Análise matemática da derivada material de integrais de volume e superfície

Participe do fórum para Designers!

Sua experiência é vital para a comunidade. Junte-se a nós e contribua com seu conhecimento!

Compartilhe, aprenda e cresça com os melhores profissionais do setor.

Para analisar a derivada material de integrais de volume e superfície, começaremos definindo a derivada material, também conhecida como derivada substancial. Em seguida, examinaremos sua aplicação a integrais de volume e superfície usando notação matemática e conceitos do cálculo vetorial.

A derivada material

A derivada D/Dt, também conhecida como derivada de tempo material, é, na verdade, a derivada de tempo da quantidade B para um ponto material fixo. E os pontos materiais são geralmente definidos pelo vetor de posição inicial em t = 0. O vetor de posição do ponto material em qualquer momento t > 0 é dado por:

Qualquer variável de fluxo definida para um ponto material arbitrário x0 será definida por B(x₀,t).
Assim, a descrição espacial correspondente será B[x(x₀,t),t].
Com base na descrição acima, podemos dizer que há dois tipos de derivadas de tempo:

A relação entre as duas derivadas pode ser obtida pela aplicação da regra da cadeia:

As derivadas de tempo em locais espaciais fixos são chamadas de derivadas de tempo Eulerianas, e as derivadas tomadas em um ponto material fixo são chamadas de Lagrangianas.

Agora vamos à derivada material das integrais de volume, ou seja, o Teorema de Transporte de Reynolds, que afirma que:

O teorema acima nada mais é do que uma extensão da regra de diferenciação de Leibnitz quando os limites da própria integral dependem do tempo.

Aplicando a definição usual de derivada como o limite do “delta t” que tende a 0 ao lado esquerdo da equação acima, obtemos o seguinte

Na equação acima, agora adicionamos e subtraímos o termo abaixo:

A equação então se torna:

O segundo termo é apenas:

E o primeiro período pode ser reescrito como:

O que mostra que é a integral de B

Para encontrar a integral acima, qualquer elemento diferencial dA_m de V_m

Onde A_m

Portanto, a forma final do Teorema de Transporte de Reynolds será:

A etapa seguinte pode ser realizada pela aplicação do Teorema da Divergência de Gauss sobre a integral da área do lado direito da equação acima para obter a forma familiar da forma diferencial equivalente da equação acima.

Tomemos o caso de uma aplicação simples em que temos a densidade ρ(x ,t) em vez da variável de fluxo B(x, t). Em seguida, obtemos a aplicação do Teorema da divergência de Gauss, como dito acima, à forma diferencial final da conservação da massa:

Derivada material da integral de superfície:

Nesta seção, aplicaremos os mesmos conceitos desenvolvidos acima para o caso da derivada material de integrais de volume para obter as equações que regem a equação de difusão da concentração de surfactante em uma interface de dois meios.
Aqui, usaremos o princípio de conservação da concentração de surfactante em uma área de superfície de material, presumindo a ausência de quaisquer fontes ou sumidouros, seja por causa de reações químicas ou de um fluxo de ou para os líquidos da fase em massa circundante. Assim, obteremos:

Onde D/Dt é a derivada do material para pontos na interface e S_m

Novamente, seguindo as mesmas etapas descritas na seção acima do Teorema de Transporte de Reynolds para o volume do material e tendo em mente a substituição das integrais de volume por integrais de superfície e as integrais de superfície por integrais de contorno, podemos obter uma equação para a equação de difusão da concentração de surfactante em uma interface de dois meios:

Onde u = velocidade das partículas de surfactante ao longo da superfície da interface
Γ = concentração do surfactante na interface
n_c = vetor unitário normal ao contorno do elemento de superfície
n_t = vetor unitário tangencial ao contorno do elemento de superfície
n = vetor unitário normal à superfície da interface
C_m

Agora n_c pode ser reescrito como n_c = n_t x n.

Portanto, o segundo termo do lado direito da equação acima pode ser reescrito como:

Onde dl = vetor tangencial elementar ao longo do contorno do elemento de superfície.

Assim, podemos ver que o integrando dentro da integral não é nada além de um produto triplo escalar de três vetores Γu, dl e n, que é [Γu dl n].

Usando a propriedade do produto triplo escalar:

Agora, com a aplicação do Teorema de Stokes sobre um contorno fechado, podemos converter a integral de contorno na integral de superfície limitada pelo contorno, ou seja

Avaliando o termo que contém o produto triplo vetorial, a integral de contorno acima pode ser reescrita como:

Portanto, podemos definir um novo operador no plano da interface como:

Portanto, a integral de contorno do lado direito da derivada do material da integral da superfície pode ser escrita como:

Portanto, a primeira equação desta seção para a equação da derivada do material se torna:

Ou,

Portanto, a forma diferencial será:

Onde:

Se decompormos a velocidade do surfactante em duas direções mutuamente perpendiculares, ou seja, ao longo da superfície da interface e perpendicular à superfície da interface, obteremos:

Portanto, a equação diferencial governante acima se torna:

Portanto, na ausência de difusão, podemos ver que há dois termos que contribuem para a mudança em Γ, um é a convecção simples com a velocidade da interface nos, e o segundo termo é conhecido como termo de diluição. Se adicionarmos uma contribuição de difusão, considerando o fato de que o termo de difusão surge devido ao movimento browniano e pode ser expresso como gradiente de concentração de surfactante em analogia ao gradiente de temperatura no caso de condução de calor difusiva, a forma final da equação de difusão de concentração de surfactante com termo difusivo se tornará:

Essencialmente, essa equação pode agora ser usada em uma variedade de casos, como a explicação do movimento de partículas de cânfora na superfície da água, etc.

Conclusão:

A análise matemática da derivada material das integrais de volume e superfície permite uma compreensão mais profunda de como as quantidades físicas evoluem em um fluido em movimento. Ao examinar as mudanças temporais no volume e nas integrais de superfície de campos escalares ou vetoriais, podemos obter insights sobre a dinâmica e o comportamento dos sistemas de fluxo de fluido.

Participe do fórum para Designers!

Sua experiência é vital para a comunidade. Junte-se a nós e contribua com seu conhecimento!

Compartilhe, aprenda e cresça com os melhores profissionais do setor.