Conservação de energia
A primeira lei da termodinâmica, conhecida como o princípio da conservação da energia, afirma que a mudança na energia armazenada em uma parcela de fluido lagrangiano é igual à taxa na qual a energia é adicionada a ela a partir de fontes externas, como calor ou trabalho mecânico. Para um estudante de termodinâmica elementar, há dois aspectos desse princípio que podem ser novos. Em primeiro lugar, o movimento da parcela de fluido desempenha um papel significativo no balanço geral de energia, portanto, a energia cinética da parcela deve ser considerada como uma das formas de energia armazenada. Em segundo lugar, é importante reconhecer que não apenas a pressão, mas também as forças viscosas, podem contribuir para a adição de trabalho mecânico à energia do sistema.
A transferência de calor em um pacote pode ocorrer por meio de dois mecanismos principais: radiação eletromagnética e condução molecular. A radiação eletromagnética envolve a absorção ou emissão de energia dentro da parcela, enquanto a condução molecular refere-se à transferência de calor através do limite da parcela. É importante observar que os efeitos da radiação são proporcionais ao volume, conhecidos como efeito de “corpo”, enquanto os efeitos da condução estão relacionados à superfície. Na aerodinâmica, os efeitos de superfície são normalmente mais significativos do que os efeitos de corpo. O trabalho mecânico realizado no pacote é feito pelas mesmas forças envolvidas na conservação do momento. Na aerodinâmica, as forças externas do corpo geralmente são desprezíveis, e o foco está nas forças exercidas pelas parcelas vizinhas.
No entanto, o impacto das tensões internas do fluido na conservação da energia é mais complexo do que na conservação do momento. Embora a conservação do momento considere apenas a força líquida sobre a parcela, a conservação da energia também leva em conta a força líquida que atua sobre a distância percorrida pelo centro de massa da parcela, contribuindo para alterações em sua energia cinética total.
No entanto, há outros fatores a serem considerados. Caso o pacote sofra deformação, seja volumétrica ou por cisalhamento, certas partes do limite do pacote se deslocarão em relação ao seu centro de massa. Esse movimento pode resultar em um trabalho substancial sendo realizado no pacote. Além disso, a pressão exercida sobre a parcela, por meio de compressão ou expansão, pode levar a efeitos de aquecimento ou resfriamento. Além disso, a parcela sofre aquecimento devido a tensões viscosas, um fenômeno conhecido como dissipação viscosa.
A turbulência apresenta considerações intrigantes em relação à conservação de energia. Em geral, os fluxos turbulentos são analisados por meio de modelos teóricos que se concentram em médias temporais, suavizando efetivamente os movimentos instáveis da turbulência. No campo de fluxo com média de tempo, a energia cinética associada à turbulência torna-se uma forma significativa de energia que requer consideração. No entanto, em vários cenários de fluxo, a geração e a dissipação da energia cinética da turbulência (TKE) são aproximadamente equilibradas localmente, permitindo a negligência da TKE:
- Conservação de energia: A primeira lei da termodinâmica, que afirma que a energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas transformada de uma forma para outra, é discutida no contexto de parcelas de fluido. Isso inclui considerar as mudanças na energia cinética, na energia potencial e na energia interna dentro da parcela.
- Formas de energia: As várias formas de energia em uma parcela de fluido são detalhadas, incluindo a energia cinética do volume, a energia interna (afetada pela pressão e pelas forças viscosas) e os mecanismos de transferência de calor, como a radiação eletromagnética e a condução molecular.
- Trabalho mecânico: O papel do trabalho mecânico em uma parcela de fluido é explicado, observando que ele pode ser realizado tanto por forças externas (como pressão) quanto por tensões internas do fluido, que podem surgir de parcelas vizinhas ou da deformação da própria parcela.
- Efeitos de deformação e compressão: O impacto da deformação da parcela e as mudanças na pressão sobre o balanço de energia são discutidos, destacando como esses fatores podem levar à realização de um trabalho substancial na parcela e influenciar seu estado térmico.
- Dissipação Viscosa: O fenômeno da dissipação viscosa, em que a energia mecânica é convertida em calor devido à viscosidade do fluido, é mencionado como um fator que contribui para as considerações de conservação de energia.
- Turbulência: Os fluxos turbulentos introduzem complexidades adicionais à conservação de energia, especialmente com relação à geração e à dissipação da energia cinética da turbulência (TKE). Embora a TKE seja significativa em fluxos turbulentos, ela pode ser negligenciada em determinados cenários em que as taxas de geração e dissipação são aproximadamente equilibradas.
De modo geral, tentamos fornecer uma explicação de como os princípios da termodinâmica se aplicam às parcelas de fluido, especialmente em contextos aerodinâmicos, e destacar os vários fatores que devem ser considerados ao analisar a conservação de energia em tais sistemas.
Relação entre várias quantidades físicas e condições de contorno
Acabamos de examinar as leis fundamentais de conservação na estrutura de referência lagrangiana. Independentemente de essas leis serem aplicadas no referencial lagrangiano ou euleriano, elas geram cinco equações e nos deparamos com oito incógnitas. Essas incógnitas consistem em três coordenadas espaciais (em Lagrangiano) ou componentes de velocidade (em Euleriano), bem como cinco propriedades termodinâmicas e materiais locais: pressão, densidade, temperatura e os coeficientes de viscosidade molecular e condutividade térmica. Para definir completamente o sistema, são necessárias três relações constitutivas adicionais. Na aerodinâmica, essas relações normalmente incluem a equação de estado do gás ideal, que correlaciona pressão, densidade e temperatura; a lei de Sutherland, que vincula a viscosidade apenas à temperatura; e a relação de Prandtl para a condutividade térmica.
O sistema abrangente de Navier-Stokes (NS) engloba toda a física interna do fluido necessária para nossa análise. Quando se trata dos limites do nosso domínio de fluxo, as condições de limite específicas que devemos aplicar dependem do tipo de limite em questão. No caso de limites de fluxo, nenhuma física suplementar precisa ser invocada, pois as próprias equações NS determinam quais condições de limite são permitidas ou obrigatórias, dependendo do cenário do fluxo. No entanto, ao lidar com limites que fazem interface com outro material, comumente chamados de “paredes”, são necessárias considerações físicas adicionais para definir com precisão as condições de limite.
As condições de contorno especificam o comportamento de um sistema em seus limites ou interfaces. Elas são essenciais para a solução de equações diferenciais que regem os fenômenos físicos e são frequentemente usadas para modelar interações entre diferentes materiais ou regiões de um sistema. Alguns tipos comuns de condições de contorno incluem:
- Condições de contorno de Dirichlet: Especificam os valores das variáveis dependentes (por exemplo, temperatura, velocidade) nos limites de um domínio.
- Condições de limite de Neumann: Especificam os gradientes ou fluxos de variáveis dependentes nos limites, em vez de seus valores absolutos.
- Condições de limite de Robin: Também conhecidas como condições de contorno mistas, elas especificam uma combinação de valores prescritos e gradientes nos limites.
- Condições de contorno periódicas: São usadas para modelar sistemas em que os limites se envolvem para formar um domínio periódico, como em simulações de estruturas periódicas ou fluxos de fluidos em canais.
- Condições de interface: Ao modelar a interação entre diferentes materiais ou fases, as condições da interface especificam como as quantidades, como tensão, deslocamento ou fluxo de calor, estão relacionadas na interface.
As relações constitutivas descrevem a relação entre várias quantidades físicas em um material ou fluido. Essas relações geralmente dependem das propriedades do material e podem variar de acordo com as condições às quais o material ou fluido está sujeito. Algumas relações constitutivas comuns incluem:
- Relações entre tensão e deformação: Na mecânica dos sólidos, essas relações descrevem como a tensão (força por unidade de área) está relacionada à deformação (deformação) em um material. Diferentes materiais apresentam diferentes comportamentos de tensão-deformação, como respostas elásticas, plásticas ou viscoelásticas.
- Relações entre tensão e deformação de fluidos: Para fluidos, as relações constitutivas geralmente descrevem como a tensão (tensão de cisalhamento, tensão normal) está relacionada à taxa de deformação (taxa de deformação). Essas relações podem envolver parâmetros como a viscosidade para fluidos newtonianos ou modelos mais complexos para fluidos não newtonianos.
- Relações termodinâmicas: Na termodinâmica, as relações constitutivas descrevem como as propriedades, como pressão, temperatura e densidade, estão relacionadas sob diferentes condições. As equações de estado, como a lei do gás ideal ou formulações mais complexas para gases reais, são exemplos de relações constitutivas termodinâmicas.
- Relações eletromagnéticas: Na ciência dos materiais e no eletromagnetismo, as relações constitutivas descrevem como a condutividade elétrica, a permissividade e a permeabilidade se relacionam com os campos elétricos e magnéticos.
As características matemáticas das equações
O sistema de equações apresentado compreende cinco PDEs de campo e três relações constitutivas algébricas, totalizando oito incógnitas. Essas equações apresentam uma natureza hiperbólica/elíptica mista no espaço, necessitando de condições de contorno para uma solução em todo o domínio. Embora as soluções numéricas possam avançar no tempo, a progressão espacial não é viável. Devido à não linearidade das equações, as soluções geralmente não podem ser obtidas por meio de superposição. Até mesmo uma solução de fluxo constante requer um método além de uma única inversão de matriz, como processos iterativos ou de tempo. Essas complexidades serão exploradas mais detalhadamente no contexto dos métodos CFD. As soluções para as equações NS nem sempre são únicas, principalmente quando várias soluções de fluxo constante correspondem à mesma geometria de corpo. Embora existam teoricamente soluções livres de turbulência, elas geralmente são dinamicamente instáveis em altos números de Reynolds e raramente são observadas na natureza.
Devido aos desafios mencionados acima, encontrar soluções analíticas para as equações NS só é possível para um número limitado de casos simples com dimensões reduzidas e propriedades de fluido constantes. Mesmo nesses casos, as soluções só são aplicáveis sob certas condições limitantes em que os efeitos da inércia podem ser desconsiderados. Por exemplo, existem soluções unidimensionais para fluxo estável e totalmente desenvolvido em dutos ou tubos bidimensionais planos ou de seção transversal circular, bem como soluções bidimensionais para fluxo em torno de um cilindro ou esfera circular com baixos números de Reynolds. Em situações que envolvem altos números de Reynolds, soluções aproximadas para as equações NS bidimensionais podem ser obtidas usando a teoria da camada limite, que requer apenas a solução de uma equação diferencial ordinária (ODE) unidimensional. No entanto, para fluxos mais gerais, as soluções numéricas são a única opção viável, a menos que seja possível fazer suposições simplificadoras.
A estrutura euleriana
Na estrutura Euleriana, a observação se concentra no comportamento do fluido à medida que ele passa por pontos específicos em uma estrutura espacial designada. Em vez de monitorar as mudanças experimentadas por porções fixas de fluido, como feito na estrutura Lagrangiana, o foco muda para observar o comportamento dentro de elementos de volume infinitesimais integrados ao sistema de coordenadas espaciais. Esses elementos de volume na estrutura euleriana têm um fluxo contínuo de fluido passando por eles e sobre seus limites. Esse fluxo reflete o movimento observado na estrutura lagrangiana. A mudança de perspectiva exige um tratamento diferente do processo de convecção ao aplicar as leis de conservação. Na abordagem lagrangiana, a convecção é implicitamente considerada por meio da definição de parcelas fixas de fluido, sem termos nas equações de conservação que contabilizem a convecção entre os limites das parcelas devido à ausência desse movimento por definição. Por outro lado, na abordagem euleriana, em que o fluxo de fluido através dos limites do elemento de volume é comum, o processo de convecção deve ser explicitamente incluído nas equações como termos adicionais.
Matematicamente, os termos adicionais surgem quando substituímos as derivadas de tempo nas equações de
nas equações lagrangianas por seus equivalentes eulerianos, usando a Equação:
As equações eulerianas incorporam termos que levam em conta os efeitos da convecção, que se originam do termo V – ∇ no lado direito. Para ilustrar esse conceito, vamos examinar o componente x do momento de uma parcela lagrangiana com um volume de dV, denotado como ρ udV. Ao aplicar a equação mencionada acima a essa quantidade específica, podemos entender melhor suas implicações:
O termo que aparece em segundo lugar no lado direito da equação simboliza o momento de convecção na equação euleriana do momento x em sua forma mais básica. Uma representação alternativa frequentemente encontrada em trabalhos acadêmicos envolve mover a densidade para fora da derivada, resultando em uma conexão mais clara com a aceleração lagrangiana Du/Dt.
Para obter essa forma alternativa, é necessário invocar o princípio da conservação da massa, que, em sua formulação lagrangiana, afirma que a massa de uma parcela lagrangiana permanece constante ao longo do tempo. Se usarmos novamente a definição de derivada substancial, chegaremos a:
Processo de convecção em detalhes
Vamos agora nos aprofundar no processo de convecção. É um fato bem estabelecido que a convecção é recíproca em um limite compartilhado entre duas parcelas. Esse conceito pode ser comparado à terceira lei de Newton na mecânica, que determina que as forças exercidas por dois corpos em contato devem ser iguais e opostas. Esse equilíbrio é necessário porque não há mecanismo na interface para sustentar uma força desequilibrada. Ao considerar duas parcelas de fluido que compartilham um limite, não há mecanismo para alterar o fluxo de uma quantidade conservada, portanto, o fluxo que sai de uma parcela deve ser equivalente ao fluxo que entra na outra. Em nossa formulação geral de Navier-Stokes, não precisamos impor explicitamente essa reciprocidade, pois ela é inerentemente mantida pela continuidade de todas as variáveis de fluxo. No entanto, em teorias especializadas que envolvem descontinuidades, como a modelagem de choque em soluções inviscidas, são necessárias equações adicionais para garantir que as relações de conservação sejam mantidas ao longo da descontinuidade.
Os termos de convecção nas equações de conservação têm uma interpretação física clara. Quando há um desequilíbrio entre a taxa de convecção em um elemento de volume e a taxa de convecção para fora, a convecção atua como uma fonte da quantidade conservada e precisa ser considerada na lei de conservação. Esses termos indicam a taxa geral na qual uma quantidade conservada está sendo transportada para dentro ou para fora de um elemento de volume. No caso da conservação de massa, essa convecção líquida é o único fator que contribui para a mudança na massa total dentro do elemento ao longo do tempo, especialmente em condições de fluxo constante em que o fluxo de massa para dentro e para fora do elemento deve ser igual. Esse princípio se estende além das parcelas locais para volumes maiores, como um tubo de fluxo constante, em que o fluxo de massa através de qualquer superfície que cruze o tubo deve permanecer constante. A convecção líquida desempenha um papel fundamental na manutenção do equilíbrio na conservação do momento e da energia, mas é essencial considerar também os efeitos das forças externas que atuam sobre o fluido (momento e energia) e a condução de calor.
Os balanços de momento e energia em nossa formulação podem ser influenciados por fontes externas, como forças gravitacionais ou eletromagnéticas que atuam sobre o fluido, bem como a transferência de calor por meio da absorção e emissão de radiação. Essas contribuições podem ser facilmente contabilizadas. Além disso, as trocas de força ou energia entre parcelas de fluido que não estão em contato direto umas com as outras, conhecidas como efeitos internos não locais, também podem afetar os balanços. Entretanto, na aerodinâmica, esses efeitos externos e os efeitos internos não locais são normalmente considerados desprezíveis. Portanto, os únicos efeitos que precisam ser representados em nossas equações são aqueles transmitidos por meio do contato direto entre pacotes. Isso inclui as forças interparcelas representadas pelas tensões internas aparentes e os fluxos de calor devido à condução, que são trocados entre as parcelas de fluido adjacentes. É importante observar que essas quantidades não estão fisicamente vinculadas ao material fluido e não são convectadas com ele. Elas não são afetadas por mudanças na velocidade de nosso quadro de referência e aparecem da mesma forma nos quadros Euleriano e Lagrangiano.
No cenário típico observado na aerodinâmica, a transmissão primária de forças dentro do fluido ocorre entre parcelas de fluido vizinhas. Da mesma forma, os efeitos de convecção em uma estrutura Euleriana também operam somente entre parcelas Eulerianas adjacentes. Consequentemente, em nossos fluxos aerodinâmicos convencionais, não há nenhum mecanismo para qualquer forma de troca de “força à distância”, o que exclui a “indução” remota ou efeitos semelhantes. Embora a lei de Biot-Savart possa sugerir um efeito de indução remota, é errôneo perceber a velocidade em um ponto como sendo “induzida” ou “causada” pela vorticidade em outro ponto. Isso serve apenas como uma ilustração dos desafios associados à atribuição de causa e efeito no domínio da mecânica dos fluidos.
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