair o tensor de tensão com o vetor unitário que é normal ao limite hipotético entre as parcelas, obtemos um vetor que representa a força por unidade de área que atua no limite. Além disso, podemos decompor esse vetor em dois componentes: um que é perpendicular ao limite e outro que é paralelo a ele. No contexto das equações NS, supõe-se que o componente perpendicular seja a pressão hidrostática local, geralmente chamada de pressão estática. Por outro lado, o componente paralelo é conhecido como tensão de cisalhamento, que surge exclusivamente dos efeitos da viscosidade.
Entender a pressão intuitivamente apresenta desafios devido à sua natureza inerente à mecânica de fluidos contínuos. A pressão pode ser visualizada como a tensão normal exercida em limites hipotéticos que abrangem um ponto específico no espaço.
Apesar de ser uma quantidade escalar, ela exerce força uniformemente em todas as direções em um determinado ponto. Inicialmente, a compreensão desse conceito pode ser difícil. Alguns comentaristas, como Anderson e Eberhardt (2001), definiram erroneamente a pressão estática como “a pressão medida paralelamente ao fluxo”.
No entanto, essa descrição contradiz a verdadeira essência da pressão, que não é afetada pela direção do fluxo e atua uniformemente em todas as direções. Uma abordagem mais intuitiva para compreender a pressão envolve considerar seu impacto em uma parcela de fluido pequena, porém finita. Em um campo de pressão constante, essa parcela encontra forças internas iguais do fluido circundante em todas as direções.
Para induzir qualquer aceleração na parcela, as tensões totais que atuam em todas as faces da parcela devem resultar em uma soma vetorial diferente de zero, indicando uma força desequilibrada. As tensões em lados opostos da parcela atuam em direções opostas e se cancelam mutuamente se suas magnitudes forem iguais. Em um campo de pressão constante, as tensões normais se cancelam mutuamente, resultando em nenhuma força desequilibrada. Para que haja uma força desequilibrada, as magnitudes das tensões em lados opostos da parcela devem ser diferentes, o que requer pressão não uniforme ou tensão viscosa.
onsequentemente, a força desequilibrada não depende da tensão em si, mas do gradiente de tensão, que é simbolizado por ∇p no contexto da pressão. Normalmente, isso envolve um fluxo de fluido não uniforme. Considerando que as forças são influenciadas pelo movimento da parcela de fluido e de suas parcelas vizinhas, a relação de causa e efeito entre as tensões e as velocidades se torna circular, acrescentando complexidade à nossa análise. Esse assunto será mais explorado em uma próxima edição de nossa série “All About CFD” sobre os “Fundamentos da Aerodinâmica”.
A aceleração de uma parcela é regida pela equação do momento, portanto, para determinar a velocidade da parcela, é preciso integrar a equação. As seções subsequentes da série demonstrarão como a integração da equação do momento para o fluxo constante de um fluido invisível resulta na equação de Bernoulli, uma relação de fluxo altamente valiosa.