Temos uma série de conceitos que se mostram valiosos ao contemplar a distribuição da vorticidade no campo de fluxo. Inicialmente, vamos nos concentrar nos conceitos que são aplicáveis ao cenário realista típico em que a vorticidade é distribuída continuamente.
Em qualquer região em que a vorticidade não seja igual a zero, é possível estabelecer uma linha de vórtice como uma curva espacial que corre paralela ao vetor de vorticidade. Isso é semelhante à forma como uma linha de fluxo se alinha com o vetor de velocidade. Consequentemente, dentro do campo de vorticidade, uma linha de vórtice se assemelha a uma linha de fluxo dentro do campo de velocidade. Assim como expandimos a noção de uma linha de fluxo para abranger um tubo de fluxo, podemos ampliar o conceito de uma linha de vórtice para abranger um tubo de vórtice.
O fluxo de vorticidade através do limite de um tubo de vórtice é inerentemente zero, de acordo com sua definição. Além disso, a divergência da curvatura de um vetor, especificamente a velocidade (cuja curvatura representa a vorticidade), é zero de acordo com a identidade vetorial. Consequentemente, o fluxo permanece constante em qualquer seção transversal do tubo, independentemente de sua posição ao longo do comprimento.
A constância do fluxo de vorticidade em um tubo de vórtice rege as alterações na magnitude da vorticidade que devem acompanhar o alongamento do vórtice. Quando a área da seção transversal de um tubo de vórtice diminui, seja com o tempo ou ao longo de seu comprimento, a força da vorticidade (a magnitude do vetor de vorticidade) deve se intensificar. No caso de um segmento do tubo de vórtice que contém uma quantidade fixa de fluido, uma redução na área da seção transversal normalmente exige um aumento no comprimento, ou alongamento. Esse alongamento é particularmente necessário se a densidade do fluido permanecer constante, como exploraremos mais tarde em relação à conservação da massa. Consequentemente, o alongamento de um tubo de vórtice geralmente aumenta a magnitude da vorticidade local.
A constância do fluxo de vorticidade em um tubo de vórtice impõe a necessidade de mudanças na magnitude da vorticidade quando ocorre o alongamento do vórtice. Quando a área da seção transversal de um tubo de vórtice diminui, seja com o tempo ou ao longo de seu comprimento, a intensidade da vorticidade (a magnitude do vetor de vorticidade) deve aumentar. Para acomodar uma área de seção transversal reduzida em uma quantidade específica de fluido, normalmente é necessário um aumento no comprimento ou alongamento.
Um filamento de vórtice é um tubo de vórtice fino com uma dimensão máxima extremamente pequena em sua seção transversal. A área da seção transversal de um filamento de vórtice também é infinitesimalmente pequena, mas supõe-se que ela varie ao longo do comprimento do filamento, permitindo que ele atenda aos critérios de um tubo de vórtice. No caso de um filamento de vórtice, o fluxo de vorticidade em uma seção transversal é igual ao produto da magnitude da vorticidade e da área da seção transversal, conhecida como intensidade do filamento. É importante observar que essa definição de intensidade, como o fluxo de vorticidade através de uma área infinitesimal, difere de outros conceitos familiares de intensidade, como a intensidade de um feixe de luz, que é definida como o fluxo de energia por unidade de área. O segundo teorema de Helmholtz afirma que a intensidade de um filamento de vórtice permanece constante ao longo de seu comprimento. Essa conservação da intensidade implica que um filamento de vórtice não pode terminar dentro do domínio do fluido, mas deve formar um loop fechado (loop de vórtice) ou terminar no limite do domínio.
Dependendo das características do limite, serão impostas restrições às possíveis maneiras pelas quais os filamentos de vórtice ou as linhas de vórtice podem terminar ali. Vamos primeiro examinar o cenário único de um filamento de vórtice individual que é cercado por um fluxo irrotacional. Se o fluxo permanecer constante e o limite representar uma interface pela qual o fluido não pode passar, o filamento de vórtice só poderá cruzar o limite de forma perpendicular.
Essa exigência decorre da necessidade de se ter uma configuração de fluxo predominantemente circular nas proximidades do filamento, dentro de planos perpendiculares ao próprio filamento. Qualquer desvio dessa orientação normal contradiz a condição de ausência de fluxo através do limite.
Além disso, se o limite for uma superfície sólida fixa sujeita a uma condição de não deslizamento, os componentes de velocidade nos planos perpendiculares ao filamento devem diminuir na superfície, enquanto a magnitude da vorticidade deve se aproximar de zero. Consequentemente, um filamento de vórtice isolado é incapaz de terminar em uma superfície sólida caracterizada por uma condição de não deslizamento.
No caso de vorticidade distribuída, as linhas de vórtice podem cruzar um limite sem fluxo de passagem com deslizamento, e a interseção pode não ser na direção normal. Por outro lado, em uma superfície estacionária sem deslizamento, a situação é mais restrita. Como a velocidade tangencial é zero na superfície, o componente de vorticidade normal à superfície também deve ser zero em toda a superfície. Portanto, se a magnitude da vorticidade for diferente de zero, as linhas de vórtice devem ser tangentes à superfície. Em geral, esse princípio é válido no fluxo viscoso em torno de um objeto estacionário, exceto para pontos singulares isolados de separação ou fixação em que a magnitude da vorticidade na superfície é zero. Nesses casos, uma linha de vórtice pode cruzar a superfície normalmente, mas o componente de vorticidade normal ainda deve se aproximar de zero no ponto de interseção. Consequentemente, as linhas de vórtice só podem cruzar uma superfície sem deslizamento em pontos singulares isolados. É um equívoco comum pensar que as linhas de vórtice não podem cruzar uma superfície sem deslizamento, desconsiderando as exceções mencionadas acima.
É evidente que, à medida que os vórtices se aproximam de uma superfície sólida com condições de não deslizamento, exceto em um único ponto isolado, as linhas de vórtice são obrigadas a mudar de direção para evitar a interseção com a superfície. Esse redirecionamento geralmente faz com que os vórtices contribuam para a vorticidade dentro de uma camada limite viscosa formada na superfície.
1. Vamos agora explorar as construções teóricas que foram desenvolvidas para representações idealizadas de fluxos caracterizados por vorticidade altamente concentrada. A presença de vorticidade concentrada em regiões específicas desempenha um papel crucial na análise de determinados fluxos que serão discutidos mais adiante. Por exemplo, no Capítulo 8, vamos nos aprofundar nos padrões de vorticidade observados na esteira atrás de uma asa de elevação, onde a vorticidade existe inicialmente de forma concentrada dentro de uma fina camada de cisalhamento, eventualmente fazendo a transição para dois vórtices distintos, mais ou menos axissimétricos, todos envolvidos por um fluxo quase irrotacional.
2. Nos modelos teóricos de tais fenômenos de fluxo, essas estruturas vorticais são frequentemente simplificadas como concentrações matematicamente finas, com as camadas de cisalhamento conceituadas como folhas de vórtice e os vórtices como vórtices de linha. Apesar de a vorticidade estar concentrada em regiões de área de seção transversal zero, essas entidades idealizadas exibem fluxos de vorticidade finitos. Consequentemente, a distribuição de vorticidade no local da folha ou da linha deve ser singular ou infinita.
3. Ao lidar com uma folha de vórtice, o processo normalmente envolve a integração em uma largura finita da folha para determinar um fluxo de vorticidade finito, embora a área integrada permaneça zero devido à natureza infinitesimalmente fina da folha. Por outro lado, para um vórtice de linha, uma única integração ao longo da linha (essencialmente um ponto) é adequada para calcular um fluxo finito. Embora exista uma estrutura matemática formal que ofereça um tratamento rigoroso desses conceitos, uma exploração detalhada dessa teoria não é necessária para uma compreensão abrangente dos princípios subjacentes.
O vórtice de linha e o filamento de vórtice, embora possam parecer semelhantes à primeira vista, têm diferenças significativas. Em primeiro lugar, o vórtice de linha tem uma área de seção transversal zero, enquanto o filamento tem uma área de seção transversal infinitesimalmente pequena. Além disso, o fluxo de vorticidade de um vórtice de linha é finito, enquanto o de um filamento é infinitesimal. É importante evitar confundir um vórtice de linha, que representa uma distribuição singular de vorticidade, com uma linha de vórtice, que é meramente paralela ao vetor de vorticidade e normalmente encontrada em campos onde a vorticidade é distribuída continuamente.
Um vórtice pontual, também conhecido como vórtice de linha em um fluxo planar 2D, é caracterizado por uma linha reta que se estende infinitamente em ambas as direções perpendiculares ao plano 2D. Essa configuração dá a aparência de um único ponto dentro do plano 2D. O vórtice de linha serve como uma das singularidades fundamentais que podem ser utilizadas como um componente fundamental na construção de soluções da teoria de fluxo potencial, conforme elaborado na Seção 3.10. Entretanto, em fluxos mais complexos, o vórtice de linha pode apresentar curvatura, o que representa um desafio único. Em qualquer ponto determinado ao longo de um vórtice de linha curva, onde a curvatura é diferente de zero, a velocidade do fluido perpendicular ao vórtice se torna infinita. Consequentemente, torna-se impossível determinar uma velocidade realista na qual a linha do vórtice será transportada pelo fluxo. Nos fluxos reais, a vorticidade é distribuída continuamente e possui magnitude finita, eliminando assim a ocorrência de velocidades infinitas.
Associando o campo de velocidade às concentrações de vorticidade
O conceito de vorticidade altamente concentrada é frequentemente simplificado como uma folha de vórtice ou um vórtice de linha. Utilizando o teorema de Stokes, podemos agora analisar as distribuições de velocidade na vizinhança imediata que são necessárias para corresponder a essas distribuições de vorticidade idealizadas.
A figura acima, identificada como (a), ilustra uma folha de vórtice em um fluxo 2D. Ao aplicar o teorema de Stokes a um contorno fechado que envolve uma seção curta da folha, fica evidente que há um salto na magnitude da velocidade ao longo da folha, que é igual à força da vorticidade local ou à vorticidade por unidade de distância ao longo da folha na direção perpendicular ao vetor de vorticidade. Nesse caso específico de 2D, o vetor de vorticidade é perpendicular ao plano do papel, e a distância ao longo da folha é medida na direção do fluxo. O escoamento físico associado a essa folha de vórtice idealizada é uma camada de cisalhamento em que o salto de velocidade se espalha por uma espessura finita, conforme representado na figura rotulada como (b).
No caso de um fluxo 3D, o salto de velocidade em uma folha de vórtice, em um sentido vetorial, ainda deve ser perpendicular ao vetor de vorticidade. Na aerodinâmica, é comum encontrar uma folha sem salto na magnitude da velocidade, apenas na direção. Nesses casos, o salto no vetor de velocidade é perpendicular ao vetor de vorticidade, que é paralelo à direção da média dos vetores de velocidade nos dois lados da folha, conforme ilustrado na figura rotulada como (c). É possível demonstrar que, se o vetor de vorticidade não fosse paralelo à média dos dois vetores de velocidade, teria de haver um salto na magnitude da velocidade.
Folhas de vórtice semelhantes à representada na figura rotulada como (c) são frequentemente modeladas na teoria de fluxo potencial 3D. É evidente, a partir da definição do potencial de velocidade, que o salto no vetor de velocidade requer um salto no potencial de velocidade também.
Se uma camada de cisalhamento física for efetivamente fina, o que significa que as mudanças de fluxo ao longo da camada ocorrem muito mais rapidamente do que as mudanças em outras direções, o salto de velocidade será aproximadamente igual em magnitude e perpendicular à integral da vorticidade ao longo da camada.
A indução de velocidade por vorticidade é uma falácia?
Todo estudante de engenharia inevitavelmente se depara com a lei de Biot-Savart durante seus estudos de graduação, seja em mecânica dos fluidos ou em eletromagnetismo clássico. Essa lei sugere que a compreensão da curvatura de um campo vetorial em um ponto específico fornece insights sobre o comportamento do campo vetorial em um ponto diferente.
Apesar de seu apelo inicial, o conceito pode ser enganoso, pois geralmente resulta em ambiguidade quanto à relação entre causa e efeito. Além disso, a capacidade de converter as equações de Navier-Stokes da formulação da velocidade para a formulação da vorticidade e a utilização de modelos de fluxo potencial para introduzir obstáculos ao fluxo apóiam ainda mais a crença amplamente difundida de que a vorticidade causa a velocidade, conforme sugerido pelo princípio de Biot-Savart.
A falácia está aqui. Na ausência de forças gravitacionais ou eletromagnéticas, não há ação à distância em fluxos de fluidos comuns. Expressar as equações em diferentes formas e referir-se à lei de Biot-Savart como uma relação de cálculo entre um campo vetorial e sua curvatura não implica que um vórtice no ponto A possa induzir uma velocidade em um ponto distante B. Embora seja verdade que uma relação matemática como a lei de Biot-Savart nos permita deduzir detalhes quantitativos e qualitativos sobre o campo de velocidade em um ponto remoto, na mecânica dos fluidos, ela não descreve com precisão a física. Portanto, a relação direta de causa e efeito é um pouco enganosa nesse contexto em comparação com sua contraparte na eletromagnetismo clássica.
A lei de Biot-Savart é benéfica para cálculos quantitativos. No entanto, o conceito qualitativo de que a compreensão da vorticidade em um ponto específico nos permite deduzir informações sobre a velocidade em outro ponto tem seu próprio valor. Esse conceito serve como uma das ferramentas mais influentes para a compreensão dos campos de fluxo. No entanto, apesar de sua potência, ele também pode ser uma faca de dois gumes, pois muitas vezes causa confusão quando se trata de determinar causa e efeito.
A questão surge devido ao fato de que a vorticidade é considerada a “entrada”, enquanto a velocidade é vista como a “saída”, levando à prática comum de se referir à velocidade deduzida da vorticidade como velocidade induzida. Isso pode facilmente levar alguém a acreditar que a vorticidade de alguma forma “causa” a velocidade que ela “determina”. Entretanto, essa linha de pensamento está incorreta. Na ausência de forças gravitacionais ou eletromagnéticas significativas do corpo, não há ação à distância em fluxos de fluidos regulares. Forças significativas são transmitidas somente por meio do contato direto entre parcelas de fluido vizinhas.
Portanto, um vórtice no ponto A não pode “causar” diretamente uma velocidade em um ponto B distante, e termos como “causado por”, “induzido” e até mesmo “devido a” deturpam a física envolvida. É fundamental lembrar que Biot-Savart é simplesmente uma relação matemática entre um campo vetorial e sua curvatura e, na mecânica dos fluidos, não indica uma relação física direta de causa e efeito. Esse ponto é de extrema importância e, ainda assim, não foi suficientemente enfatizado na literatura. É intrigante explorar as perspectivas de outros autores sobre esse assunto. Os aerodinamicistas contribuíram para a confusão ao usar livremente termos como “velocidade induzida” e “indução”. Esses termos são originários de outro campo, a eletromagnética clássica, onde a lei de Biot-Savart é aplicável, e afirma-se que o campo magnético é “induzido” pela corrente elétrica. Na eletromagnética, essa terminologia é adequada, pois acredita-se que esteja ocorrendo uma ação genuína à distância, o que torna o termo “indução” fisicamente adequado. Entretanto, na mecânica dos fluidos, não há conexão causal direta. Entendemos que a vorticidade é gerada, transportada e difundida, o que explica a existência da vorticidade em nossos campos de fluxo: ela serve mais como uma indicação do padrão geral de fluxo do que como uma causa dele.
Para elucidar a presença de um padrão de fluxo, é necessário fazer referência à física real envolvida, especificamente o equilíbrio de forças dentro dos elementos fluidos em um determinado local.